Формула полной вероятности. Формула Байеса.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

Пусть - наблюдаемые события для данного эксперимента, попарно несовместные ( при ) и образующие полную группу событий ( ). Такие события принято называть гипотезами по отношению к событию . Тогда для любого наблюдаемого в эксперименте события имеет место формула полной вероятности:

, где .

Пусть - совокупность гипотез по отношению к событию , безусловные вероятности которых , называемые априорными (доопытными), известны и пусть стало известно, что в результате эксперимента событие произошло. Тогда апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез при условии, что событие имело место вычисляются по формуле Байеса:

, где .

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность каждой из гипотез после поступления дополнительной информации относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.

12.71 В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

12.72 Вероятность того, что новый товар предприятия будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0.75, а при наличии конкурирующего товара равна 0.25. Вероятность выпуска конкурентом аналогичного товара равна 0.35. Какова вероятность, что новый товар данного предприятия будет пользоваться спросом?

12.73 Специалист по ценным бумагам считает, что вероятность роста стоимости акций АО «КамАЗ» в следующем году составит 0.75, если экономика страны будет на подъёме, и 0.3, если подъёма экономики не будет. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма в стране равна 0.6. Какова вероятность, что в следующем году стоимость акций АО «КамАЗ» поднимется?

12.74 На сборку попадают детали с трёх станков-автоматов. Известно, что первый станок даёт 3% брака, второй – 2%, третий – 4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 1500, со второго – 2500 и с третьего – 1000 деталей.

12.75 Рабочий обслуживает три станка на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0.02, для второго – 0.03, для третьего – 0.04. Обработанные детали складывают в один ящик. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго. Найти вероятность, что взятая наудачу из ящика деталь будет небракованной.

12.76 Имеются 2 урны с белыми и чёрными шарами. В первой урне 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй – 5 белых и 4 черных. Наудачу выбранный из первой урны шар перекладывается во вторую, после чего из второй урны вынимаются 2 шара. Найти вероятность того, что оба эти шара белые.

12.77 В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбирают два мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают два мяча. Какова вероятность, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

12.78 В первой бригаде токарей 5 рабочих имеют стаж менее трёх лет, 7 рабочих – от трёх до пяти лет и 4 рабочих – более пяти лет. Во второй бригаде токарей 6 рабочих имеют стаж менее трёх лет, 3 рабочих – от трёх до пяти лет и 5 рабочих – более пяти лет. Из первой бригады во вторую переведён один рабочий. Найти вероятность того, что наудачу выбранный из нового состава второй бригады рабочий имеет стаж работы не более пяти лет.

12.79 В первой урне находится 6 белых и 4 чёрных шара, во второй – 3 белых и 2 чёрных. Из первой урны наудачу извлекают сразу три шара и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

12.80 В каждой из трёх урн содержится 6 чёрных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечён один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлечённый из третьей урны, окажется чёрным.

12.81 Число легковых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит АЗС, относится к числу грузовых машин, проезжающих по тому же шоссе как . Вероятность того, что будет заправляться легковая машина, равна 0.1; для грузовой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это легковая машина.

12.82 Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0.55, ко второму – 0.45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0.9, вторым – 0.98. Стандартное изделие при проверке признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

12.83 В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников и 15 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 0.2, для второразрядника эта вероятность равна 0.1. Случайно выбранный участник выиграл у гроссмейстера. Какова вероятность, что это был перворазрядник?

12.84 Известно, что 96% выпускаемой предприятием продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную – с вероятностью 0.05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощённый контроль, удовлетворяет стандарту.

12.85 На складе предприятия имеются электродвигатели трёх заводов-изготовителей в количествах 19, 6 и 15 штук, которые могут безотказно работать в течение гарантийного срока с вероятностями 0.8, 0.75 и 0.9, соответственно. Найти вероятность того, что электродвигатель, проработавший безотказно до конца гарантийного срока, изготовлен вторым заводом.

12.86 В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока в 95%, 85% и 90% случаев, соответственно. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

12.87 Страховая компания делит водителей на три группы: «А» (не рискуют), «В» (рискуют умеренно) и «С» (сильно рискуют). Известно, что 30% всех водителей относится к группе «А», 50% - к группе «В», остальные – к группе «С». Вероятность попасть в течение года в аварию для водителя группы «А» равна 0.01, для водителя группы «В» - 0.03, а для водителя группы «С» - 0.1. Какова вероятность, что водитель относится к группам «А» или «В», если известно, что он в течение года попадал в аварию?

12.88 Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 4 белых и 5 чёрных шаров, во втором – 5 белых и 4 чёрных, в третьем – 6 белых шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

12.89 При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание у больного туберкулёзом равна 0.9. Вероятность принять здорового человека за больного равна 0.01. Среди всего населения больные туберкулёзом составляют 0.1%. Найти вероятность того, что человек здоров, если при обследовании он был признан больным.

12.90 Для сдачи экзамена по «Теории вероятностей» студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов, 2 – 15 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Какова вероятность, что он подготовил все вопросы?

12.91 Среди 25 экзаменационных билетов имеется ровно 5 «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. У кого больше вероятность вытащить «счастливый» билет: у того, кто подошёл первым, или у того, кто подошёл вторым?

12.92 Бросают монету, и если она падает гербом вверх, вынимают один шар из урны №1; в противном случае – из урны №2. Урна №1 содержит 3 чёрных и один белый шар. Урна №2 – один чёрный и 3 белых шара. Найти вероятности того, что: а) вынут чёрный шар; б) вынут шар из первой урны, если он оказался чёрным.

12.93 В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

12.94 В ящик содержащий 8 исправных изделий, добавлено два изделия, взятых со склада. Известно, что доля бракованных изделий на складе равна 5%. Найти вероятность того, что взятое наудачу из пополненного ящика изделие будет бракованным.

12.95 Батарея из трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0.4, 0.3, 0.5.

12.96. Два охотника сделали по одному выстрелу по кабану и убили его. Как по справедливости им разделить тушу, если оказалось, что попал только один и известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0.8, а у второго – 0.6?

12.97 Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом равна 0.4, вторым – 0.5, третьим – 0.7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью равной 0.2; двумя попаданиями – 0.6, а тремя наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Схема Бернулли.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