Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей.

Геометрическая вероятность.

Пусть эксперимент состоит в том, что наудачу бросается точка в некоторую область . Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области «равновозможны». В этом случае вероятность попадания точки в некоторую часть области равна отношению меры (длины, площади, объёма) этой части к мере всей области : , в предположении, что указанные меры определены, причём . Данное определение вероятности события называют геометрическим определением вероятности.

12.31 На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

12.32 На отрезок длины числовой оси наудачу поставлена точка . Найти вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину, большую, чем .

12.33 На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадёт также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

12.34 Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника.

12.35 В прямоугольном броневом щите размером 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размером 10 на 10 см. Найти вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равно возможно.

12.36 Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечёт ни одной из прямых.

12.37. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

12.38 На отрезке длины наудачу поставлены две точки и , причём . Найти вероятности того, что: а) длина отрезка меньше длины отрезка ; б) длина отрезка окажется меньше, чем .

12.39 Наудачу взяты два положительных числа и , каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.

12.40 Паркетный пол составлен из прямоугольных плиток размерами . Определить вероятность того, что упавшая на пол монета полностью окажется на одной плитке, если ее диаметр равен 2 см.

Схема Бернулли.

Одномерные случайные величины.

Многомерные случайные величины.

Функции случайных величин.

Пусть - случайная величина, заданная на вероятностном пространстве , A, ) и - числовая функция, область определения которой включает в себя множество возможных значений . Случайную величину , которая каждому ставит в соответствие число называют функцией от скалярной случайной величины и пишут .

Функция от дискретной случайной величины также является дискретной. Если задана рядом распределения , , то рядом распределения случайной величины является ряд: , , , где -различные числа среди чисел , ( суммирование распространяется на все значения индекса для которых ).

Функция от непрерывной случайной величины может быть как непрерывной, так и дискретной случайной величиной.

Если задана плотностью вероятностей и является монотонной (возрастающей или убывающей) дифференцируемой функцией, то плотность вероятностей случайной величины определяется формулой: , где - функция, обратная к функции . Если является дифференцируемой кусочно-монотонной (имеющей интервалов монотонности) функцией, то плотность вероятностей случайной величины определяется формулой , где - функция, обратная к функции на -ом интервале её монотонности (возрастания или убывания).

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайной величины можно не знать закон распределения зависящей от случайной величины , а достаточно знать закон распределения случайного аргумента . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , если они существуют, могут быть найдены по формулам:

1) , , если дискретная случайная величина задана рядом распределения , , где ; 2) , , если непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей .

Пусть - случайная вектор, заданный на вероятностном пространстве , A, ) и - числовая функция, область определения которой включает в себя множество возможных значений . Случайную величину , которая каждому ставит в соответствие число называют функцией от случайного вектора и пишут .

Функция от дискретного случайного вектора также является дискретной. Если задан таблицей распределения , , , где , то рядом распределения случайной величины является ряд: , , где - различные числа среди чисел , , , (суммирование распространяется на все значения индексов и для которых ).

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайного вектора достаточно знать закон распределения случайного аргумента . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , если они существуют, могут быть найдены по формулам:

1) , , если дискретный случайный вектор задан таблицей распределения , , , где ;

2) , , если непрерывный случайный вектор задан совместной плотностью вероятностей .

12.226 Дискретная случайная величина задана рядом распределения . Найти распределение случайной величины и вычислить , если:

а) ; б) ; в) ; г) .

12.227 Распределение двумерной дискретной случайной величины задаётся таблицей распределения вероятностей:

	Y
X
	0.07	0.1	0.13
	0.2	0.23	0.27

Найти ряд распределения вероятностей случайной величины и вычислить , если:

а) ; б) .

12.228 Непрерывная случайная величина , возможные значения которой заключены в интервале , задана функцией плотности вероятностей . Найти функцию плотности вероятностей случайной величины , если:

а) ; б) ; в) ; г) .

12.229 Непрерывная случайная величина равномерно распределена в интервале . Найти функцию плотности вероятностей случайной величины , если:

а) ; б) ; в) .

12.230 Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения ~ . Доказать, что линейная функция также имеет нормальный закон распределения, причём , .

12.231 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти математическое ожидание функции , если:

а) б) .

12.232 Рассматривая диаметр круга как случайную величину, распределённую равномерно в интервале , найти математическое ожидание площади круга .

12.233 Рассматривая ребро куба как случайную величину , распределённую равномерно в интервале , найти математическое ожидание объёма куба .

12.234 Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

12.235 Случайные величины и независимы и распределены равномерно: - в интервале , - в интервале . Найти и .

Геометрическая вероятность.

Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей.

Всякое случайное событие можно рассматривать как подмножество (обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет), состоящее из всех тех , которые благоприятствуют событию ( ). Множество называют достоверным событием, а пустое множество , являющееся по определению подмножеством , называют невозможным событием.

Если , то говорят, что событие влечёт событие .

Произведением событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события и . События и называют несовместными, если .

