Эпистемологизация философии математики

Видимо, следует сказать, что преодоление стагнации в филосо­фии математики в последние два десятка лет было связано с обще­философскими тенденциями. Главным обстоятельством тут являет­ся то, что философия математики есть часть философии, и на ней отражаются все те тенденции, которые свойственны всей филосо­фии. Философия даже относительно элементарных ветвей матема­тики — это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Именно это обстоя­тельство делает исследования в философии математики важным видом философского исследования. Стало очевидно, что традици­онная философия математики столкнулась с дилеммами, обуслов­ленными современной теорией познания, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в философии математики.

Возможны два представления того, что было сделано в филосо­фии математики в последнее время. Одно пыталось увязать новые исследования с традиционными направлениями —логицизмом, фор­мализмом и интуиционизмом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой важной проблемы П. Бенацеррафом в его работе Математическая истина (35).

Дилемма формулируется следующим образом: если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математичес­кие объекты? Апелляция к познанию чувственных объектов подразу­мевает совершенно определенную концепцию познания —так называ­емую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не един­ственная теория, и тогда дилемма теряет смысл. Однако можно пере­формулировать дилемму таким образом, что она не будет опираться на специфическую теорию познания. Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Поскольку обе возможности не выглядят привлекатель­ными, предпринимались различные попытки разрешить дилемму. Мно­гие исследователи соглашаются, что при обсуждении эпистемологи­ческих вопросов приходится решать и главный онтологический вопрос о существовании математических сущностей, и решать его надо так, чтобы не нужно было жертвовать стандартной математикой, как это происходит при традиционном номиналистическом подходе. Но как нам кажется, эпистемологический вызов философии математики, иниции­рованный Бенацеррафом, принят в качестве того, что можно назвать локальной парадигмой этой области философии.

Превосходно «эпистемологический поворот» в философии мате­матики выразил У. Харт: «Во время заката чувственных данных и ана­литичности эпистемология как будто потеряла гордое место центра посткритической философии и, вероятно, современной философии во­обще. С подъемом семантики и возрождением онтологии эпистемоло­гия как будто закатилась. Фреге ниспровергнут, и почти все чувствуют, что древность более уместна, чем современность. Но даже если эпис­темология заслуживает пару пинков, тем не менее, она остается пол­ноправным гражданином философской республики. Причины этого очевидны. Некоторые из самых глубоких проблем философии состоят из примирения естественных, но несовместимых эпистемологии и он­тологии. Например, не случайно, что есть проблемы других умов и про­блема соотношения ума и тела. Но нигде такой конфликт не является более древним, чем в философии математики. Для сочувствующего читателя Менона или Пира или же середины Государства должно быть ясно, как Платон героически сражается в поисках правдоподобной эпистемологии для теории форм. Платонизм кажется ясным, когда вы думаете о математической истине, но невозможным, когда вы думаете о математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она просто изменилась. Причинность, холизм, и натурализация вытеснили чувственные данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных положе­ний эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом являет­ся не только прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики» (36).

Эпистемологизация математики может рассматриваться в пер­вую очередь как реакция на философски затруднительную позицию платонизма. Традиционно платонизм считался спорным онтологи­чески, т.е. как доктрина о существовании вне и независимо от разу­ма объектов, обитающих в сфере идеального. Эпистемологическое возражение против платонизма, сформулированное четко Бенацер­рафом, делает упор на невозможности эпистемологического досту­па к такого рода объектам. Другими словами, если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами. В такого рода аргументации, конечно, важно, что собственно имеется в виду под познанием объектов. Та­ким образом, мы имеем некоторые очертания эпистемологического подхода к опровержению платонизма.

В некотором смысле вся история философии математики связа­на с борьбой против платонизма, и поскольку это предприятие нельзя назвать особенно успешным, возникают сомнения относительно того, можно ли вообще найти решение этой проблемы, т.е. можно ли считать, что есть серьезные аргументы за или против платониз­ма. Причем ситуация тут несимметричная, поскольку платонизм является «намеренной» философией математиков, в то время как антиплатонизм — результат по большей части (если исключить ин­туиционизм) философских исследований. Поэтому каждый антиплатонистский шаг подразумевает собственную стратегию и классифи­кацию альтернативных решений. В этой связи весьма интересным представляется подход М. Балагера, который полагает, что тщатель­ный анализ технических аргументов не дает оснований считать, что они решительно свидетельствуют в пользу платонизма или антипла­тонизма (37). В следующем ниже обзоре эпистемологических аргумен­тов мы существенно опираемся на эту работу.

Балагер полагает, что работа Бенацеррафа Математическая ис­тина, которая, по общему признанию, вызвала к жизни эпистемологические программы опровержения платонизма, явилась не больше, чем инспирацией, поскольку в ней были спутаны различные про­блемы. В частности, Бенацерраф сделал упор на несовместимости семантики Тарского для математических языков с причинной тео­рией познания. Недостаток такого подхода состоит в том, что мате­матические языки могут обладать и другой семантикой, например, подстановочной (38), а причинная теория познания не является един­ственной или выделенной среди других теорий (39). Тем не менее, по­лезно представить аргументацию Бенацеррафа в следующем виде:

1. Люди существуют в пространстве и времени.

2. Если существуют абстрактные математические объекты, то они существуют вне пространства и времени.

Следовательно, согласно причинной теории познания,

3. Если существуют абстрактные математические объекты, тог­да человеческие существа не могут иметь к ним познаватель­ного доступа.

Следовательно,

4. Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.

5. Человеческие существа имеют-таки математическое знание.

Следовательно,

6. Математический платонизм не верен.

Это несколько дотошный анализ аргументации Бенацеррафа мож­но было бы заменить одним пунктом 3, который концентрируется вок­руг более общей проблемы, как познаются абстрактные объекты. При­чинная теория познания утверждает, что для того, чтобы субъект А знал р, необходимо наличие причинной связи между А и р, подходящим об­разом установленной. Поскольку установление причинной связи меж­ду субъектом и абстрактными объектами проблематично, аргумента­ция сторонников платонизма направлена против причинной теории познания. Проблематичность эта не усматривается мистически настро­енными мыслителями, например, К. Геделем, но в целом ее осознает большинство философов-платонистов.

Как указывает Балагер, разговор о причинной теории познания лишь усложняет ситуацию, поскольку можно обойтись без нее, счи­тая, что заключение (6) прямо следует из посылок (1) и (2). Дей­ствительно, человеческие существа и абстрактные объекты не пере­секаются, обитая в разных мирах, что соответствует интуиции. Од­нако факт познания математических объектов налицо, поскольку мы имеем не только стройные (хочется сказать, непротиворечивые) ма­тематические теории, но и крайне успешное применение математи­ки в естественных науках. Это так называемый аргумент о необхо­димости (indispensability) математики, который играет важную роль в защите платонизма (40). Заключение (3) можно подвергнуть сомнению тремя разными путями. Во-первых, можно объявить ложной посылку (1). Это зна­чит, что человеческие существа могут иметь доступ к абстрактным объектам, что утверждал, как уже было сказано выше, К. Гедель. Взгляды Геделя по этому поводу крайне туманны, а их интерпрета­ция основывается на часто приводимой цитате из дополнения ко второму изданию его статьи Что такое континуум-гипотеза?: «...объекты трансфинитной теории множеств... не принадлежат к физическому миру и даже их косвенная связь с физическим опытом является очень неопределенной (главным образом потому, что тео­ретико-множественные концепции играют незначительную роль в современных физических теориях). Но вопреки их отдаленности от чувственного опыта, мы имеем нечто подобное ощущению и в слу­чае объектов теории множеств, что видно из факта, что аксиомы вынуждают нас признать их истинность. Я не вижу никаких резо­нов для того, чтобы испытывать меньшее доверие к этому виду вос­приятия, т.е. к математической интуиции, чем к чувственному вос­приятию, которое побуждает нас к построению физических теорий и ожиданию, что будущие чувственные восприятия будут согласо­ваны с ними... Следует заметить, что математическая интуиция не должна рассматриваться как способность получения непосредствен­ного знания соответствующих объектов. Скорее, как и в случае фи­зического опыта, мы образуем наши идеи об этих объектов на осно­вании чего-то еще, что дано нам непосредственно. Только это нечто не есть ощущения, и не главным образом ощущения. То, что это нечто помимо ощущений действительно дано нам непосредствен­но, следует из того факта, что даже наши идеи касательно физичес­ких объектов содержат конституенты, качественно отличные от ощу­щений или просто их комбинаций, например, идея самого объекта, в то время как, с другой стороны, в нашем мышлении мы не можем создать качественно новых элементов, и можем лишь воспроизвес­ти и скомбинировать только то, что дано. Очевидно, что " данное" в математике близко соотносится с абстрактными элементами, которые содержатся в наших эмпирических идеях» (41). Эта длинная цита­та приведена здесь полностью для того, чтобы можно было убедиться в некоторой расплывчатости видения проблемы Геделем (кстати, тут видно влияние философии Гуссерля, которого Гедель изучал осо­бенно тщательно).

Сразу следует отметить, что сейчас мало кто считает точку зре­ния Геделя приемлемой, полагая ее странной и слишком метафо­ричной. Более точная формулировка его представлений включает следующие утверждения: во-первых, математическая интуиция ана­логична чувственному восприятию; во-вторых, математическая ин­туиция включает информационный обмен между абстрактными ма­тематическими сущностями и людьми; в-третьих, тезис (1) ложен.

С точки зрения здравого смысла попытка объявить ложным ут­верждение о том, что человеческие существа не выходят за пределы пространства и времени, отдает мистикой. И действительно, «Ге­дель разделял с Эйнштейном определенный мистический поворот мысли... Я спросил его [Геделя], верит ли он, что Ум есть везде, в противоположность локализованным мозгам отдельных людей. И Гедель ответил: " Конечно. Это основное мистическое учение" » (42).

Абсолютный Ум, или отдельные умы, имеют нематериальный, и стало быть, внепространственный и вневременной характер. Тог­да возражение платонизму на основе причинной, или какой-либо другой теории познания, сводящееся к тому, что трудно представить себе поток информации от абстрактных объектов к человеческим существам, становится как будто менее серьезным, поскольку чело­веческие существа заменены нематериальными умами. Однако та­кая замена не спасает платонизм, потому что передача информации, которая является процессом причинным, от абстрактных объектов к нематериальным умам не менее загадочна по сравнению с переда­чей информации от абстрактных объектов к человеческим существам.

Таким образом, крайний платонизм в версии Геделя неправдо­подобен, и объяснение интуиции как средства познания следует ис­кать на другом пути. Недаром Гедель значительную часть времени уделил изучению философии Канта и Гуссерля, в работах которых интуиция занимает важное место. Другими словами, идея контакта с другими мирами не проходит. Впрочем, несмотря на то, что эти идеи исходили от столь авторитетного ученого, как Гедель, их никто не принимал и не принимает всерьез.

С точки зрения логики вполне возможна защита платонизма _путем признания ложным пункта (2), т.е. отказ от утверждения, что абстрактные математические объекты существуют вне пространства и времени. Именно такова позиция П. Мэдди, описанная выше. На сегодняшний день Мэдди отказалась от своего в достаточной мере радикального реализма в пользу натурализма. Менее радикальным решением в выработке стратегии защиты платонизма является при­знание (1) и (2) с одновременным отказом от того, что из этих утвер­ждений следует (3), а именно, что если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательный доступ. Большая часть исследователей придерживается именно такой стратегии. Наиболее основательная аргументация в этом направлении представлена В. Куайном.

Плюрализм и консенсус

Прекрасной иллюстрацией тех трудностей, которые возникают перед желающим дать четкую классификацию направлений и кон­цепций современной философии математики, является понимание основного термина — «реализм». С. Шапиро дает такую сводку: «Реалист говорит, что " числа существуют". Антиреалист говорит: " числа не существуют". Тут страсти нешуточные. Оппонентов час­то называют " теологами", " скептиками" — весьма оскорбительные слова на современном жаргоне. Я хочу понимать эти направления как рабочие программы. Реализм может иметь много смыслов. Один — что математические объекты существуют независимо от математиков. Это реализм в онтологии. Другой — что утверждения различных областей математики имеют объективные бивалентные истинностные значения независимо от конвенций, языка и правил математиков, и что основная часть утверждений компетентных ма­тематиков истинна. Это — реализм в истинностных значениях. Нет общего согласия относительно соотношения этих двух видов реа­лизма. Мэдди и Гедель — реалисты в обоих смыслах. Даммит — антиреалист в обоих смыслах. Хеллман и Чихара — антиреалисты в онтологии и реалисты в истинностных значениях. Единственный человек — реалист в онтологии и антиреалист в истинностных зна­чениях — это Теннант» (43).

Перечисленные выше старые и новые направления в филосо­фии математики не исчерпывают всех подходов, поскольку все они принадлежат некоторому «канону», который превосходно ощуща­ется аналитическими философами. Однако есть и радикально дру­гие подходы к философии математики, и среди них следует выде­лить философа Ф. Китчера и математика Р. Херша.

Для Китчера математические утверждения суть совокупность операций, выполняемых идеальным субъектом (44). Он полагает мате­матику цепью непрерывных концептуальных конструкций и в этой связи развивает эволюционную модель математического познания. Таким образом, ключевой дисциплиной при подобного рода иссле­дованиях предстает история математики, из которой следует извлечь некоторые рациональные принципы, управляющие концептуальны­ми изменениями по ходу развития математики. Ясно, что философия Т. Куна занимает в позиции Ф. Китчера самое значительное место. Кроме того, Китчер прибегает в объяснении математического познания к причинной теории указания Крипке — Патнэма, согласно которой значение термина прослеживается через цепь изменений к некото­рому исходному акту употребления термина. Рано или поздно эта цепь упирается в перцептуальное познание наших предшественни­ков-предков. В этом ключе, утверждая важность психологии, Кит­чер отказывается от эпистемологической ориентации в исследова­нии природы математических истин. Если обычная позиция в фило­софии математики состоит в том, чтобы обосновать знание этих ис­тин, то Китчер полагает, что большая часть людей уже знает значи­тельную часть математических истин, и задача философского исследо­вания состоит в том, чтобы понять, как мы получаем это знание.

Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если можно так выразиться, классической философии ма­тематики. Между тем возможен более радикальный взгляд на фило­софию математики, который, как считает Р. Херш, больше соответ­ствует духу того, что делают работающие математики. Он полагает, что в повороте философии математики к практике некоторые фило­софы высказали новые взгляды, суть которых состоит в следующем.

• Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание абстрактных концепций Фреге и вневременной объектив­ной реальности.

• Математическое знание погрешимо. Подобно науке, матема­тика прогрессирует через ошибки и их исправление (Лакатос).

• Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от времени, места и множества других вещей. Исполь­зование компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости.

• Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская логика является не самым лучшим способом решения этих проблем.

• Математические объекты суть специальный вид социально-культурно-исторических объектов. Мы можем выделить математи­ку из литературы или религии. Тем не менее математические объек­ты являются общими культурными идеями, подобно литературным персонажам или религиозным концепциям (45).

Следует сказать несколько больше относительно того, что же представляет собой так называемая гуманистическая математика. В целом ее можно отнести к новому модному направлению в фило­софии — социальному конструированию, хотя гуманистическая математика является менее радикальным взглядом по сравнению с социальным конструированием (46). Дело в том, что признание мате­матики просто человеческой активностью, с точки зрения гуманис­тической математики, вообще не имеет отношения к философии математики. Последняя усматривает скрытый смысл за пределами социально-историко-культурного контекста, который проявляется в неизменной онтологии математических объектов и вневременном характере математических истин. Но если, как это утверждает гума­нистическая математика, математическое познание погрешимо, тогда истина и онтология в математике изменяются по ходу познания.

Конфликт между гуманистической математикой и классической философией математики достаточно глубок, поскольку отражает не только недовольство стагнацией в философии математики, но и по­пытки радикального отделения философии от математики вообще. Р. Херш говорит, что зачастую нет смысла философствовать по по­воду математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в матема­тике, — это деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое математика, не имеют отноше­ния к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след.

Итак, в философии математики создалась следующая ситуация. С одной стороны, хотя есть признание стагнации в классической философии математики и даже признание того, что «ничего из этого не работает», существует ряд направлений, призванных придать философии математики новое дыхание. С другой стороны, есть пол­ное отрицание значимости классической философии математики, обоснованное убеждением, что философская оценка математичес­кой деятельности бесплодна: математическая деятельность не име­ет в себе скрытого смысла, искомого философией, и сама филосо­фия неправильно следует в своих собственных стандартах строгос­ти, на которых основывается философия математики, за этой самой математикой. Ясно, что с классической философией математики что-то не так, но в поисках нового дыхания этой фундаментальной об­ласти философии требуется ответить на упреки гуманистической математики. Таким ответом является эпистемологический поворот в исследованиях по основаниям математики и в целом в философии математики.

Теперь рассмотрим радикальный тезис о том, что философия не имеет отношения к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью независимо от каких-либо фило­софских рассмотрений. Взгляды относительно статуса математичес­ких объектов или утверждений ничего не вносят в математику и яв­ляются худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посто­ронних. Надо признать, что большинство математиков вообще не интересуются философией, онтологией или семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в про­тиворечие со своей собственной практикой.

В этом отношении близким взглядом является натурализм, ха­рактеризуемый Куайном как «отказ от первой философии» и «осоз­нание того, что только в рамках самой науки должна описываться и идентифицироваться реальность». Мэдди применяет натурализм к математике, также утверждая, что математика должна быть изоли­рована от традиционных философских исследований. Ну и все про­блемы в математике должны решаться математиками как математи­ками. Как быть с такой радикальной точкой зрения?

Известно, что многие знаменитые математики были философа­ми. Так, Гедель утверждал, что его реализм был важным фактором открытия полноты первопорядковой логики и неполноты арифме­тики. Например, теорема полноты есть следствие некоторых результатов Сколема. Но Сколем не сделал этого шага. Почему? Потому что оба имели различные ориентации в онтологии. Но это лишь не­многие счастливые примеры среди моря примеров отрицательного отношения математиков к философии.

Р. Херш продолжает атаковать философию математики еще бо­лее яростно, настаивая на том, что даже подразумеваемая филосо­фия работающего математика, а именно платонизм, ущербна в са­мой основе. Характерным подтверждением такой позиции является следующее его высказывание: «Проблема состоит в том, что Плато­низм оставил Бога, но продолжает считать Математику мыслями Бога». Херш полагает, что «традиционная философия осознает толь­ко передовой фронт математики». Но нельзя понять передовой фронт без того, чтобы понять ее фон. Внутренний участник событий мог бы: 1) помочь лучшему пониманию мешанины в математике и сфор­мулировать проблемы под правильным углом зрения с учетом кон­текста, с новой возможностью решить их; 2) показать, что нет нуж­ды философствовать по поводу математики, ища скрытый смысл в ней; 3) дать философский ответ на то, что есть математика. Одна­ко пролегомены (1) не должны быть терапевтическими по отноше­нию к (2) и не должны делать позитивного вклада в (3). Херш сам предпочитает заниматься в основном (3). Внутренний участник мо­жет дать ответ на (1), но вряд ли на (2) и (3). Большая часть внутрен­них участников являются повседневными платонистами, а по вы­ходным — формалистами, что вносит философскую путаницу (47).

Большинство внутренних участников (от Декарта до Гильбер­та) были осведомлены о «задворках» математики, но их, в отличие от Херша, интересовал вопрос не о том, что такое математика, а о том, как мы объясняем объективность математических вер и надеж­ность математического размышления. Социальный характер мате­матики является тривиальным обстоятельством, свойственным все­му человеческому знанию.

В подобного рода рассмотрениях важное место занимает пози­ция работающего математика, или, более фундаментально, матема­тическая практика. Любое обсуждение философии науки требует обращения к научной практике. Но для философских целей понятие практики часто принимает нужную форму в угоду философским предпочтениям. Поэтому желательно заранее сформулировать, что представляет собой научная практика, или, более точно, какова структура научной практики, которая является предметом философского анализа. В случае математики суть практики отнюдь не сводится к доказательству, хотя традиционно считалось, что математик дока­зывает истины. Само понятие доказательства представляет собой цепь аргументов, значимость которых варьировалась в зависимости от той же самой математической практики. Научная практика имеет много компонентов: язык, теоретические принципы, примеры тео­ретической и экспериментальной работы, принятые методы размыш­ления, техника разрешения проблем, оценка важности вопросов, метанаучные взгляды на природу научного поиска. Ф. Китчер рас­сматривает математическую практику как предприятие, включаю­щее в себя пять компонентов: язык, множество принятых предложе­ний, множество принятых способов рассуждения, множество при­нятых в качестве важных вопросов и множество метаматематичес­ких взглядов (стандарты доказательства и определения, а также утверждения о сфере и структуре математики) (48).

Таким образом, традиционные взгляды на философию матема­тики претерпевают значительное изменение. Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с фило­софией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точ­ку опоры в будущей философии математики, если ей суждено вы­жить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориен­тация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины.

Литература

К Введению

' Rota G.-C. The Pernicious Influence of Mathematics upon Philosophy/I SyntheseSS: 165—178, 1991 —P. 167.

² Ibid. — P. 168—169

³ Putnam H. Review of the Concept of a Person II Philosophical Papers. Mind, Language and Reality. — Cambridge: University Press, 1975. — Vol. 2. — P. 132—133.

⁴ Martin R. Intension and Decision. — N.Y., 1964. — P. 42.

⁵ См., например: Lavine Sh. Understanding the Infinite. — Cambridge: Harvard University Press, 1994.

⁶ Godel K. What is Cantor's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics / Ed. P. Benacerraf, H. Putnam. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964. — P. 262.

⁷ Maddy P. Realism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1990.

⁸ Maddy P. Naturalism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1997.

⁹ Rota G.-C. Mathematics and Philosophy: Story of Misunderstanding II Review of Metaphysics. — 1990. — Vol. 44, N 174, Dec.

10 Rota О -С Mathematics and Philosophy. — P. 260.

К главе 1

¹ Клайн М. Математика: утрата определенности. — М.: Мир, 1984.

² См., например: Korner S. The Philosophy of Mathematics. — L.: Hutchinson,

³ Mostowski A. Thirty Years of Foundational Studies // Acta Philosophica Fennica, _t' Fasc. 17. — Helsinki, 1965. — P. 8.

⁴ Хао Ван. Процесс и существование II Математическая логика и ее примене- { ние. — М., 1965.

⁵ Hersh R. A Fresh Winds in the Philosophy of Mathematics II Amer. Math. Monthly. — 1995. — Aug.-Sept. — P. 590—591.

6 Hintikka Ja. Lingua Universalis vs Calculus Ratiocinator. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — P. 2.

⁷ Hintikka Ja. Principles of Mathematics Revisited. — Cambridge: University Press, 1996.

⁸ Hintikka Ja. Principles of Mathematics Revisited.

⁹ Maddy P. Philosophy of Mathematics: Prospects for the 1990s II Synthese 88. — 1991.— P. 155—164.

10 www.math.psu.edu/simpson/fom/posting/006/msg00142.html

11 Passmore J. Recent Philosophers. — N.Y.: Open Court, 1991.

¹² Benacerraf P. What Numbers Could Not Be II Philos. Rev. — 1965. — Vol. 74, № 1.

¹³ Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. — Oxford: University Press, 1997.

¹⁴ Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns. — Oxford: Clarendon Press, 1997. 20

¹⁵ Beth Е. Mathematical Thought. — Dordrecht: Reidel, 1965. — P. 176.

¹⁶ Curry H. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. — Amsterdam, 1970.— P. 30—31.

¹⁷ Benacerraf P. What Numbers Could Not Be. — P. 23.

¹⁸ Ibid.

¹⁹ Field H. Science without Numbers. — Princeton: University Press, 1980.

²⁰ Takeuti G. Two Applications of Logic to Mathematics. — Princeton: University Press, 1977.

²¹ Tappenden J. Recent Works in Philosophy of Mathematics II J. Philosophy. — 2001. — Vol. 97. — P. 488—497.

²² Chihara Ch. Constructibility and Mathematical Existence. —Oxford: University Press, 1990.

²³ Davis Ph., Hersh R. The Mathematical Experience. —Penguin, 1983. —P. 321.

²⁴ Penrose R. The Emperors New Mind. — L: Vintage, 1990. — P. 147.

²⁵ Рассел Б. Мудрость Запада. — М.: Республика, 1998. — С. 5р—51.

²⁶ Рассел Б. История западной философии. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1997.— С. 51.

²⁸ Barrow J. Pi in the Sky. — P. 273.

²⁹ Ibid. — P. 259.

" 1U1U.---- Г. £.J7.

³⁰ См.: Philosophy of Mathematics I Ed. P. Benacerraf, H. Putnam. — Engiewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964.

³¹ Рассел Б. Введение в математическую философию. —М.: Гнозис, 1996. — С. 155—156.

³² Moschovakis Y. Descriptive Set Theory. — Amsterdam: North Holland, 1980. — P. 605.

³³ Quine W.V.O. Epistemology Naturalized II Ontological Relativity and Other Essays. — Harvard: University Press, 1969.

³⁴ Maddy P. Mathematical Realism //Midwest Studies in Philosophy. — 1988. — Vol. 12. — P. 275.

³⁵ Benacerraf P. Mathematical Truth II J. Philosophy. — 1973. — P. 403—419.

³⁶ Из рецензии на кн.: Mathematical Knowledge by M. Steiner, Ithaka. — Cornell: University Press, 1975. — 164 p. — Rec. W.D. Hart //J. Philosophy. —1977. —Vol. 74, N2, febr. — P. 118—129.

³⁷ BalaguerM. Platonism and Antiplatonism in Mathematics. —Oxford: University Press, 1998.

³⁸ См.: Целищев В.В., Бессонов А.В. Две интерпретации логических сис­тем. — Новосибирск: Наука, 1979.

³⁹ По поводу причинной теории познания см.: Goldman A.I. A Causal Theory of Knowledge II Essays on Knowledge and Justification / Ed. G. Pappas, M. Swain. — Cornell: University Press, 1978.

⁴⁰ Сводка результатов этого крайне объемного материала может быть найде­на в кн.: Colyvan M. The Indispensability of Mathematics. — Oxford: University Press, 2001.

⁴¹ Godel К. What Is Cantor 's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics / Ed. H. Putnam, P. Benacenaf. — Cambridge: University Press, 1964. — P. 271—272.

⁴² Rucker R. Infinity and the Mind. — Bantam Books, 1983. — P. 183.

⁴³ Shapiro S. Mathematics and Philosophy of Mathematics /I Philosophia Mathematica. — 1994. — Vol. 2, N 3. — P. 148—160.

⁴⁴ Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge.— Oxford: University Press, 1983.

⁴⁵ Rec. Philosophy of Science. — 1966. — N 3. — P. 501—502: Hersh R. What is Mathematics, Really? - Oxford: University Press, 1997.

⁴⁶ По поводу социального конструирования см.: Hacking I. The Social Construction of What? — Harvard: University Press, 1999.

⁴⁷ Hersh R. Mathematics has a Front and a Back II Synthese ^P- 127-133.

 

Вопросы для понимания

 

1. Назовите философские программы в области оснований математики и логики, начатые в конце XIX - начале XXв. Дайте их характеристику (М. Клайн. Утрата определенности. М., 1984, гл. X, XI).

2. Какие мнения А. Мостовского и Хао Вана приводит автор статьи о причинах возникновения программ? Можно ли дать другое объяснение обращения математиков к философии?

3. Какую параллель проводит Р. Херш между развитием философии науки и философии математики?

4. Какие новые открытия принесли математике исследования по основаниям математики? Что такое алгебраизация логики? Приведите еще факты, когда побочные продукты исследования оказались более важными, чем исходные цели?

5. Согласны ли вы с тем, что стандарты аргументации в философии часто диктуются не столько разумом, сколько эмоциями?

6. Можно ли считать неудачей (кризисом) развитие исследований по философии математики на том основании, что оно закончилось их превращением из философских в сугубо математические?

разделу 2

7. Назовите 8 направлений в философии математики, которые приводит Х. Патнэм. Почему Патнэм считает, что от первых четырех следует отказаться?

8. Только ли для современной аналитической философии и философии математики характерно многообразие направлений? Объясняется ли это тем, что в этих сферах работает много философов? Или возможно какое-то другое, более принципиальное объяснение?

Раздел 3.

9. Дайте характеристику структурализма как одного из направлений в современной философии математики. Назовите причины возникновения структурализма.

