Лекция: СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система дифференциальных уравнений вида

(31)

называется нормальной системой двух уравнений первого порядка.

Общим решением системы (31) называется совокупность двух дифференцируемых по функций , , содержащих две произвольные постоянные и , если при любых допустимых значениях этих постоянных данные функции обращают уравнения системы (31) в тождества.

Задачей Коши для системы (31) называется задача нахождения частного решения этой системы , , полученного из общего решения при фиксированных и , найденных с помощью начальных условий , .

Рассмотрим физический смысл системы (31), считая, что независимая переменная t – это время:

(32)

Решение , этой системы есть некоторая кривая в плоскости с фиксированной прямоугольной системой координат. Плоскость называется фазовой плоскостью, а кривая , – фазовой траекторией системы (32). Сама система (32) называется динамической системой. Динамическая система называется автономной (стационарной), если в правые части уравнений этой системы время t не входит явным образом.

Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в плоскости точки в любой момент времени t. Решение динамической системы , – это уравнение движения точки (траектория движения представлена уравнением в параметрической форме). Начальные условия задают положение точки в начальный момент: , .

Нормальная система (31) эквивалентна одному дифференциальному уравнению 2-ого порядка от одной неизвестной функции. На этом основан один из методов решения систем уравнений – метод исключения.

Задача 26. Найти общее решение системы или .

Решение. Выразим из первого уравнения системы и, дифференцируя по t, найдём . Подставим во второе уравнение и получим

или (*)

Уравнение (*) – это неоднородное уравнение 2-ого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Найдём общее решение уравнения (*). Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение однородного уравнения будет .

Исследуем правую часть . Так как не является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в виде . Тогда , . Подставляя и в уравнение (*), получим , откуда , . Следовательно, общим решением уравнения (*) будет функция , .

Найдём : , тогда

Найденные функции и являются общим решением исходной системы.

Задача 27. Найти фазовую траекторию автономной динамической системы , , походящей через точку .

Решение.Продифференцируем второе уравнение по t и подставим выражения и в первое уравнение. Получим , или - одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией y. Разделим обе части последнего уравнения на и перепишем его в виде: . Отсюда следует, что , или , откуда .

Найдём и подставим во второе уравнение системы: . Итак, система функций , есть общее решение исходной системы дифференциальных уравнений.

Исключая из общего решения время t, получим, что фазовыми траекториями системы являются прямые , причём через заданную точку проходит прямая .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Решить системы дифференциальных уравнений:

1) ;

2) .

Ответы: 1) ; 2) .

Решить задачу Коши:

Ответ: .

2. Найти фазовую траекторию автономной динамической системы , , проходящей через точку .

Ответ: .

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ
ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

При решении физических задач с применением теории дифференциальных уравнений необходимо, прежде всего, определить, какую из величин рассматривать как независимую переменную (например, x), а какую – как искомую функцию (например, y). Затем необходимо определить, насколько изменится искомая функция , когда независимая переменная получит приращение , т.е. выразить разность через величины, заданные условиями задачи. Разделив эту разность на и перейдя к пределу при , получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию.

В большинстве задач содержатся условия, с помощью которых можно определить значения постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения. Иногда дифференциальные уравнения можно составить более простым путём, воспользовавшись физическим смыслом производной (если независимая переменная t – время, то есть мгновенная скорость изменения величины в точке t.

В некоторых задачах при составлении уравнения следует использовать физические законы, следующие из текста задачи.

Задача 28.В сосуд, содержащей 10 л. белой водоэмульсионной краски, непрерывно поступает со скоростью 2 литра минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0, 3 кг красящего пигмента. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водоэмульсионной краской, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько красящего пигмента будет в сосуде через 5 минут?

Решение. Примем за неизвестную переменную время , а за искомую функцию – количество красящего пигмента в сосуде через время после начала опыта. Найдём, на сколько изменится количество красящего пигмента за промежуток времени от момента до момента . В одну минуту поступает 2 литра раствора, а в минут – 2 литров. В этих 2 литрах содержится кг. красящего пигмента. С другой стороны, за время из сосуда вытекает 2 литров раствора. В момент во всём сосуде (10 л) содержится кг красящего пигмента, следовательно, в 2 литрах вытекающего раствора содержалось бы кг красящего пигмента, если бы за время содержание красящего пигмента в сосуде не менялось. Но так как оно за это время менялось на величину, бесконечно малую при , то в вытекающих 2 литрах содержится кг красящего пигмента, где при .

