Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением (ОЛДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (25)

где , – искомая функция.

Будем искать частные решения уравнения (25) в виде , где k – const. Найдём производные , . Подставляя полученные выражения производных в уравнение (25), получим , так как , то тождество выполняется только при условии

(26)
Уравнение (26)называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (25). Следовательно, функция будет решением уравнения (25), если число k будет решением уравнения (26). Уравнение (26) составляется из (25) заменой на , на , на 1.

Функции и называются линейно независимыми на отрезке , если тождество , имеет место тогда и только тогда, когда . Можно и проще. Функции и будут линейно независимыми на , если их отношение не равно постоянной .

Общее решение уравнения (25) будет иметь вид: , где и – линейно независимые частные решения этого уравнения.

Рассмотрим частные случаи при определении общего решения уравнения (25), которые могут возникнуть при решении характеристического уравнения:

Таблица 1

Корни характеристического уравнения	Линейно независимые частные решения уравнения	Общее решение уравнения
действительные и различные ( )	,
действительные и равные ( )	,

 

 

Окончание табл.1

Комплексные	,

Начальные условия задачи Коши должны быть представлены в виде

. (27)

Замечание. Если порядок однородного уравнения больше двух, то общее решение находится по той же схеме, как и для уравнения 2-ого порядка (см.таб.1):

a. Если , то линейно независимыми частными решениями будут функции , , .

b. Если , то линейно независимыми частными решениями будут функции , , .

c. Если корни характеристического уравнения является двукратными, то им соответствуют линейно независимые частные решения , , , .

(Все эти случаи можно расширить и далее)

Задача 17. Найти общее решение уравнения

Решение: Составим характеристическое уравнение: . Решая его, находим и . Корни действительные и различные . Имеем первый случай таблицы 1. Следовательно, линейно независимые частные решения , и общее решение имеет вид .

Задача 18. Найти общее решение уравнения .

Решение: Составим характеристическое уравнение: . Решая его, находим . Корни действительные и равные, т.е. мы имеем второй случай таблицы 1. Следовательно, линейно независимые частные решения , , общее решение имеет вид .

Задача 19. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения при начальных условиях: .

Решение: Составим характеристическое уравнение:

Корнями характеристического уравнения являются: ,
= -1, = 2, – общее решение дифференциального уравнения.

Найдём значения произвольных постоянных С₁ и С₂, для этого найдём производную .

Подставив начальные условия, получим систему: ,
откуда , , и искомое частное решение будет .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1) ;

2) ;

3) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) .

2. Найти частные решения уравнений по данным начальным условиям:

1) , ;

2) ; , .

Ответы: 1) ; 2) .

3. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения , касающуюся в точке прямой .

Ответ: .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное уравнение этого типа имеет вид:

, (28)

где . Функция называется правой частью уравнения (28).

Для каждого уравнения (28) можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

(29)

Рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ однородного уравнения известно, то частное решение для соответствующего неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: . Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x). Неизвестные функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы двух уравнений:

. (30)

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритм составления уравнения реакции гидролиза
2. Апериодическое звено первого порядка
3. Банки второго уровня, их классификация и ф-ции.
4. В какие сроки на рентгенограммах появляются линейные просветления у больных с гематогенным остеомиелитом?
5. Виды административных правонарушений против порядка управления.
6. Вопрос №82. Правопорядок: понятие, структура, функции. Соотношение правового и общественного порядка.
7. Восстановление порядка в отступающих подразделениях
8. Гарантии законности и правопорядка
9. Гарантии законности и правопорядка.
10. Глава 2. КОНЦЕПЦИИ «НОВОГО МИРОВОГО ПОРЯДКА» В XXI ВЕКЕ.
11. Дифференциальные уравнения 1 порядка
12. Дифференциальные уравнения второго порядка