Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида

. (7)

Такие уравнения называют уравнениями с разделёнными переменными. Проинтегрировав это уравнение почленно, получим

(7*)

– его общий интеграл.

Задача 3. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Данное уравнение с разделенными переменными. Поэтому, или , . Общий интеграл будет иметь вид: . Обозначив , получим .

К уравнениям с разделёнными переменными сводятся дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

(8)

путём почленного деления его на . Получаем .

Общий интеграл: . (8*)

Замечания.

1) В процессе почленного деления дифференциального уравнения (3) на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и найти те решения, которые не могут быть получены из общего решения.

2) Уравнение вида также сводится к уравнению с разделёнными переменными путём представления производной в виде , т.е. . Разделив переменные, получим – это равенство двух дифференциалов и их неопределённые интегралы отличаются на постоянное число. Поэтому можно проинтегрировать левую часть по , а правую часть по : , где С – произвольная постоянная. После интегрирования получим общее решение дифференциального уравнения в явном виде или общий интеграл.

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение: Полагая , перепишем данное уравнение в виде . Для разделения переменных умножим обе части на и разделим на . Полученное уравнение будет с разделёнными переменными, которое можно интегрировать: . Получаем общий интеграл или . (для удобства потенцирования постоянная интегрирования обозначена , что вполне допустимо, т.к. принимает значения от до ). Общее решение данного дифференциального уравнения запишем в виде .

При делении на потеряно очевидное решение , что можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Проверка . Подставив функцию и её производную в исходное дифференциальное уравнение, получим , . Полученное тождество говорит о правильности решения уравнения.

Задача 5. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Полагая , перепишем данное уравнение в виде . Приведёмк виду с разделёнными переменными . Интегрируя обе части уравнения: , , , получим – общий интеграл.

При делении на могли быть потеряны решения и . Очевидно, – решение данного дифференциального уравнения, а – нет.

Задача 6. Найти частный интеграл дифференциального уравнение , удовлетворяющий начальному условию .

Решение. Приведём уравнение к виду с разделёнными переменными, разделив обе части на : . Интегрируя , , получим общий интеграл . Подставив в общий интеграл начальные данные , : , найдём . Частный интеграл данного дифференциального уравнения примет вид: или .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти общий интеграл или общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) ; 6)

7) ; 8)

9) ; 10)

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

2. Найти частный интеграл или частные решения дифференциальных
уравнений:

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов степени n, если выполняется тождество:

. (9)

Например, функция есть однородная функция 2-ой степени однородности, так как

Функция – однородная функция 1-ой степени однородности, т.к. .

При имеем функцию нулевой степени однородности . Например, – однородная функция нулевой степени однородности, так как .

Дифференциальное уравнение вида

(10)

называется однородным относительно x и y, если – функция нулевой степени однородности.

Уравнения (10) всегда можно представить в виде:

. (11)

Вводя новую искомую функцию или , уравнение (11) запишется в виде , которое сводится к уравнению с разделяющимися переменными . Интегрируя это уравнение, находим . Подставив вместо , получим общий интеграл уравнения (11). Если при каком-либо значении выполняется равенство , то решения будут или , (прямые, проходящие через начало координат).

Задача 7. Решить уравнение .

Решение: уравнение однородное относительно и вида (11). Вводим новую неизвестную функцию , . Подставляя в данное дифференциальное уравнение, получаем: или . Разделяем переменные и интегрируем , , , . Но , поэтому – общий интеграл. Можно найти и общее решение .

При , тогда к полученным решениям добавляются ещё два решения , что проверяется подстановкой в исходное уравнение.

Если в уравнении

(12)

функции и одной степени однородности, то их отношение является функцией нулевой степени однородности, следовательно, уравнение будет однородным. Иногда уравнение (12) не приводят к виду (11) разрешенному относительно производной, а непосредственно в уравнении (12) делают подстановку , , которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Задача 8. Найти общий интеграл уравнения .

Решение: Это уравнение однородное, так как функции и одной степени однородности. Разрешив уравнение относительно производной , получили в правой части функцию нулевой степени однородности. Вводя новую неизвестную функцию подстановкой , , получаем: , , .

Разделим переменные , и проинтегрируем , (С > 0) или . Но , поэтому или при делении на . Получили общий интеграл исходного уравнения. При делении на могли потерять решения , то есть . Так как , имеем два решения , .
В данном случае эти решения получаются из общего интеграла при С = 0.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений

1) , ; 2) ; ;
3) , .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) .

Линейные уравнения

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид:

, (13)

где и – заданные непрерывные функции в области интегрирования. (Если =0, то уравнение называется соответствующим однородным).

Линейные уравнения первого порядка (13) можно решить:

1) методом Бернулли: подстановка , ;

2) методом Лагранжа: метод вариации произвольной постоянной.

1. Метод Бернулли

Будем искать решение исходного линейного уравнения (13) в виде произведения двух функций , где – неизвестные функции от x, причём одна из них произвольна, но не равна нулю. Тогда . Подставляя и в уравнение (13), получим:

или . (14)

Выберем функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. или . Разделяя переменные и интегрируя, получим , .

