Математика как коммуникативные операции

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 13Следующая ⇒

Математика есть социальный дискурс. Этот факт неизбежен, если мы прямо рассмотрим имеющуюся данность. Перед нами математический аргумент очень небольшой технической сложности:

а = bх + су, (1)

a-bx-cy = 0. (2)

Данная последовательность суждений истинна и осмысленна для меня лишь постольку, поскольку я знаю, что означают эти символы, и знаю допустимые операции по преобразованию этих символов, такие, что уравнение (1) становится уравнением (2). Символы, как и любая иная форма дискурса, предполагают коммуникацию. Приведенное скромное суждение из области математической абстракции предполагает, что у меня был контакт с сетью учителей, которые, без сомнения, на много связующих звеньев отстоят от тех, кто создал данную область математики. Давайте возьмем пример из области более высокой абстракции [Kline, 1972, р.1128].

Если А_л - это компонент ковариантного тензора ранга 2, то его ковариант, производный в отношении к x^l, можно представить как

Теперь сеть математиков становится более ограниченной. На некотором уровне она сводится к сети активно работающих математиков, создающих исследовательский фронт математических истин.

Для сравнения рассмотрим утверждение, сделанное в китайской математике - алгебре эпохи Сун (см. рисунок). Трудность заключается не только в том, что мы, если принадлежим к западному миру, не знаем отдельных символов, подобно тому, как представители этого западного мира обычно не могут понять уравнения 4 + 5 = 9, если оно записано так:

Трудность состоит в том, что мы не знаем операций, определяющих, как работать с этими знаками. Китайская математика представлялась на счетной доске, разделенной на квадраты <.. .>. Сунская алгебра, названная " методом небесного элемента", была набором процедур представления выражений, обозначающих константы и неизвестные, возведенные в различные степени, путем помещения числовых знаков на конкретные места доски, окружающие центральный элемент. Например, в общепринятой европейской системе обозначений рамка в середине первого правого столбца может быть записана так: ху²-120у-2ху+2х²+2х. Китайские иероглифы между рамками представляют в словесной форме некое рассуждение (читается сверху вниз и справа налево), объясняющее, как одно алгебраическое выражение может быть преобразовано в другое. Таков словесный способ хранения математических результатов. В живой практике математик использует набор стандартных процедур манипулирования фишками на этой доске - процедур, состоящих в преобразовании одного выражения в другое. Физические операции и символическая структура (а не просто отдельные символы) отличаются от картезианских правил переноса выражений из одной стороны относительно знака равенства (=) в другую. Сходство заключается в общей форме данной практики, позволяющей выводить строки математических выражений одну из другой.

Приверженец платонизма сказал бы, что форма данного утверждения нерелевантна, что вывод одного математического выражения из другого верен независимо от того, записан ли он в виде словесного рассуждения на латыни, в виде посткартезианских символов, в виде сунской алгебры или еще каким-либо образом. Однако платонизм - это лишь теория. В нем предполагается то, что должно быть доказано - что математические истины существуют в некотором особом царстве, никак не соотносящемся с человеческой деятельностью по формулированию математических утверждений. Это можно показать с помощью квазиматематического cogito: если я отрицаю, что математическое утверждение должно существовать в форме какого-то конкретного типа дискурса, то в самом этом высказывании я представляю утверждение в некотором дискурсе. Если я отступаю назад, утверждая, что математика должна быть трансцендентной, поскольку может быть переведена с одного языка на другой, то я основываю мое утверждение на существовании переводов - операций, соединяющих между собой несколько дискурсов. Это не только не позволяет избежать дискурса, но добавляет еще один его вид [1].

Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе. Это может показаться каким-то минимальным уровнем реальности. Тем не менее, не следует думать, что социальный дискурс не имеет никакого объективного, твердого качества, того типа сильного принуждения, который соответствует понятию истины. Чтобы показать, почему математический дискурс имеет это качество, мы должны исследовать отличительные характеристики математических сетей.

