Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами



Линейным однородным дифференциальным уравнением (ОЛДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (25)

где , искомая функция.

Будем искать частные решения уравнения (25) в виде , где k – const. Найдём производные , . Подставляя полученные выражения производных в уравнение (25), получим , так как , то тождество выполняется только при условии

(26)
Уравнение (26)называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (25). Следовательно, функция будет решением уравнения (25), если число k будет решением уравнения (26). Уравнение (26) составляется из (25) заменой на , на , на 1.

Функции и называются линейно независимыми на отрезке , если тождество , имеет место тогда и только тогда, когда . Можно и проще. Функции и будут линейно независимыми на , если их отношение не равно постоянной .

Общее решение уравнения (25) будет иметь вид: , где и линейно независимые частные решения этого уравнения.

Рассмотрим частные случаи при определении общего решения уравнения (25), которые могут возникнуть при решении характеристического уравнения:

Таблица 1

Корни характеристического уравнения Линейно независимые частные решения уравнения Общее решение уравнения
действительные и различные ( ) ,
действительные и равные ( ) ,

 

 

Окончание табл.1

 
Комплексные ,
             

Начальные условия задачи Коши должны быть представлены в виде

. (27)

Замечание. Если порядок однородного уравнения больше двух, то общее решение находится по той же схеме, как и для уравнения 2-ого порядка (см.таб.1):

a. Если , то линейно независимыми частными решениями будут функции , , .

b. Если , то линейно независимыми частными решениями будут функции , , .

c. Если корни характеристического уравнения является двукратными, то им соответствуют линейно независимые частные решения , , , .

(Все эти случаи можно расширить и далее)

Задача 17. Найти общее решение уравнения

Решение: Составим характеристическое уравнение: . Решая его, находим и . Корни действительные и различные . Имеем первый случай таблицы 1. Следовательно, линейно независимые частные решения , и общее решение имеет вид .

Задача 18. Найти общее решение уравнения .

Решение: Составим характеристическое уравнение: . Решая его, находим . Корни действительные и равные, т.е. мы имеем второй случай таблицы 1. Следовательно, линейно независимые частные решения , , общее решение имеет вид .

Задача 19. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения при начальных условиях: .

Решение: Составим характеристическое уравнение:

Корнями характеристического уравнения являются: ,
= -1, = 2, общее решение дифференциального уравнения.

Найдём значения произвольных постоянных С1 и С2, для этого найдём производную .

Подставив начальные условия, получим систему: ,
откуда , , и искомое частное решение будет .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1) ;

2) ;

3) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) .

2. Найти частные решения уравнений по данным начальным условиям:

1) , ;

2) ; , .

Ответы: 1) ; 2) .

3. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения , касающуюся в точке прямой .

Ответ: .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное уравнение этого типа имеет вид:

, (28)

где . Функция называется правой частью уравнения (28).

Для каждого уравнения (28) можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

(29)

Рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y0 однородного уравнения известно, то частное решение для соответствующего неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: . Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x). Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяются из системы двух уравнений:

. (30)


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-29; Просмотров: 756; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.028 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь