Платонизм как философия работающего математика

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 13Следующая ⇒

Платонизм, безусловно, является философией большинства работающих математиков, а также многих людей, успешно применяющих математику в естественных науках. Подобно мольеровскому герою, всю жизнь не осознававшему, что он говорит прозой, эти люди часто не осознают, что являются платонистами. Ситуация более точно выражена в книге Дэвиса и Херша (23) Математический опыт: работающие математики являются платонистами в рабочие дни, а по выходным они являются формалистами. Для Р. Пенроуза «абсолютность математической истины и платонистское существование математических концепций представляет собой одно и тоже. Существование множества Мандельброта есть особенность его абсолютной природы» (24). Платонистское сознание работающих математиков зачастую не осознается ими как специфически философский взгляд, потому что лежащие в его основе представления абсолютно естественны и просты. Вполне естественно, что существует огромное число математических истин, некоторые из которых открыты, а большая часть остается неоткрытой. Работа математиков заключается в расширении круга открытых истин. Математические объекты существуют вне и независимо от человеческого сознания. Больше того, они существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у него никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов. Прежде всего, весьма проблематично понятие существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм как оформленное Пифагором и Платоном философское учение мотивировался математикой. «Увлеченность Пифагора математикой положила начало... теории универсалий. Когда математик доказывает свою теорему о треугольниках, то он говорит не о какой-либо конкретной фигуре, где-то нарисованной, он говорит о том, что существует в его голове. Так начинает проявляться различие между умственным и чувственным. Более того, доказанная теорема верна без оговорок и на все времена. Отсюда всего лишь один шаг к точке зрения о том, что только умственное — реально, совершенно и вечно, в то время как чувственное — кажущееся, несовершенное и скоротечное» (25). «Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым... Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут быть в свою очередь истолкованы как мысли Бога» (26). Из этих цитат Рассела видно, сколь «тяжелые» для философии следствия имеет математика. Именно их этих посылок выросли философские представления о природе математики, известные под названием «платонизм». Сама по себе философия платонизма вызывает множество возражений опять-таки чисто философского толка. Но коль скоро математика играет важнейшую роль в этой философии, возникает вопрос, в какой степени математика ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, которые свойственны платонизму.

В частности, платонизм в области математики утверждает существование другого, нематериального, мира, населенного математическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык указывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями.

Вся эта картина в высшей степени затруднительна для ее восприятия натуралистически настроенным умом. Натурализм предполагает, что человеческое познание опирается на разного рода когнитивные способности человека, которые выработаны в процессе эволюции, и поэтому любые познанные структуры объективного мира должны иметь естественное происхождение. А с точки зрения платониста математика изучает не этот мир, а мир внепространственных, вневременных, не созданных сознанием сущностей, который недоступен нашим чувствам. Эта метафизическая картина призвана объяснить существование и применение математики, и такое объяснение вполне устраивает многих математиков, если не всех, за исключением тех, кто чувствителен к философским затруднениям. А они в случае платонизма огромны, и возникает вопрос, в какой степени для объяснения природы математики необходим платонизм.

Реакция против платонизма принимает различные формы. Есть возражения, основанные на том, что платонизм есть результат склонности математиков к вневременным и внепространственным сущностям, что идет вразрез с естественными науками, где изучаются сущности, находящиеся в пространстве и во времени. Больше того, некоторые философы полагают, что такая страсть математиков имеет некоторый нормативный характер, выражающий в известной мере ценности математиков. Так, Р. Нозик утверждает: «Некоторые математики имеют предрассудки, выражающиеся в предпочтении неизменных и вечных математических объектов и структур, которые изучаются ими. Хотя эта традиция имеет почтенный возраст, трудно понять, почему неизменное или вечное более ценно или значимо, почему длительность сама по себе должна быть важной. Рассматривая эти вещи, люди говорят о вечном и неизменном, и этот разговор включает (кроме Бога) числа, множества, абстрактные идеи, само пространство-время. Неужели лучше быть одной из этих вещей? Это странный вопрос: как может быть конкретный человек абстрактным объектом? Можно ли хотеть стать числом 14 или Формой Справедливости или пустым множеством? Хотел ли кто-нибудь иметь такое существование, которое приписывается множеству? » (27).

Другие философы возражают платонизму на том основании, что он бессодержателен уже по своей постановке вопроса. Так, А. Сломан скептически оценивает позицию платонизма Р. Пенроуза. «Все, что он говорит, состоит в том, что математические истины и концепции существуют независимо от математиков, и что они открываются, а не изобретаются. Это лишает платонизм всякого содержания... Хотя многие люди полагают платонизм как чем-то мистическим, или антинаучным, так же горячо, как Пенроуз защищает платонизм, такие разногласия на самом деле пусты. Нет никакой разницы, существуют ли математические объекты до их открытия или нет. Спор этот, как и всякий спор в философии, зависит от ошибочного предположения, что существует четко определенная концепция (например, " существование математического объекта" ), которая может быть использована с целью постановки вопроса, на который можно дать определенный ответ. Мы все знаем, что означает существование единорогов, или вполне разумный вопрос о существовании простого числа между двумя заданными целыми числами. Но нет смысла спрашивать, существуют ли все целые числа, или существуют ли они независимо от нас, и все дело в том, что понятие существования весьма плохо определено» (28).