Математические сети исторически связаны с математиками предшествующих эпох. Дело здесь не только в генеалогической преемственности, типичной для всех интеллектуалов, занимающихся творчеством, когда центральная сеть знаменитых творцов одного поколения порождает следующие поколения тех, кто будет делать открытия. Математики особым образом сосредоточены на своей истории, поскольку главный путь математического открытия состоит в разработке темы методами, уже использовавшимися в математике предшествующих уровней, в создании такой символической системы, которая делает явными некоторые ранее молчаливо предполагавшиеся операции, а также в изучении следствий на этом более высоком уровне абстрактного символизма. В алгебре обобщаются правила арифметики и формулируются методы, которыми могут решаться целые классы арифметических задач. На последующих высших уровнях алгебры разрабатываются общие правила, касающиеся разрешимости различных типов алгебраических уравнений. Сходные последовательности имели место в математическом анализе, теории чисел, геометрии и разнообразных смешанных областях.

В ходе таких последовательных шагов создаются новые понятия, в которых обобщаются и суммируются целые классы результатов предыдущей работы. Общепринятые алгебраические символы для неизвестных х, у могут означать какое угодно число; на более высоком уровне знак функции f(x) пригоден для обозначения целых выражений какой угодно формы. Еще более высокую абстракцию представляют собой функции функций; таковыми являются группы, кольца, поля и т.д. Это не означает, что абстрагируемое непременно считается, в конечном счете, числом, неизвестным или операцией. На более высоком уровне операции обычной арифметики абстрагируются как класс операций, которые могут отбираться и разрабатываться различными способами, что приводит к возникновению альтернативных арифметик, альтернативных алгебр, или, короче говоря, к появлению высшей математики.

Математика - это самая историчная из дисциплин в том смысле, что ее главной темой являются углубление, движение вспять к тому, что считалось само собой разумеющимся в работе предшественников. Алгебра не только предполагает арифметику, равно как и высшие уровни алгебры, математического анализа и т.д. не только предполагают ранее исследованные более низкие уровни абстракции в соответствующих областях. В каждой точке истории математики символическая система последней относится к типам операций, разработанным на более раннем уровне ее развития. Невозможно избежать исторического накопления прошлых результатов, заключенных в значении любого математического выражения. Сама история математики воплощена в этом символизме.

После Декарта механизм обращения с уравнениями состоял в процедурах переноса символов из одной стороны уравнения в другую и перегруппировки членов до тех пор, пока уравнение не примет форму того, что уже следует решать или доказывать. Ключ к использованию такого метода - это обратимость. Результаты выполнения операций могут быть взяты как начальные точки через приписывание им символов, которыми также можно оперировать в данном уравнении. Символические обозначения неизвестных чисел х, у, удовлетворяющих конкретным уравнениям, рассматриваются, как будто они уже известны. Таким же образом выражения любого иного класса, включающие то, что должно быть найдено, представляются как некие позиции в уравнении. Работе данного механизма не мешает наше незнание какого-то конкретного факта. Метод символизации целых классов, включающих прошлые результаты, будущие результаты, возможно, даже недостижимые или невозможные результаты, позволяет приводить в движение процедуры преобразования уравнений и приходить к заключениям о том, как соотносятся между собой члены этих уравнений.

В некотором смысле такой способ символизации - это реификация, или овеществление. При этом используемые элементы рассматриваются как вещи, поскольку они символизируются подобно символическому обозначению вещей. Это дает видимую твердость данному х или данной функции f(x), что является еще одной попыткой относиться к математическим объектам, как будто они являются реальностями в платоновском смысле. Однако эта реификация носит лишь временный характер и осуществляется ради реализации технологии преобразования уравнений. Данная система символизации принадлежит к продолжающейся истории. Это видно как при движении назад, в прошлое, так и при движении вперед, в будущее: назад, поскольку самый очевидный референт (обозначаемый объект) символической позиции есть нечто того типа, который уже был обнаружен на более конкретном уровне. Так, х может быть заменен числом, являющимся решением некоторой арифметической задачи; для f(х) может быть представлен пример конкретного алгебраического выражения. Поскольку данная система символизации имеет абстрактный и общий характер, она обращена вперед к охватывающим областям математики - не только ко всем конкретным неизвестным, которые могли бы быть заменены каким-либо символом, но и к внешнему пространству абстрактных возможностей во всем семействе родственных операций. На этом пути разработка новой системы символизации, что всегда означает появление новых систем практики, процедур оперирования группами символов, обнаруживает новые области для открытий, новые математические уровни, подлежащие изучению. Таким образом, последовательные порядки символизации обращены не только вспять к той предшествующей работе, на которой они основаны, но также и вперед - к новым типам проблем.