10. В чем уязвимость платонистской посылки о существовании независимых от человеческого сознания четко определенных объектов?

11. Структурализм как реакция на проблему неединственности представления математических объектов, в частности, числа.

12. Приведите версии перевода чисел во множества (Фреге-Рассела, фон Неймана, Цермело). Покажите связь неединственности перевода чисел во множества и вопроса – чем же на самом деле являются множества?

13. Правы ли те, кто считает, что онтологические вопросы («чем же на самом деле являются числа») не оказывают на математику никакого влияния?

14. В чем содержание принципа терпимости Карнапа и как может помочь введение аналога этого принципа в отношении онтологических вопросов? НАЙТИ принцип терпимости Карнапа и СДЕЛАТЬ ссылку

15. Какие ответы даются на вопрос, почему числа не могут считаться определенными множествами?

16. Первый ответ – числа вообще не объекты; знаки, представляющие цифры, не указывают на абстрактные объекты - числа и функционируют в знаковой системе независимым образом. Поясните.

17. Нечто может быть объектом, если есть процедура его индивидуализации. Но цифры – часть структуры и их индивидуальность не есть индивидуальность объекта, поскольку роль знака в системе определяется особенностями структуры системы.

18. Числа с этой точки зрения – вообще не объекты, а знаки специфической знаковой системы с определенными законами. Все свойства чисел, определяемые этими законами, принадлежат знаковой системе, и среди свойств нет таких, которые характеризовали бы нечто, выходящее за рамки взаимоотношений элементов структуры. (стр. 24). Структура – это система отношений на совокупности объектов.

19. «Математические утверждения истинны»- считает большинство математиков. Х. Филд – «Математические утверждения ложны», математических объектов не существует; эти объекты – полезные фикции, в теоретическом смысле вполне устранимые), стандартная математика ложна. Но необходимо сохранить математическую практику. Следствия этой точки зрения – нужно дать физические версии анализа. Математические утверждения типа «континуум-гипотезы» оказываются утверждениями об областях пространства и времени. (стр. 26). Как можно назвать такую позицию (которая сохраняет математику ради практических целей)?

20. Теорема консервативности – любое номиналистическое заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистической теории, может быть сделано без помощи математики, с одним лишь использованием логики, (но логический вывод более длинный, чем чисто математический (см. Френкель) (стр. 26) Номиналистическая теория – теория, в которой кванторные переменные ограничены нематематическими сущностями. Нелогический словарь не пересекается со словарем математической теории, т.е. абстрактные объекты математики избегаются.

21. Филд – математика – консервативное расширение номиналистических истин и использование математики – лишь уступка физиологической и психологической ограниченности человека. Согласны ли Вы с этим?

22. Приведите опровержение этого тезиса.

23. Номиналистическая программа как онтологическая – непризнание абстрактных объектов – реальным существованием обладают только физические объекты, единичные конкретности, в противоположность универсалиям. От каких результатов математики должны отказываться неономиналисты?

24. Квазиэмпирический реализм. «П. Мэдди считает, что математики имеют чувственный контакт с множествами в математическом смысле, а не просто с совокупностями материальных вещей». Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подобны физическим сущностям, и поэтому возможен прямой перцептуальный доступ к ним. Как Мэдди отличает совокупность физических вещей (груду камней) от множества тех же самых камней?

25. Как Ч. Чихара критикует Мэдди?

раздел 4

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Авторская технология преподавания математики «Учителя года-98» В.Л. Ильина
2. Б. 1. Б. 14 «История философии»
3. Б. Рассел. Проблемы философии. Ценность философии
4. Б.1. Б.20 «История русской философии»
5. Б1.В.ДВ.1.4 «Введение в историю философии»
6. Б1.В.ДВ.4.4 «История философии (античность)»
7. Бердяев Н.А. «Философия свободного духа» (Конфликт философии с теологией и наукой)
8. Вопрос 42 Возрождение философского реализма и его значение для философии науки
9. ВОПРОС: МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ ДОЧИСЛОВОЙ ПЕРИОД
10. Гегель Г.В.Ф.« Лекции по истории философии» (Наука об истине)
11. Доцент кафедры высшей математики,
12. ЕН.01 Элементы высшей математики