Такие точки зрения резко контрастируют с мнением математиков, исповедующих платонизм. Например, Ш. Эрмит писал: «Я верю, что числа и функции в анализе не являются произвольными продуктами нашего сознания: Я верю, что они существуют вне нас, обладая той же необходимостью, какой обладают вещи объективной реальности; и мы обнаруживаем или открываем их, или изучаем точно так же, как это делают физики, химики и зоологи» (29).

Избегая крайностей, следует признать, что коль скоро платонизм есть успешное с точки зрения математического сообщества объяснение природы математики и математической практики, все, что может сделать аргументативная философия, это исследовать, в какой степени математика ответственна за столь странный взгляд как платонизм. Кроме того, несмотря на странности платонизма, следует понять, в какой степени платонизм неизбежен, и есть ли ему жизнеспособные альтернативы в объяснении природы математики.

Термин «платонизм» настолько устоялся в философии математики, что едва ли кто-либо из вновь приходящих в эту область знает, что, несмотря на близость идеологии работающих математиков философии Платона, сам термин «математический платонизм» был введен в обиход относительно недавно, а именно П. Бернайсом в 1934 г. в статье О платонизме в математике (30).

Между тем более правильно говорить не о платонизме в математике, а о реализме в математике. Подобное терминологическое уточнение важно, потому что фактически философские доктрины, ассоциирующиеся с математикой, напрямую связаны с многими логико-философскими доктринами, в частности, с различными теориями истины, значения, и в целом, с теориями соотношения языка и мира. Поэтому всякому обсуждению собственно платонизма должно предшествовать обсуждение концепции реализма. Этот подход тем более правилен, что модная ныне проблематика противопоставления реализма и так называемого антиреализма имеет прямое отношение к философии математики.

Обсуждение реализма в математике следует начать с того, что все мы, независимо от наших философских убеждений, верим в элементарные математические истины. Поскольку математика успешно применяется для счета и других расчетов, мы полагаем, что математические истины отражают факты в мире. Больше того, сама структура языка подводит нас к такому выводу: если математические истины есть истины в общем понимании этого слова, тогда это должны быть истины о чем-то в мире. Тогда встает вопрос о том, о чем же говорит математика, и вряд ли у кого-либо есть сомнения в том, что математика говорит о реальных объектах. В частности, ее объекты — числа, множества, функции, пространства и пр. — существуют вполне реально. И математика изучает эти объекты точно так же, как естественные науки изучают свои, например, как физик изучает атомы. В свое время подобное кредо реализма категорично было выражено Расселом в отношении логики: «логика имеет дело с реальным миром в той же степени, что и зоология, хотя с его наиболее абстрактными и общими чертами» (31). Естественность реалистического взгляда в математике объясняется тем, что «основная поддержка реалистическому подходу к математике состоит в инстинктивной уверенности большинства из нас, пытавшихся решить математическую проблему, в том, что мы думаем о " реальных объектах", будь то множества, числа и т.п.» (32).

Проблема реализма разрабатывается в рамках эпистемологии. В настоящее время существует два подхода к эпистемологии. Один следует традиционному картезианскому идеалу теории познания, которая представляет собой исследование знания и обоснования знания, априорное по отношению к естественной науке. При таком подходе теория познания ищет основания науки, что выходит за пределы компетенции самой науки, на основе стандартов чистого разума. Другой подход известен под названием «натурализованной эпистемологии»; в ней исследование знания и способов познания становится частью самой науки.

Натурализация эпистемологии имеет большое значение для разрешения споров по поводу реализма. Установление того, что существует реально, — дело не спекулятивных рассуждений, а самых новых научных теорий. Таким образом, при обсуждении реалистической программы в математике нам не следует углубляться в традиционные споры о существовании или несуществовании универсалий, или абстрактных объектов. Нам следует опереться на современные теории. Правда, при этом на нас ложится дополнительное бремя демонстрации того, что математика подобна естественным наукам. Эта последняя точка зрения находит свое лучшее выражение в аналогии, используемой многими философами — как сторонниками платонизма, так и его противниками. Так, Куайн полагает, что с точки зрения натурализованной эпистемологии, мы считаем существующими физические объекты среднего размера по той причине, что такая онтология дает нам наиболее простое объяснение природных явлений, описываемых физическими теориями. Точно так же, полагает он, мы должны принять в качестве существующих множества, поскольку такое решение упрощает наши математические теории. Действительно, такое предположение выглядит вполне правдоподобно в свете редукции всех математических объектов к множествам³³.

В таком случае теорией, на которую мы будем ориентироваться при исследовании реализма в математике, будет теория множеств. Этот выбор стандартен в исследованиях по философии математики, и не требует особого оправдания. Следует учесть, что именно теория множеств ставит перед философами наиболее острые проблемы. Понимание концепции множества, по сути своей, и представляет собой целую программу исследований, вокруг которой концентрируются многие важнейшие философские проблемы. Реализм в теории множеств означает убеждение в том, что теоретико-множественные утверждения имеют истинностные значения. В качестве лакмусовой бумажки в этом вопросе обычно берется континуум-гипотеза. Реалист полагает, что истинность или ложность ее является делом объективным, даже если (Боже сохрани) мы никогда не узнаем этого (34).

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