Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Математика как коммуникативные операции



Математика есть социальный дискурс. Этот факт неизбежен, если мы прямо рассмотрим имеющуюся данность. Перед нами математический аргумент очень небольшой технической сложности:

а = bх + су, (1)

a-bx-cy = 0. (2)

Данная последовательность суждений истинна и осмысленна для меня лишь постольку, поскольку я знаю, что означают эти символы, и знаю допустимые операции по преобразованию этих символов, такие, что урав­нение (1) становится уравнением (2). Символы, как и любая иная форма дискурса, предполагают коммуникацию. Приведенное скромное сужде­ние из области математической абстракции предполагает, что у меня был контакт с сетью учителей, которые, без сомнения, на много связующих звеньев отстоят от тех, кто создал данную область математики. Давайте возьмем пример из области более высокой абстракции [Kline, 1972, р.1128].

Если Ал - это компонент ковариантного тензора ранга 2, то его ковариант, производный в отношении к xl, можно представить как

.

Теперь сеть математиков становится более ограниченной. На неко­тором уровне она сводится к сети активно работающих математиков, со­здающих исследовательский фронт математических истин.

Для сравнения рассмотрим утверждение, сделанное в китайской математике - алгебре эпохи Сун (см. рисунок). Трудность заключается не только в том, что мы, если принадлежим к западному миру, не знаем от­дельных символов, подобно тому, как представители этого западного мира обычно не могут понять уравнения 4 + 5 = 9, если оно записано так:

 

Трудность состоит в том, что мы не знаем операций, определяющих, как работать с этими знаками. Китайская математика представлялась на счетной доске, разделенной на квадраты <.. .>. Сунская алгебра, назван­ная " методом небесного элемента", была набором процедур представле­ния выражений, обозначающих константы и неизвестные, возведенные в различные степени, путем помещения числовых знаков на конкретные места доски, окружающие центральный элемент. Например, в общепри­нятой европейской системе обозначений рамка в середине первого пра­вого столбца может быть записана так: ху2-120у-2ху+2х2+2х. Китайские иероглифы между рамками представляют в словесной форме некое рас­суждение (читается сверху вниз и справа налево), объясняющее, как одно алгебраическое выражение может быть преобразовано в другое. Таков словесный способ хранения математических результатов. В живой практике математик использует набор стандартных процедур манипулиро­вания фишками на этой доске - процедур, состоящих в преобразова­нии одного выражения в другое. Физические операции и символичес­кая структура (а не просто отдельные символы) отличаются от карте­зианских правил переноса выражений из одной стороны относитель­но знака равенства (=) в другую. Сходство заключается в общей фор­ме данной практики, позволяющей выводить строки математических выражений одну из другой.

 

Приверженец платонизма сказал бы, что форма данного утвержде­ния нерелевантна, что вывод одного математического выражения из дру­гого верен независимо от того, записан ли он в виде словесного рассуж­дения на латыни, в виде посткартезианских символов, в виде сунской алгебры или еще каким-либо образом. Однако платонизм - это лишь те­ория. В нем предполагается то, что должно быть доказано - что матема­тические истины существуют в некотором особом царстве, никак не со­относящемся с человеческой деятельностью по формулированию мате­матических утверждений. Это можно показать с помощью квазиматема­тического cogito: если я отрицаю, что математическое утверждение долж­но существовать в форме какого-то конкретного типа дискурса, то в са­мом этом высказывании я представляю утверждение в некотором дискур­се. Если я отступаю назад, утверждая, что математика должна быть транс­цендентной, поскольку может быть переведена с одного языка на другой, то я основываю мое утверждение на существовании переводов - опера­ций, соединяющих между собой несколько дискурсов. Это не только не позволяет избежать дискурса, но добавляет еще один его вид [1].

Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе. Это может показаться каким-то минимальным уровнем реальности. Тем не менее, не следует думать, что социальный дискурс не имеет никакого объективного, твердого качества, того типа сильного принуждения, кото­рый соответствует понятию истины. Чтобы показать, почему математи­ческий дискурс имеет это качество, мы должны исследовать отличитель­ные характеристики математических сетей.

Математические сети исторически связаны с математиками предше­ствующих эпох. Дело здесь не только в генеалогической преемственнос­ти, типичной для всех интеллектуалов, занимающихся творчеством, ког­да центральная сеть знаменитых творцов одного поколения порождает следующие поколения тех, кто будет делать открытия. Математики осо­бым образом сосредоточены на своей истории, поскольку главный путь математического открытия состоит в разработке темы методами, уже использовавшимися в математике предшествующих уровней, в создании такой символической системы, которая делает явными некоторые ранее молчаливо предполагавшиеся операции, а также в изучении следствий на этом более высоком уровне абстрактного символизма. В алгебре обоб­щаются правила арифметики и формулируются методы, которыми могут решаться целые классы арифметических задач. На последующих высших уровнях алгебры разрабатываются общие правила, касающиеся разрешимости различных типов алгебраических уравнений. Сходные последова­тельности имели место в математическом анализе, теории чисел, геомет­рии и разнообразных смешанных областях.

В ходе таких последовательных шагов создаются новые понятия, в которых обобщаются и суммируются целые классы результатов преды­дущей работы. Общепринятые алгебраические символы для неизвестных х, у могут означать какое угодно число; на более высоком уровне знак функции f(x) пригоден для обозначения целых выражений какой угодно формы. Еще более высокую абстракцию представляют собой функции функций; таковыми являются группы, кольца, поля и т.д. Это не означа­ет, что абстрагируемое непременно считается, в конечном счете, числом, неизвестным или операцией. На более высоком уровне операции обыч­ной арифметики абстрагируются как класс операций, которые могут от­бираться и разрабатываться различными способами, что приводит к воз­никновению альтернативных арифметик, альтернативных алгебр, или, короче говоря, к появлению высшей математики.

Математика - это самая историчная из дисциплин в том смысле, что ее главной темой являются углубление, движение вспять к тому, что счи­талось само собой разумеющимся в работе предшественников. Алгебра не только предполагает арифметику, равно как и высшие уровни алгеб­ры, математического анализа и т.д. не только предполагают ранее иссле­дованные более низкие уровни абстракции в соответствующих областях. В каждой точке истории математики символическая система последней относится к типам операций, разработанным на более раннем уровне ее развития. Невозможно избежать исторического накопления прошлых ре­зультатов, заключенных в значении любого математического выражения. Сама история математики воплощена в этом символизме.

После Декарта механизм обращения с уравнениями состоял в про­цедурах переноса символов из одной стороны уравнения в другую и пе­регруппировки членов до тех пор, пока уравнение не примет форму того, что уже следует решать или доказывать. Ключ к использованию такого метода - это обратимость. Результаты выполнения операций могут быть взяты как начальные точки через приписывание им символов, которыми также можно оперировать в данном уравнении. Символические обозна­чения неизвестных чисел х, у, удовлетворяющих конкретным уравнени­ям, рассматриваются, как будто они уже известны. Таким же образом выражения любого иного класса, включающие то, что должно быть най­дено, представляются как некие позиции в уравнении. Работе данного механизма не мешает наше незнание какого-то конкретного факта. Метод символизации целых классов, включающих прошлые результаты, будущие результаты, возможно, даже недостижимые или невозможные результаты, позволяет приводить в движение процедуры преобразования уравнений и приходить к заключениям о том, как соотносятся между собой члены этих уравнений.

В некотором смысле такой способ символизации - это реификация, или овеществление. При этом используемые элементы рассмат­риваются как вещи, поскольку они символизируются подобно симво­лическому обозначению вещей. Это дает видимую твердость данному х или данной функции f(x), что является еще одной попыткой отно­ситься к математическим объектам, как будто они являются реальнос­тями в платоновском смысле. Однако эта реификация носит лишь вре­менный характер и осуществляется ради реализации технологии пре­образования уравнений. Данная система символизации принадлежит к продолжающейся истории. Это видно как при движении назад, в прошлое, так и при движении вперед, в будущее: назад, поскольку самый очевидный референт (обозначаемый объект) символической позиции есть нечто того типа, который уже был обнаружен на более конкретном уровне. Так, х может быть заменен числом, являющимся решением некоторой арифметической задачи; для f(х) может быть пред­ставлен пример конкретного алгебраического выражения. Поскольку данная система символизации имеет абстрактный и общий характер, она обращена вперед к охватывающим областям математики - не толь­ко ко всем конкретным неизвестным, которые могли бы быть замене­ны каким-либо символом, но и к внешнему пространству абстрактных возможностей во всем семействе родственных операций. На этом пути разработка новой системы символизации, что всегда означает появле­ние новых систем практики, процедур оперирования группами сим­волов, обнаруживает новые области для открытий, новые математи­ческие уровни, подлежащие изучению. Таким образом, последователь­ные порядки символизации обращены не только вспять к той предше­ствующей работе, на которой они основаны, но также и вперед - к новым типам проблем.

