Дискретные двумерные случайные величины.

Совокупность случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве , A, ), называют многомерной ( -мерной) случайной величиной (случайным вектором ). Ограничимся рассмотрением двумерных случайных величин , .

Функцией распределения случайного вектора называется функция действительных переменных и , , определяемая формулой .

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник , вычисляется по формуле:

, ) .

Зная функцию распределения (совместную) вектора , можно найти функцию распределения (частную) каждой компоненты:

, .

Случайные величины и называются независимыми, если для всех : . В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Случайный вектор называется дискретным случайным вектором, если каждая из его компонент является дискретной случайной величиной. Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин и с конечным множеством возможных значений и .

Функция распределения дискретного случайного вектора задаётся формулой , где , , и суммирование распространяется на все значения индексов и для которых и .

Закон распределения дискретного случайного вектора удобно задавать таблицей распределения (вероятностей), в которой перечислены все возможные пары значений ), , компонент вектора и соответствующие им вероятности , причём .

Частные законы распределения , и , компонент и , где , , можно найти, производя в таблице суммирования в каждой строке по столбцам и в каждом столбце по строкам.

Дискретные случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда , , , . В противном случае они зависимы.

Ковариацией (корреляционным моментом) случайных величин и называют число . Очевидно, что . Более удобной для вычисления является формула . Для независимых случайных величин и : (необходимое условие независимости). Если , то случайные величины и называют некоррелированными.

Коэффициентом корреляции случайных величин и называют число

, где , .

Коэффициент корреляции обладает свойствами: 1) ; 2) тогда и только тогда, когда и связаны линейной зависимостью , ; 3) если и независимы, то (необходимое условие независимости).

Условные законы распределения компоненты при , (индекс сохраняет одно и тоже значение при всех возможных значениях ) задают рядами распределения, указывая все возможные значения и соответствующие им условные вероятности: , . Аналогично задают условные законы распределения компоненты при , : , . Условные вероятности компонент и вычисляют соответственно по формулам:

, .

Числовые характеристики , , , , , вычисляют по формулам: , , ,

, .

Условные математические ожидания дискретных случайных величин и при условиях и определяются соответственно формулами:

, .

Вероятность события , где - постоянная величина, вычисляется по формуле , где суммирование распространяется на все значения индексов и для которых .

В задачах 12.211-12.214 закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей распределения вероятностей.

Требуется: а) найти законы распределения составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет;

б) вычислить , а также вероятность для указанных и ;

в) найти условные законы распределения составляющих и при условии, что другая составляющая принимает указанные значения и , а также вычислить , .

12.211 , , , .

	Y
X
	0.05	0.1	0.25
	0.15	0.2	0.25

12.212 , , , .

	Y
X
	0.12	0.18	0.3
	0.08	0.12	0.2

12.213 , , , .

	Y
X
	0.06	0.34	0.03
	0.14	0.36	0.07

12.214 , , , .

	Y
X
	0.06	0.09	0.15
	0.08	0.12	0.2
	0.06	0.09	0.15

12.215 Бросается одна игральная кость. Требуется: а) составить закон распределения двумерной случайной величины , где случайные величины и определяются следующим образом: если при подбрасывании игральной кости выпадает чётное число очков, то , в противном случае и , когда число очков кратно трём, в противном случае ; б) выяснить являются ли величины , зависимыми и вычислить коэффициент корреляции .

12.216 Бросаются две игральные кости. Требуется: а) составить закон распределения двумерной случайной величины , где случайные величины и определяются следующим образом: если сумма очков на игральных костях чётная, то , в противном случае и , если произведение очков на игральных костях – чётное число, в противном случае ; б) выяснить являются ли величины , зависимыми и вычислить их ковариацию .

12.217 Число выбирается случайным образом из множества целых чисел: . Затем из того же множества выбирается наудачу число , больше первого или равное ему. Составить закон распределения двумерной случайной величины и найти .

12.218 Пусть и -произвольные случайные величины. Доказать, что:

а) ,

б) , где .

12.219 Случайные величины и имеют математические ожидания , , дисперсии , и ковариацию . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

12.220 Найти математические ожидания , , дисперсии , и ковариацию случайных величин и , если , , а случайные величины и имеют следующие числовые характеристики: , , , , .

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения.
2. Законы распределения случайной величины.
3. Методы переменных состояния. Случайные марковские модели
4. Непрерывные двумерные случайные величины.
5. Непрерывные случайные величины: законы распределения и числовые характеристики.