Ввиду свободы выбора функции , можно принять С = 1. Следовательно, . Подставляя найденную функцию в уравнение (14), где , имеем .

Это уравнение с разделяющимися переменными, решая которое, найдём функцию : , ,

Следовательно, общим решением уравнения (13) будет

2. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

. (15)

Разделяя переменные и интегрируя, находим последовательно:

, , , откуда или , где С – произвольная постоянная.

Варьируя произвольную постоянную, будем рассматривать С = С(х) как неизвестную дифференцируемую функцию. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13) ищется в виде

(16)

было решением неоднородного линейного уравнения.

Для нахождения С(х) подставляем , т.е. функцию (16), и её производную в исходное уравнение (13). Искомое решение будет иметь
вид (16) после подстановки найденной функции С(х).

Задача 9. Решить уравнение: .

1 способ ( Метод Бернулли): Пусть , , тогда или . Далее выбираем функцию так, чтобы выражение в скобках обращалось в «0» при С = 0, так как достаточно одного любого частного решения.

Подставив найденное в уравнение , , получим или , . Окончательно, общее решение исходного дифференциального уравнения .

Проверка. , . Подставляем и в исходное уравнение. Получаем тождество 1 = 1.

2 способ (Метод Лагранжа): Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Разделив переменные, проинтегрируем , . Заменив константу С неизвестной функцией , решение исходного уравнения будем искать в виде , . Подставив правые части этих равенств в исходное дифференциальное уравнение, получим: , откуда . Общее решение: .

Задача 10. Проинтегрировать уравнение методом вариации постоянной при начальном условии .

Решение. Запишем соответствующееоднородное уравнение

Разделив переменные: , , интегрируем , , . Общее решение однородного уравнения будет иметь вид .

Решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде , где С(х) – неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение и , получим

откуда . Интегрируя, найдём , где С – постоянная. Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения . Используя начальное условие , найдём постоянную С: , откуда С = 1. Следовательно, искомое частное решение будет .

Задача 11. Методом Бернулли решить задачу Коши , .

Решение. Пусть , . Подставим и в исходное уравнение или .

Выберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю: . Разделяя переменные и интегрируя, получаем , , при С = 0. Отсюда . Подставим функцию в уравнение , получим , т.е. , , , . Общее решение исходного линейного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Используя начальные значения , , найдём постоянную С: , откуда С = 0. Следовательно, искомое частное решение получим из общего решения при С = 0: .

Приведём примеры приложения теории дифференциальных уравнений рассмотренного вида к решению задач из курса механики.

Задача 12.( [5] Задание Д.18, стр.266, 272. Применение теорем и принципов динамики к исследованию движения механической системы.)

Вращающий момент М(t), развиваемый электродвигателем, определяется дифференциальным уравнением . Найти зависимость М(t) от времени, если М(0)=0.

Решение. Так как данное дифференциальное уравнение является линейным первого порядка, то его решение можно найти в виде М(t)=u(t) × u(t) = u× u, следовательно, имеем .

Выберем функцию u такой, чтобы . Разделяем переменные . После интегрирования получим отсюда . Подставив в уравнение , где получим , отсюда следует . Интегрируя последнее, находим .

, , – общее решение уравнения. Подставляя начальные значения М=0 при t=0 в общее решение дифференциального уравнения, найдем постоянную интегрирования Таким образом, частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид: .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) (Указание. Записать уравнение в виде – линейно относительно и ).

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , – очевидное решение.

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений

1) , ; 2) , ;

3) , .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) .

Лекция: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков. В общем случае дифференциальное уравнение n-ого порядка записывается в виде

, (17)

где – аргумент, – искомая функция.

Если это возможно, уравнение (17) можно представить в виде, разрешённом относительно производной высшего порядка:

. (18)

Для таких уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения.

Задача нахождения решения уравнения (18), которое при фиксированном (заданном) значении принимает заданные значения , т.е. удовлетворяют начальным условиям

, , , …, (19)

называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Если в уравнении (18) функция непрерывна по всем аргументам в области D их изменения и имеет ограниченные частные производные по аргументам , то существует единственное решение уравнения (18) определённое и непрерывное в некотором интервале, содержащем и удовлетворяющее системе начальных условий (19), где значения содержатся в области D.

Для уравнения второго порядка начальными условиями будут , , где – заданные числа. Тогда геометрически теорема существования и единственности решения задачи Коши означает, что через заданную точку области D с заданным тангенсом угла наклона касательной проходит единственная интегральная кривая (в механике означает задание точки и задание скорости в этой точке).

Общим решением дифференциального уравнения n-ого порядка (18) называется множество его решений вида , где произвольные постоянные интегрирования.

Частным решением уравнения (18) называется решение, полученное из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных (в частности, всякое решение задачи Коши). Поэтому часто произвольные постоянные находят из условий задачи Коши однозначно при фиксированном .

Общим интегралом уравнения (18) называется соотношение , содержащее неявно общее решение . Придавая постоянным конкретные допустимые числовые значения, получим частный интеграл дифференциального уравнения.

Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

12 3 4 5 Следующая ⇒