Итак, математика социальна в двух смыслах, второй из которых еще сильнее первого: каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия. Символы и процедуры, составляющие математику, рефлексивным образом воплощают историю этой творческой сети на всем протяжении до самых ее ранних связей, а рефлексия над собственными прошлыми операциями - это само здание высшей математики.

Следует подчеркнуть другой аспект, еще более ярко показывающий, что математика насквозь социальна. Предметом математики являются операции, а не вещи. Это не та область, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Вернемся к нулевому уровню математики - числам. Поскольку некое число может считаться существительным в предложении, постольку легко полагать число вещью. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении последовательности " 1, 2, 3...". Ответом на вопрос " сколько? " является число, на котором человек останавливается, когда завершает свое указание жестами на то, что подсчитывает. Числа изначально являются деятельностью (или операцией) перечисления.

В этом отношении числа сходны с другими символами, составляющими человеческий дискурс. Универсальность чисел происходит из их унивeрcaльнoro использования, а вовсе не из какого-то характера объектов, для которых они используются. Перечисление - это процесс разделения и указания. Оно может быть применено к чему угодно: к материальным объектам, среди которых могут быть очевидные разделения, но также к вещам, чьи контуры расплывчаты и изменчивы (к облакам, например), либо же к таким " вещам", которые вообще вещами не являются, но могут быть операциями, абстракциями или воображаемыми предметами. Перечисление - это операция, делающая элементы (единицы) эквивалентными друг другу через их подсчет, и они становятся единицами, поскольку к ним относятся как к таковым. Это не означает, что числа иллюзорны. Они реальны как операции, выполняемые человеческими существами, как деятельность, осуществляемая в каком-то времени и месте. Они также могут быть обобщены и перенесены из одной ситуации в другую, поскольку являются операциями, которые могут применяться вновь и вновь. Общность чисел происходит из того, что они суть операции человеческого дискурса.

Операции математики социальны начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Здесь следует применить принципы социологии мышления. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур вы придете к тому же заключению [2]. Поскольку понятийное мышление интериоризировано из внешнего дискурса и становится осмысленным лишь потому, что предполагает внешнюю аудиторию, мой счет " про себя" - это также операция в некоторой социальной рамке. Вывод, сделанный ранее, можно в данном случае еще раз повторить: счет ведет к появлению универсалий, ибо осуществляется в некоторой универсальной позиции - позиции любого человека вообще, который следует данному соглашению, или конвенции, в дискурсе.

То, что было сказано о счете, можно сказать и о любых более абстрактных формах математики. Арифметика обобщает результаты счета: сложение дает правила сокращения операций, указывая, например, что будет при подсчитывании одной группы вещей, затем другой группы, затем при подсчете их всех и т.д. Элементарная алгебра обобщает результаты решения различных типов арифметических задач. Такова цепочка обобщения и рефлексии от одной формы математики к другой, от операций подсчета к изучению операций над операциями и к дальнейшим замысловатым ступеням абстрактной математики. На каждом своем уровне математика исследует и классифицирует операции. Она делает операции эквивалентными друг другу, рассматривая их как эквивалентные, подчиняя их какому-то систематическому набору операций более высокого порядка. Мы делаем эквивалентными числа в некоторой системе счета, вводя соглашения об их сложении и вычитании. Для математики смешать яблоки с апельсинами не составляет проблемы: математик придумывает какое-нибудь новое понятие для того, что является в них эквивалентным. Причем вовсе не обязательно, чтобы этот эквивалент был " естественным", понятием в вещах (например, " фрукт" ), - достаточно того, чтобы эквивалентность придавалась операциями, введенными для обращения с этими предметами. Если счет состоит в осуществлении ряда жестов, которые тем самым представляют нечто как ряд, то арифметика состоит в выполнении жестов по отношению к числовым операциям, элементарная алгебра - в выполнении жестов по отношению к арифметическим операциям, высшая алгебра - в выполнении жестов по отношению к элементарным алгебраическим операциям, рассматриваемым как эквивалентные.

