Спектр периодического сигнала

Периодический сигнал можно разложить на гармонические составляющие и представить рядом Фурье (2.2).

Спектр амплитуд сигнала с ограниченной полосой частот (рис. 4.8), состоит из равноотстоящих линий, длина которых пропорциональна амплитудам А_n соответствующих гармоник. Спектр амплитуд дискретизированного периодического сигнала представлен на рис. 4.9.

Рис. 4.8. Периодическая функция x(t) с Рис. 4.9. Дискретизированная

ограниченной полосой частот периодическая функция x(k) и

и ее спектр X(n) ее периодический спектр X(n)

Кривую, соединяющую концы спектра, называют огибающей спектра амплитуд. На практике применяют комплексную форму ряда Фурье:

, (4.12)

где – комплексная амплитуда, .

Свойства спектра:

1. Спектры всегда дискретны, они содержат гармоники, частоты которых кратны основной частоте.

2. Чем больше период сигнала Т, тем меньше интервал w = 2p/T между соседними частотами. Для непериодической функции Т ® ∞ и спектр становится сплошным, но при этом амплитуды уменьшаются.

3. С уменьшением длительности импульсов τ при постоянном периоде амплитуды гармоник уменьшаются, а спектр становится «гуще».

4. Если с уменьшением длительности импульсов τ увеличивать их амплитуды пропорционально A₀ = 1/T, то амплитудный спектр будет стремиться к постоянному для всех частот значению A_n = 1/T.

Для непериодических сигналов используют спектральную плотность

, (4.13)

где А – амплитуды непериодической функции, .

Величину F(iω ) называют спектральной характеристикой непериодической функции, а модуль |F(iω )| = F(ω ) – спектром.

Поскольку спектральная характеристика комплекснаявеличина, то ее можно представить в виде F(iω ) = a(w) + ib(w) = F(ω )e^-ⁱ^j⁽^ω⁾, где

; .

Спектр периодического сигнала определяют модуль и фаза спектральной характеристики. Для непериодического сигнала строят спектры амплитуд и фаз. Спектральные свойства непериодического сигнала:

1. Спектр всегда непрерывен и характеризуется плотностью амплитуд гармоник, приходящихся на интервал [0; ω ].

2. При уменьшении длительности импульса его спектр расширяется вдоль оси ω, а значения плотности амплитуд уменьшаются.

3. При уменьшении длительности τ и увеличении амплитуды A_n = 1/T импульса спектра, он стремится к дельта-функции, а спектральная плотность – постоянной величине, равной единице во всем диапазоне частот.

Распределение энергии в спектрах сигналов

Для периодического сигнала определяют мощность его спектра

(4.14)

где А₀, А_n − коэффициенты ряда Фурье; R − сопротивление участка пути, через который проходит сигнал.

Распределение энергии в спектре периодического сигнала:

. (4.15)

Энергия, выделяемая спектральными составляющими сигнала, расположенными в полосе частот dω в окрестности частоты ω, называют энергетической спектральной плотностью непериодического сигнала.

Практическая ширина спектра и искажения сигналов

При передаче периодических сигналов в системах управления может быть передано ограниченное количество гармоник с относительно большими амплитудами. Вводится понятие практической ширины спектра сигнала, под которой понимается область частот, в пределах которой лежат гармонические составляющие сигнала с амплитудами, превышающими наперед заданную величину. С энергетической точки зрения практическая ширина спектра оценивается по области частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

ДИНАМИКА СИСТЕМ

Уравнения движения

Математическое описание системы автоматического управления – это описание процессов, протекающих в системе. Построение системы управления начинают с изучения объекта управления и составления его математического описания. В качестве объекта может выступать аппарат, технологический процесс и предприятие. Различие математических моделей объектов связано с их назначением. Модели описывают режимы работы объекта или системы управления и могут быть получены способами: экспериментальным, аналитическим, комбинированным.

При экспериментальном способе уравнения моделей получают путем постановки экспериментов (активный эксперимент) или статистической обработки результатов регистрации переменных объекта в условиях его нормальной эксплуатации (пассивный эксперимент).

При аналитическом описании уравнения моделей получают на основании физико-химических закономерностей протекающих процессов.

При экспериментально-аналитическом подходе уравнения моделей получают аналитическим путем с последующим уточнением параметров этих уравнений экспериментальными методами.

При разработке математического описания систем автоматического управления учитывают методологические положения теории автоматического управления. Это системный подход к решению задач управления; применение методов теории автоматического управления к системам самой разнообразной физической природы; рассмотрение системы как цепи взаимодействующих элементов, передающих сигналы в одном направлении; составление математического описания с рядом упрощений.

Уравнения математической модели объекта или системы управления, устанавливающие взаимосвязь между входными и выходными переменными, называют уравнениями движения. Уравнения, описывающие поведение системы в установившемся режиме при постоянных воздействиях, называются уравнениями статики. Уравнения, описывающие поведение системы в неустановившемся режиме при произвольных входных воздействиях, называются уравнениями динамики.

Объекты регулирования можно разделить на два класса: объекты с сосредоточенными координатами, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, и объекты с распределенными координатами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. В дальнейшем будут рассмотрены только объекты с сосредоточенными координатами.

Например, модель объекта, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, с сосредоточенными координатами

F(y, y', y", x, x') + f = 0, (5.1)

где y – выходная переменная; x, f – входные переменные; y', x' – первые производные по времени; y" – вторая производная по времени.

При постоянных входных воздействиях x = x₀; f = f₀ с течением времени выходная величина принимает постоянное значение y =y₀и уравнение (5.1) преобразуется как F(y₀, 0, 0, x₀, 0) + f₀ = 0, являющемся статическим.

Статической характеристикой объекта называют зависимость выходной величины от входной в статическом режиме. Статическую характеристику можно построить экспериментально, если подавать на вход объекта постоянные воздействия и замерять выходную переменную после окончания переходного процесса. Статическая характеристика характеризуется коэффициентом k = ¶y/¶x. Для объектов с нелинейной статической характеристикой k является переменным (рис. 5.1а), для объектов с линейной статической характеристикой коэффициент постоянен (рис. 5.1б).

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