Итак, в растворе, втекающем за промежуток времени , содержится кг красящего пигмента, а в вытекающем - кг. Приращение количества красящего пигмента за это время равно разности найденных величин, т.е.

Разделим на и перейдём к пределу при . В левой части получится производная , а в правой получим , так как при .

Итак, имеем дифференциальное уравнение .

Интегрируя, получим . Из постановки задачи следует, что , поэтому , откуда .

Так как при , красящего пигмента в сосуде не было, то . Подставив начальные данные в общее решение дифференциального уравнения, найдём С = 3.

Частное решение дифференциального уравнения .

При в сосуде будет кг. красящего пигмента [4].

Задачи для самостоятельного решения:

1. Через какой промежуток времени температура тела, нагретого до 100^оС, понизится до 25^о С, если температура помещения равна 20^о С и за первые 10 мин. тело охладилось до 60 ^о С?

2. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, то диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью 3об/с. Через какой промежуток времени он будет иметь угловую скорость 1 об/с? (Указание: уравнение имеет вид ).

3. Тело массы m движется прямолинейно под действием постоянной силы F. Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

4. Определить форму равновесия нерастяжимой нити с закреплёнными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь.

Ответы: 1) Через 40 мин. 2) об/с; через 6 мин 18 сек.

3) ;
4) ,
p – нагрузка на единицу длины горизонтальной проекции,
T - горизонтальная составляющая силы натяжения нити.

ТЕСТ

1. Какая из функций является решением дифференциального уравнения

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Какое из уравнений не является уравнением с разделяющимися переменными?
1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. При каком значении С функция является решением уравнения ?

1) 3; 2) -3; 3) ; 4) 1.

4. Уравнение кривой, проходящей через точку , угловой коэффициент касательной к которой равен , имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5. Дифференциальное уравнение, общее решение которого можно представить как семейство парабол с вершиной в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью абсцисс, имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?

1) 100 м; 2) 200 м; 3) 40 м; 4) 72 м.

7. Пусть и – два различных решения уравнения . При каком соотношении между постоянными С₁ и С₂ функция будет решением данного уравнения?
1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. Даны функции и . Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с общим решением имеет вид:

1) ; 2) ;
3) ; 4) .

9. Интегральная кривая дифференциального уравнения , касающаяся в точке прямой имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10. Для неоднородного дифференциального уравнения частное решение с неопределёнными коэффициентами будет иметь вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

(примерный вариант)

Вариант I

(средний уровень сложности)

1. Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произведению скорости движения и времени . Установить зависимость между скоростью и временем, если при .

2. Найти общее решение:

1) ;

2) ;

3) .

3. Решить задачу Коши:

1) ;

2) , , ;

3) , , .

4. Решить систему дифференциальных уравнений

Вариант II

(повышенный уровень сложности)

1. Тело массы m падает вертикально вниз под действием силы тяжести и тормозящей силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности k). Найти закон изменения скорости v падения тела, если в момент времени .

2. Найти общее решение:

1) ;

2) ;

3) .

3. Решить задачу Коши:

1) ;

2) ;

3) .

4. Решить систему дифференциальных уравнений

ЛИТЕРАТУРА

1. Гутер Р.С.Дифференциальные уравнения [Текст]/ Р.С. Гутер,
А.Р. Янпольский. – М.: Высшая школа, 1976. – 304с.

2. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч.3: Учебное пособие для втузов [Текст] / Под общ. ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. 5-ое изд. испр. – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2008. – 288 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 2 [Текст]/ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – 560с.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям [Текст] / А.Ф. Филиппов. – М.: Наука, 1970. – 96с.

5. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике[Текст]/ А.А. Яблонский – М.: Высшая школа, 1985. – 357с.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45