Итак, математика социальна в двух смыслах, второй из которых еще сильнее первого: каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и ис­следователей, делающих открытия. Символы и процедуры, составля­ющие математику, рефлексивным образом воплощают историю этой творческой сети на всем протяжении до самых ее ранних связей, а рефлексия над собственными прошлыми операциями - это само зда­ние высшей математики.

Следует подчеркнуть другой аспект, еще более ярко показываю­щий, что математика насквозь социальна. Предметом математики являются операции, а не вещи. Это не та область, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Вернемся к нулевому уровню математики - числам. Поскольку некое число может считаться существительным в предло­жении, постольку легко полагать число вещью. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, сло­весных или иных, относительно чего-либо при произнесении после­довательности " 1, 2, 3...". Ответом на вопрос " сколько? " является число, на котором человек останавливается, когда завершает свое ука­зание жестами на то, что подсчитывает. Числа изначально являются деятельностью (или операцией) перечисления.

В этом отношении числа сходны с другими символами, составля­ющими человеческий дискурс. Универсальность чисел происходит из их унивeрcaльнoro использования, а вовсе не из какого-то характера объектов, для которых они используются. Перечисление - это процесс разделения и указания. Оно может быть применено к чему угодно: к ма­териальным объектам, среди которых могут быть очевидные разделения, но также к вещам, чьи контуры расплывчаты и изменчивы (к облакам, например), либо же к таким " вещам", которые вообще вещами не яв­ляются, но могут быть операциями, абстракциями или воображаемы­ми предметами. Перечисление - это операция, делающая элементы (единицы) эквивалентными друг другу через их подсчет, и они стано­вятся единицами, поскольку к ним относятся как к таковым. Это не означает, что числа иллюзорны. Они реальны как операции, выполня­емые человеческими существами, как деятельность, осуществляемая в каком-то времени и месте. Они также могут быть обобщены и пере­несены из одной ситуации в другую, поскольку являются операция­ми, которые могут применяться вновь и вновь. Общность чисел про­исходит из того, что они суть операции человеческого дискурса.

Операции математики социальны начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Здесь следует применить принципы социологии мышления. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же со­гласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур вы придете к тому же заключению [2]. Посколь­ку понятийное мышление интериоризировано из внешнего дискурса и становится осмысленным лишь потому, что предполагает внешнюю аудиторию, мой счет " про себя" - это также операция в некоторой социальной рамке. Вывод, сделанный ранее, можно в данном случае еще раз повторить: счет ведет к появлению универсалий, ибо осуще­ствляется в некоторой универсальной позиции - позиции любого че­ловека вообще, который следует данному соглашению, или конвенции, в дискурсе.

То, что было сказано о счете, можно сказать и о любых более аб­страктных формах математики. Арифметика обобщает результаты сче­та: сложение дает правила сокращения операций, указывая, например, что будет при подсчитывании одной группы вещей, затем другой груп­пы, затем при подсчете их всех и т.д. Элементарная алгебра обобщает результаты решения различных типов арифметических задач. Такова цепочка обобщения и рефлексии от одной формы математики к дру­гой, от операций подсчета к изучению операций над операциями и к дальнейшим замысловатым ступеням абстрактной математики. На каждом своем уровне математика исследует и классифицирует опера­ции. Она делает операции эквивалентными друг другу, рассматривая их как эквивалентные, подчиняя их какому-то систематическому на­бору операций более высокого порядка. Мы делаем эквивалентными числа в некоторой системе счета, вводя соглашения об их сложении и вычитании. Для математики смешать яблоки с апельсинами не составля­ет проблемы: математик придумывает какое-нибудь новое понятие для того, что является в них эквивалентным. Причем вовсе не обязательно, чтобы этот эквивалент был " естественным", понятием в вещах (напри­мер, " фрукт" ), - достаточно того, чтобы эквивалентность придавалась операциями, введенными для обращения с этими предметами. Если счет состоит в осуществлении ряда жестов, которые тем самым представляют нечто как ряд, то арифметика состоит в выполнении жестов по отноше­нию к числовым операциям, элементарная алгебра - в выполнении жес­тов по отношению к арифметическим операциям, высшая алгебра - в выполнении жестов по отношению к элементарным алгебраическим опе­рациям, рассматриваемым как эквивалентные.