Суммой событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или .

Разностью событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие . Событие , происходящее тогда и только тогда, когда событие не происходит, называют противоположным событию . Разность событий всегда можно представить в виде .

Систему подмножествA множества , замкнутую относительно алгебраических операций над счётным числом событий называют -алгеброй событий.

Пусть A - -алгебрa событийдля данного эксперимента. Вероятностью случайного события называется числовая функция , определённая для всех A и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) ; 2) ;

3) Для любой последовательности наблюдаемых случайных событий таких, что при , .

Тройка , A, ) называется вероятностным пространством.

Из аксиом вероятности (А.Н.Колмогорова) следуют следующие её свойства:

1) ; 2) ; 3) Если , то ;

4) ; 5) .

Пусть и - наблюдаемые события в эксперименте, причём . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством: .

События и , имеющие ненулевую вероятность, называются независимыми, если выполняется равенство или , в противном случае события и называются зависимыми.

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) , ;

2) (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) ;

4) (для несовместных событий).

В задачах 12.41-12.44 используя свойства вероятности, найти вероятности указанных событий.

12.41 Найти вероятность , если известны вероятности , =0.18.

12.42 Найти вероятности , , , если известны вероятности , , .

12.43 Найти вероятность , если известны вероятности , , .

12.44 Найти вероятность , если известны вероятности , , .

12.45 Доказать, что если , то события и совместны.

12.46 Наступление события необходимо влечёт наступление события . Доказать, что .

12.47 В ящике находятся катушки четырех цветов: белых - 50%, красных -20%, зеленых - 20%, синих - 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей?

12.48 В первом ящике 2 красных и 10 синих шаров, во втором ящике 8 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров красный, а другой синий.

12.49 Прибор, работающий в течение суток, состоит из трёх узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0.9, второго 0.95, третьего 0.85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор выйдет из строя.

12.50 В первой урне находятся 1 белый и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 3 белых и 2 черных шара. Из каждой урны взяли по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных?

12.51 Вероятность того, что студент сдаст успешно первый экзамен, равна 0.9, второй – 0.8, третий – 0.7. Найти вероятности того, что студентом будут успешно сданы: а) все экзамены; б) по крайней мере два экзамена; в) хотя бы один экзамен;

12.52 В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по два шара. Какова вероятность того, что: а) все шары белые; б) все шары чёрные.

12.53 Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0.9. Определить вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

12.54 Для двух аппаратов вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа составляет для первого – 0.75; для второго – 0.8. Какова вероятность того, что оба аппарата будут бесперебойно работать на протяжении трех часов?

12.55 На четырёх одинаковых карточках написаны буквы: «Е», «С», «Т», «Т». Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд слева направо. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕСТ».

12.56 Из 10 карточек азбуки составлено слово «СТАТИСТИКА». Из этих карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово «ТАКСИ».

12.57 Для некоторой местности среднее число ясных дней в июне равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня июня будут ясными.

12.58 Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике 0.6, во втором – 0.7, в третьем – 0.8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) хотя бы в одном справочнике; г) во всех справочниках.

12.59 Три стрелка стреляют по разу в одну мишень независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.6, вторым - 0.7, третьим - 0.75. Найти вероятности:

а) ровно одного попадания в цель; б) хотя бы одного попадания в цель.

12.60 А, В, С – компоненты электронной системы. Вероятность бесперебойной работы каждого из компонентов в течение года равна 0.95, 0.9, 0.93, соответственно. Какова вероятность работы всей системы без отказов на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы: а) работали все три компонента; б) работали хотя бы два из трёх компонентов.

12.61 Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0.95, во второе отделение – 0.9 и в третье – 0.8. Найти вероятности того, что: а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

12.62 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0.7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0.8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найти вероятности того, что: а) все изготовленные детали - первосортные; б) хотя бы одна деталь – первосортная.

12.63 Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0.38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0.8.

12.64 Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при двух выстрелах равна 0, 99. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

12.65 При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0.6. Найти вероятности того, что: а) двигатель начнёт работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придётся включать зажигание не более трёх раз.

12.66 Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0.5. Спортсмены выполняют упражнения по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнения первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

12.67 Охотник выстрелил 3 раза по удалявшейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найти вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет 2 раза.

12.68 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Какова вероятность сдать зачет, если для этого надо ответить на случайно доставшийся вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный преподавателем случайным образом?

12.69 В декларации фабрики, сопровождающей её изделия, сказано, что брак может составлять не более 1% и более того, 90% годной продукции является продукцией первого сорта. Специалист фирмы по маркетингу принимает решение о заключении контракта с данной фабрикой только в том случае, если взятое им наудачу изделие – первого сорта. Какова вероятность заключения контракта с данной фабрикой?

12.70 Вероятность попасть из орудия в самолёт равна 0.8, а вероятность сбить самолёт равна 0.5. Найти вероятность того, что при попадании из орудия в самолёт, он будет сбит.

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