Метод неопределенных коэффициентов

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную, тригонометрическую функцию или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Подчеркнем, что данный метод применим лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как или . Кроме того, при решении этим методом справедлив п ринцип суперпозиции. Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида и/или , где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно, то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений уравнений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения. Различные формы частного решения в зависимости от вида правой части и корней характеристического уравнения даны в таблице 2.

Таблица 2.

№	Вид правой части	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	а)	P_n(x)	Число 0 не является корнем характеристического уравнения.
б)	Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности s.	x^s×
	а)	P_n(x)× e^a^x	Число a не является корнем характеристического уравнения.	× e^a^x
б)	Число a является корнем характеристического уравнения кратности s.	x^s × e^a^x
	а)	P_n(x)cosbx+ sinbx	Числа ±bi не являются корнями характеристического уравнения.	cosbx+ + sinbx r = max(n, m).
б)	Числа ±bi являются корнями характеристического уравнения.	x× cosbx + +x× sinbx r = max(n, m).
	а)	P_n(x) × e^a^x × cosbx + + × e^a^x × sinbx	Числа a ± bi не являются корнями характеристического уравнения.	e^a^x× cosbx+ + × e^a^x× sinbx r = max(n, m).
б)	Числа a ± bi являются корнями характеристического уравнения.	x( e^a^xcosbx+ + e^a^x× sinbx) r = max(n, m).

Таблица 3

n (степень многочлена P_n(x))

Задача 20. Найти общее решение уравнения .

Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение и решаем его: , , , следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь вид (таблица 1).

Правая часть и число 0 не является корнем характеристического уравнения, имеем случай 1.а) таблицы 2. Частное решение ищем в виде: , ( − многочлен 2-ой степени с неопределёнными коэффициентами (таблица 3)). Для определения коэффициентов , найдём производные , и подставим их в исходное уравнение:

,
.

Приравнивая коэффициенты при x с одинаковыми степенями в правой и левой частях равенства, получим:
при :
при
при ,

откуда , , .

Следовательно, – частное решение.

Общее решение исходного неоднородного уравнения в виде (29) запишется:

Задача 21. Найти общее решение уравнения .

Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение или имеет двукратный корень . Следовательно, общее решение однородного уравнения: (таблица 1).

Исследуем правую часть . Если представить её в виде , то получим, что , т.е. , . Очевидно, что является двукратным корнем характеристического уравнения ( ). Имеем случай 2.б) таблицы 2. Поэтому частное решение будем искать в виде , где – многочлен нулевой степени, т.е. число А (таблица 3). .

Найдём производные , и подставим их в исходное уравнение:

Сократим обе части уравнения на :

, откуда 2А = 2, А = 1.

Следовательно, частное решение исходного уравнения будет , а его общее решение или .

Задача 22. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет два мнимых корня . Следовательно, общее решение однородного уравнения будет .

Правая часть уравнения имеет вид . (Таблица 2), где , , , , . Очевидно, что числа являются корнями характеристического уравнения. Имеем случай 3 б) таблицы 2. Поэтому частное решение . Так как искомые многочлены и нулевой степени, т.е. числа A и B.

Найдём производные , и подставим их в исходное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях равенства, получим:
при ;

при , откуда , . Следовательно, . Общее решение. .

Задача 23. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет два корня . Следовательно, общее решение однородного уравнения будет .

Исследуем правую часть . Если представить её в виде , то , , , , , , . Очевидно, что не являются корнями характеристического уравнения, Имеем случай 4 а) таблицы 2. Тогда частное решение будем искать в виде , где и – многочлены нулевой степени, т.е. числа А и В. Следовательно, .

Найдём производные , и подставим их в исходное уравнение:

Сократим правую и левую части на и приведём подобные:

Приравнивая коэффициенты при и при в левой и правой частях неравенства, получим:

при ;

при , откуда , .

Следовательно, .

Общим решением исходного уравнения будет функция

Задача 24. Решить задачу Коши: , , .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , . Следовательно, общее решение однородного уравнения будет .

Правая часть уравнения . Если представить её в виде , то , , , , . Очевидно, что не являются корнями характеристического уравнения, т.е. не совпадают с . Имеем случай 3 а) таблицы 2. Степень искомых многочленов , т.е. =А и =В. Таким образом, .

Найдём производные , и подставим их в исходное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях равенства, получим:
при ;

при , откуда , .

Следовательно, . Общее решение запишем в виде: .

В силу условия получаем . Далее найдём . В силу условия , получим . Для отыскания и необходимо решить систему , из которой , . Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение уравнения , найдём искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: .

Задача 25. Решить уравнение .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения

имеет вид (проверьте! ) . Данное дифференциальное уравнение представим в виде совокупности двух уравнений

Частное решение первого уравнения находим в виде:

так как – корни характеристического уравнения

, .

Соответствующие вычисления, которые предлагаем выполнить самостоятельно, дают

Частное решение второго уравнения находим в виде .

Определив значения коэффициентов, получим .

Общее решение исходного уравнения имеет вид , т. е.

Приведём примеры приложения теории дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к решению задач из курса теоретической механики.

Пример 3 . [5] Задание Д.2, стр. 130. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил.

Без учета сопротивления дифференциальные уравнения движения имеют вид: .

Составляем характеристическое уравнение , его решение . По таблице 1 общее решение уравнения имеет вид: Число 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому по таблице 2 вид 1а) частное решение уравнения .

Подставляем в , получим , отсюда ,
тогда .

Обратимся теперь к изучению движения точки с сопротивлением (стр.137) . Дифференциальные уравнения примут вид

Составляем характеристическое уравнение, решая его, получим

(по условию n< l, рад/с.). Тогда по таблице 1 общее решение уравнения имеет вид:

Число 0 не корень характеристического уравнения, имеем случай 1. а) из таблицы 2

Подставляем в , получим , отсюда ,
т.е. , тогда

Пример 4. [5]. Задание Д.8. Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.

Дифференциальное уравнение движения тела имеет вид (стр.181)

Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет . Число 0 является корнем характеристического уравнения, тогда согласно таблице 2, 1 б) частное решение ищем в виде х^**=Аt, дифференцируя, получим