Эти жесты в сообществе математиков делаются совместно. Некто становится членом такого сообщества, усваивая конвенции относитель­но коммуникации. Социальная структура математики имеет вид пирами­ды. В основании находится огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и эзотерически мыслящих математиков - сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстраги­рования и рефлексивного обобщения.

Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение. Это реальность процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и локализованной в пространстве. И это вдвойне мощная, упрямая реальность социально­го, - широко распространенных соглашений (конвенций) дискурса, т.е. деятельности, выполняемой сообща, которая и составляет сообщество как раз из тех людей, кто принимает эти условные (конвенциональные) опе­рации. Можно даже сказать, что это втройне мощная реальность, посколь­ку сеть математиков - это то, что выросло вокруг главной деятельности по конструированию способов построения метаопераций, предметом которых являются предыдущие операции того же сообщества.

Устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Некоторые греческие фи­лософы и математики утверждали, что объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовер­шенным линиям, начерченным на песке [3]. Другие утверждали идеаль­ность математики, используя в качестве объекта критики эмпиризм: чис­ла - это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помо­щью чисел мы можем вещи перечислять. В обеих линиях аргументации делается одна и та же ошибка (то же относится и к полагающим, что математика возникает на основе индукции из опыта восприятия вещей) - допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных ве­щей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий - операций математического дискурса. Универсалии и идеалы - это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дис­курс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру.

Другая ошибка - считать математику состоящей из тавтологий. Тож­дественность между элементами в разных сторонах математического уравнения - это не тот же тип тождественности, которая устанавливается при приписывании чему-либо имени, это не пустая тавтология, приме­ром которой может служить объяснение " тяжести" как " стремления к падению". Математическая эквивалентность и словесная тавтология yкoренены в различных языковых играх — в разных системах операций. Про­извольные тавтологии обыденного языка никуда не ведут, тогда как мате­матическая процедура - это машина по получению открытий. Механизм математических уравнений действует во многих направлениях, как отме­тил Фреге, говоря о различении смысла и отнесенности к предмету (ре­ференции). Устанавливающие эквивалентность математические конвен­ции приводят к обнаружению последовательных классов абстрактных операций, свойства которых могут изучаться. Конвенции произвольны, но математическое открытие состоит в исследовании неких устойчивых структур, или паттернов, обнаруживаемых при принятии разнообразных типов конвенций. Математика - это особая область эмпирических откры­тий, причем в той мере, в какой " эмпирическое", или " опытное", означа­ет изучение опыта во времени. Именно исследовательский опыт матема­тической сети - вот что предполагается в принимаемых этой сетью кон­венциях относительно символических обозначений.

Теории о том, что математика должна быть неким трансцендентным царством платонистских объектов или, по крайней мере, собранием апри­орных истин, заключенных в тавтологиях, привлекательны, поскольку помогают объяснить ощущение того, что математика - это нечто досто­верное, что ее результаты обладают такой высокой степенью неопровер­жимости и истинности, какую только люди могут достичь. Эту достоверность можно объяснить особым социальным характером математических сетей. Поскольку содержание математики выстроено в некую цепь во времени, постольку от самых высоких и утонченных абстракций и до обычных операций счета, все это здание внутренне скреплено самым тесным образом. Дело не только в том, что результаты лениво переходят от одного поколения к другому как некая устоявшаяся традиционная пара­дигма, которую никто не удосуживается поставить под вопрос. Напротив, данная связность глубока и неизбежна, поскольку темы все более абст­рактной математики были внутренними моделями операций предыдуще­го периода развития математики. В математике, в ее процедурах исполь­зования символических обозначений воплощена ее собственная история, причем в такой степени, которая не обнаруживается ни в какой иной области. Самый наивный практикующий математику приходит к тем же результатам, что и любой другой, поскольку каждый, кто учится следо­вать данным конвенциям, может повторить эту цепь аргументации. Ма­тематика достоверна, поскольку она надежно воспроизводима, что озна­чает воспроизводимость в цепи социальных конвенций.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-29; Просмотров: 929; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.018 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь