Основные законы распределения одномерных случайных величин.

7.1 Биномиальное распределение .

12.171 Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение , если: , .

Доказать, что: , .

12.172 Найти математическое ожидание и дисперсию ДСВ - числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна .

12.173 Найти дисперсию ДСВ - числа появлений события в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что

12.174 Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании. Найти вероятность появления события в одном испытании, если дисперсия числа появлений этого события в трёх независимых испытаниях равна .

12.175 По одному из тиражей денежно-вещевой лотореи куплено 100 билетов. Среднее квадратичное отклонение числа выигравших билетов равно . Найти вероятность выигрыша по одному билету лотореи.

12.176 Вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок попадёт в цель, хотя бы один раз, равна . Найти и случайной величины - числа попаданий при 20 выстрелах.

7.2 Распределение Пуассона .

12.177 Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона если: , .

Доказать, что: , .

12.178 В течение часа на станцию скорой помощи поступает случайное число вызовов , распределённое по закону Пуассона с параметром . Найти вероятности того, что в течение часа поступят: а) ровно два вызова; б) не более двух вызовов; в) не менее двух вызовов (Указание: принять )

12.179 Число вызовов, поступающих на АТС (автоматическая телефонная станция) каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром . Найти вероятности того, что минуту на АТС поступят: а) ровно три вызова; б) хотя бы один вызов; в) менее пяти вызовов (Указание: принять ).

12.180 Вероятность, что в течение часа на станцию скорой помощи не поступит ни одного вызова, равна . Считая, что число вызовов , поступающих в течение часа на станцию, имеет распределение Пуассона, найти её математическое ожидание и дисперсию .

7.3 Геометрическое распределение .

12.181 Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение , если: , .

Доказать, что: , .

12.182 Производятся многократные испытания некоторого элемента на надёжность до тех пор, пока элемент не откажет. Вероятность отказа элемента в каждом испытании равна . Составить закон распределения ДСВ - числа произведённых опытов и найти её математическое ожидание и дисперсию.

12.183 Вероятность поражения цели равна 0.05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Составить закон распределения ДСВ - числа произведённых выстрелов и найти вероятность того, что для поражения цели потребуется сделать не менее пяти выстрелов.

12.184 В большой партии изделий вероятность брака равна . Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружено, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Найти вероятность брака .

7.4 Равномерное распределение .

12.185 Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение , если: .

Доказать, что , , .

12.186 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 15мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не более 5мин.

12.187 Цена деления шкалы измерительного прибора равна . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка: а) меньшая ; б) большая .

12.188 Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1г. При измерении массы химических компонентов смеси отсчёт делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что величина - возможная ошибка определения массы по абсолютной величине не превысит величины среднего квадратичного отклонения возможных ошибок определения массы .

12.189 Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на интервале , причём , . Найти неизвестные постоянные и .

7.5 Показательное распределение .

12.190 Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение , если: .

Доказать, что , , .

12.191 Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение: . Найти вероятность того, что примет значение, меньшее математического ожидания .

12.192 Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Вычислить вероятности того, что за время длительностью элемент:

а) выйдет из строя; б) будет работать.

12.193 Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение , второго - . Найти вероятность того, что за время длительностью : а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать; в) только один элемент выйдет из строя; г) хотя бы один элемент выйдет из строя.

12.194 Время ожидания у бензоколонки АЗС является случайной величиной , распределённой по показательному закону со средним временем ожидания, равным . Найти вероятности следующих событий: а) ; б) .

12.195 Дисперсия показательно распределённой случайной величины равна . Найти вероятность .

12.196 Время (в годах) непрерывной работы электрической лампочки имеет показательное распределение. -ным ресурсом элемента называется такое число , что за время элемент не выходит из строя с вероятностью . Найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение 2 лет, если её 90%-ный ресурс составляет 6 месяцев.

7.6 Нормальное распределение .

12.197 Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение , если: , .

Доказать, что , .

Если ~ , то:

1) ; 2) , где -функция Лапласа, таблица значений которой приведена в приложении 6.2. При нахождении её значений для следует учесть, что функция - нечётная, т.е. .

12.198 Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределённой случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключённое в интервале .

12.199 Станок-автомат штампует детали. Контролируется длина детали , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше ; б) меньше (Указание: из равенства предварительно найти ).

12.200 Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением . Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине .

12.201 Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением и математическим ожиданием . Найти вероятность, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдёт по абсолютной величине

12.202 Станок-автомат изготовляет валики, причём контролируется их диаметр . Считая, что - нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением , найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью будут заключены диаметры изготовленных валиков.

12.203 Рост мужчин определённой возрастной группы распределён по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением . Какую долю (в %) костюмов третьего роста следует предусмотреть в общем объёме производства для данной возрастной группы? (Указание: третий рост- ).

12.204 Мастерская изготовляет стержни, длина которых представляет собой нормально распределённую случайную величину с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением . Какую точность длины стержня мастерская может гарантировать в этом случае с вероятностью ?

12.205 Длина куска обоев в рулоне – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением . Найти вероятность того, что длина куска в случайно выбранном рулоне будет не меньше .

12.206 Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна . Известно, что коробок имеют массу, меньшую . Каков процент коробок, масса которых отличается от средней массы по абсолютной величине не более, чем на ?

12.207 Станок-автомат заполняет банки кофе. Масса кофе - случайная величина ~ , а масса банки – случайная величина ~ . Найти вероятность того, что масса готовой к продаже банки с кофе будет не менее . (Указание. Рассмотреть случайную величину - масса банки с кофе).

12.208 Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением . Локомотив может тянуть состав массой не более , в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется. (Указание. Рассмотреть случайную величину , где - масса одного вагона).

12.209 Работа аппарата, расфасовывающего стиральный порошок в пакеты, подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратичным отклонением . Аппарат может быть настроен на любой средний вес упаковки с точностью до грамма. На какой средний вес должен быть настроен аппарат, если требуется, чтобы не более пакетов содержали меньше, чем стирального порошка?

12.210 Средний срок безотказной работы телевизора определённой марки составляет месяцев со средним квадратичным отклонением месяцев. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на телевизор данной марки, обещая заменить его на новый в случае поломки до определённого срока. Предполагается, что срок службы подчиняется нормальному закону. Какой срок гарантии следует установить производителю, если он согласен заменять только проданных телевизоров с наиболее коротким сроком работы?

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