Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три типа дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1) Уравнение вида (20)

Общее решение получается путём n-кратного интегрирования:

Задача 13. Найти общее решение: .

Решение:

2)Уравнение вида (21)
т.е. уравнения, не содержащие явно искомую функцию и её производные до порядка включительно. С помощью замены порядок уравнения понижается на единиц.

Задача 14. Найти общее решение: .

Решение: Данное уравнение не содержит явно функцию . Положим , тогда и уравнение примет вид или .

Полученное уравнение является линейным первого порядка, поэтому воспользуемся подстановкой : ,

Решая первое уравнение, получим , , , . Подставляя во второе уравнение найденную функцию , получим , , . Так как , то , . Учитывая то, что , получим – общее решение исходного дифференциального уравнения.

3) Уравнение вида , (22)
не содержащее явно независимую переменную . Подстановкой порядок уравнения понижается на единицу. При этом новой неизвестной функцией будет , а независимой переменной, т.е. аргументом, будет .

Задача 15. Найти общий интеграл: .

Решение: Используем подстановку , тогда

– это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Т.к. , то сноваполучается дифференциальное равнение первого порядка с разделёнными переменными. , , . В результате интегрирования получим , , – общий интеграл дифференциального уравнения.

Приведём примеры приложения теории дифференциальных уравнений рассмотренного вида к решению задач из курса механики.

Пример 1. Рассмотрим упругую призматическую балку, изгибающуюся под действием внешних сил, как непрерывно распределённых (вес, нагрузка), так и сосредоточенных. Направим ось Ох горизонтально, по оси балки в её недеформированном состоянии, ось Оу – вертикально вниз.

Каждая сила, действующая на балку (например, нагрузка балки, реакция опор), имеет момент относительно какого-нибудь поперечного сечения балки, равный произведению силы на расстояние точки приложения силы от данного сечения. Сумма моментов всех сил, приложенных к части балки, расположенной по одну сторону от данного сечения, с абсциссой x, называется изгибающим моментом балки относительно данного сечения. Рис.1.

В курсе сопротивления материалов доказывается, что изгибающий момент балки равен , где Е – так называемый модуль упругости, зависящий от материала балки; I – момент инерции площади поперечного сечения балки относительно горизонтальной линии, проходящей через центр тяжести площади поперечного сечения; R – радиус кривизны оси изогнутой балки, который выражается формулой

Таким образом, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид

(23)

Если считать, что деформации малы и что касательные к оси балки при изгибе образуют малый угол с осью Ох, то можно пренебречь квадратом малой величины и считать . Тогда дифференциальное уравнение изогнутой балки примет вид – это уравнение вида (20).

Пример 2. Балка наглухо закреплена в конце О и подвергается действию сосредоточенной вертикальной силы P, приложенной к концу балки L на расстоянии l от места закрепления (рис. 1). Изгибающий момент относительно сечения N в данном случае равен . Дифференциальное уравнение (23) примет вид .

Начальные условия: при x = 0 прогиб y равен нулю и касательная к изогнутой оси балки совпадает с осью Ox, т.е. при . Дважды интегрируя уравнение , получим:

Подставляя начальные данные, определяем значения и .

Таким образом, уравнение изогнутой оси балки будет иметь вид:

В частности, прогиб h на конце балки L: [3, c. 62-63].

Задача 16. Балка длины l, лежащая концами на двух опорах, находится под действием равномерно распределённой нагрузки интенсивности q. Найти уравнение изогнутой оси балки и её максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине ненагруженной балки. (Указание. , где – модуль Юнга, – момент инерции поперечного сечения балки относительно оси Ох).

Решение. Из уравнения выразим – это дифференциальное уравнение вида (11).

Последовательно интегрируя дважды, получим

, (*)

. (**)

Для определения значений произвольных постоянных и сформулируем начальные условия: при ; при .
Подставляя начальные данные в уравнения (*) и (**), найдём , . Уравнение изогнутой оси балки – .

. Следовательно, максимальный прогиб оси балки – .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Решить дифференциальные уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ответы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

2. Найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

1) , , ;

2) , , , ;

3) , , ;

4) , , .

Ответы: 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Если тело медленно погружается в воду, то его скорость v(t) и ускорение a(t) приближённо связаны уравнением , где g и k – постоянные. Установить зависимость между пройденным путём s и временем t, если при t = 0, s = 0, v = 0.

Ответ: .

4. Балка длины l, заделанная правым концом в стену, изгибается силой F, приложенной к левому концу, и равномерно распределённой нагрузкой интенсивности q. Найти уравнение изогнутой оси балки и её максимальный прогиб. (Указание: , где Е – модуль Юнга, I – момент инерции поперечного сечения балки относительно оси Оx).

Ответ: , .

Лекция: ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА

Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка называется
линейным, если оно является уравнением первой степени относительно искомой функции и её производных :

, (24)

где , и – непрерывные функции на отрезке . При этих условиях существует единственное решение уравнения (24), удовлетворяющее заданным начальным условиям: , при . Уравнение (24) называется линейным неоднородным. Если же , то уравнение называется линейным однородным соответствующим данному неоднородному.

Класс линейных дифференциальных уравнений широко распространён в самых разнообразных прикладных задачах. Рассмотрим решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