Непрерывные случайные величины: законы распределения и числовые характеристики.

Случайная величина называется (абсолютно) непрерывной случайной величиной (НСВ), если её функция распределения представляется в виде , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности (распределения) вероятностей. Множество возможных значений непрерывной случайной величины несчётно и обычно представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой прямой.

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной неубывающей функцией на всей числовой прямой, причём вероятность попадания в любую фиксированную точку равна нулю: , .

Функция является плотностью вероятностей некоторой НСВ , тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

Если функция распределения случайной величины на числовой прямой всюду непрерывна и почти всюду дифференцируема, то она является функцией распределения непрерывной случайной величины, плотность вероятностей которой в точках, где дифференцируема, определяется равенством:

.

В точках, где недифференцируема, плотность вероятностей , определяется произвольным образом, чаще всего по непрерывности слева или справа.

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число , если интеграл сходится абсолютно.

Дисперсию непрерывной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Модой непрерывной случайной величины называется число , определяемое как точка локального максимума плотности вероятностей . Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или множество значений (мультимодальное распределение).

Медианой непрерывной случайной величины называется число , удовлетворяющее условию или .

Начальным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Центральным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Для непрерывной случайной величины начальные и центральные моменты вычисляют по формулам: , .

В задачах 12.146-12.151 непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Требуется: а) найти функцию плотности вероятностей ; б) вычислить математическое ожидание и дисперсию ; в) найти вероятность попадания случайной величины .в интервал .

12.146 , .

12.147 , .

12.148 , .

12.149 , .

12.150 , .

12.151 , .

В задачах 12.152-12.155 непрерывная случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Требуется: а) найти функцию распределения ; б) вычислить математическое ожидание и дисперсию ; в) найти вероятность попадания случайной величины .в интервал .

12.152 , .

12.153 , .

12.154 , .

12.155 , .

В задачах 12.156-12.157 необходимо найти неизвестные константы в выражении для функции распределения НСВ и её математическое ожидание .

12.156 12.157

В задачах 12.158-12.159 необходимо найти неизвестные константы в выражении для функции распределения НСВ и вероятность указанного интервала.

12.158 , , .

12.159 , .

В задачах 12.160-12.164 необходимо найти неизвестную константу в выражении для функции плотности вероятностей НСВ и вероятность указанного интервала.

12.160 , .

12.161 , .

12.162 , .

12.163 , .

12.164 , .

12.165 Случайная величина задана функцией распределения . Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний величина три раза примет значение, принадлежащее интервалу , если .

12.166 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти вероятность того, что в трёх независимых испытаниях величина два раза примет значение, принадлежащее интервалу .

12.167 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти моду величины , если:

а)

б)

12.168 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти медиану величины , если:

а) б)

12.169 Доказать, что центральные моменты второго, третьего и четвёртого порядков: случайной величины связаны с её начальными моментами первого, второго, третьего и четвёртого порядков: равенствами: а) ;

б) ; в) .

12.170 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Требуется вычислить её начальные и центральные моменты: , ; коэффициенты асимметрии и эксцесса , если:

а) б)

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения.
2. Абстрактные законы операций над множествами
3. Анализ распределения и использования прибыли
4. Анализ распределения и использования прибыли
5. Биномиальный закон распределения
6. Влияние на развитие поражения особенностей распределения инкорпорированных радионуклидов
7. Глава 7. ЗАКОНЫ ВОЛЧЬЕЙ СТАИ, ИЛИ ЧТО ОСТАЛОСЬ У СОБАК ОТ ВОЛКОВ?
8. Глава I. Божественные законы установлены от природы, а человеческие — обычаями
9. Глава I. Божественные законы установлены от природы, а человеческие — обычаями
10. Государственное регулирование распределения доходов. Проблемы неравенства и бедности в Российской Федерации.
11. Грановская P.M., Никольская И.М. Законы межэтнических отношений
12. График поурочного распределения учебного материала для группы умеющих плавать