Эти жесты в сообществе математиков делаются совместно. Некто становится членом такого сообщества, усваивая конвенции относительно коммуникации. Социальная структура математики имеет вид пирамиды. В основании находится огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и эзотерически мыслящих математиков - сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстрагирования и рефлексивного обобщения.

Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение. Это реальность процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и локализованной в пространстве. И это вдвойне мощная, упрямая реальность социального, - широко распространенных соглашений (конвенций) дискурса, т.е. деятельности, выполняемой сообща, которая и составляет сообщество как раз из тех людей, кто принимает эти условные (конвенциональные) операции. Можно даже сказать, что это втройне мощная реальность, поскольку сеть математиков - это то, что выросло вокруг главной деятельности по конструированию способов построения метаопераций, предметом которых являются предыдущие операции того же сообщества.

Устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Некоторые греческие философы и математики утверждали, что объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке [3]. Другие утверждали идеальность математики, используя в качестве объекта критики эмпиризм: числа - это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. В обеих линиях аргументации делается одна и та же ошибка (то же относится и к полагающим, что математика возникает на основе индукции из опыта восприятия вещей) - допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий - операций математического дискурса. Универсалии и идеалы - это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру.

Другая ошибка - считать математику состоящей из тавтологий. Тождественность между элементами в разных сторонах математического уравнения - это не тот же тип тождественности, которая устанавливается при приписывании чему-либо имени, это не пустая тавтология, примером которой может служить объяснение " тяжести" как " стремления к падению". Математическая эквивалентность и словесная тавтология yкoренены в различных языковых играх — в разных системах операций. Произвольные тавтологии обыденного языка никуда не ведут, тогда как математическая процедура - это машина по получению открытий. Механизм математических уравнений действует во многих направлениях, как отметил Фреге, говоря о различении смысла и отнесенности к предмету (референции). Устанавливающие эквивалентность математические конвенции приводят к обнаружению последовательных классов абстрактных операций, свойства которых могут изучаться. Конвенции произвольны, но математическое открытие состоит в исследовании неких устойчивых структур, или паттернов, обнаруживаемых при принятии разнообразных типов конвенций. Математика - это особая область эмпирических открытий, причем в той мере, в какой " эмпирическое", или " опытное", означает изучение опыта во времени. Именно исследовательский опыт математической сети - вот что предполагается в принимаемых этой сетью конвенциях относительно символических обозначений.

Теории о том, что математика должна быть неким трансцендентным царством платонистских объектов или, по крайней мере, собранием априорных истин, заключенных в тавтологиях, привлекательны, поскольку помогают объяснить ощущение того, что математика - это нечто достоверное, что ее результаты обладают такой высокой степенью неопровержимости и истинности, какую только люди могут достичь. Эту достоверность можно объяснить особым социальным характером математических сетей. Поскольку содержание математики выстроено в некую цепь во времени, постольку от самых высоких и утонченных абстракций и до обычных операций счета, все это здание внутренне скреплено самым тесным образом. Дело не только в том, что результаты лениво переходят от одного поколения к другому как некая устоявшаяся традиционная парадигма, которую никто не удосуживается поставить под вопрос. Напротив, данная связность глубока и неизбежна, поскольку темы все более абстрактной математики были внутренними моделями операций предыдущего периода развития математики. В математике, в ее процедурах использования символических обозначений воплощена ее собственная история, причем в такой степени, которая не обнаруживается ни в какой иной области. Самый наивный практикующий математику приходит к тем же результатам, что и любой другой, поскольку каждый, кто учится следовать данным конвенциям, может повторить эту цепь аргументации. Математика достоверна, поскольку она надежно воспроизводима, что означает воспроизводимость в цепи социальных конвенций.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