СПОСОБ БЫТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

– Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. М., 1985. С. 20–26.

Онтологический статус математических объектов или, что то же самое, способ их бытия – это одна из проблем философии математики, которая, начиная еще с Платона, породила огромную литературу. Мы не претендуем в этой маленькой заметке на анализ существующих здесь дискуссий и точек зрения, а ограничимся рядом соображений, цель которых показать тесную связь названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук. Впрочем, на наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики (1).

В качестве отправного пункта для рассуждения возьмем точку зрения Р. Л. Гудстейна на природу натуральных чисел. Гудстейн сопоставляет арифметику с шахматами и пишет: «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахматным правилам, формулируются в терминах дозволенных преобразований числовых знаков» (2). Шахматные фигуры можно сделать из дерева или из пластмассы, цифры можно писать карандашом на бумаге или вырезать на камне... Материал не имеет значения, все определяют правила «ходов», которые и задают роли. Приведенную точку зрения не трудно обобщить, ибо большинство окружающих нас предметов тоже выполняют определенные роли в нашей жизни и практической деятельности, роли, которые отнюдь не заданы однозначно самим материалом этих вещей, но предполагают наличие некоторых правил, обычаев, традиций... Да и сами мы постоянно играем определенные социальные роли.

Мы сталкиваемся здесь с двумя разными подходами к одному и тому же явлению. Можно играть в шахматы, углубляясь в анализ позиций, и совершенно не интересоваться тем привычным, но, вообще-то говоря, удивительным фактом, что обыкновенные деревяшки вступают друг с другом на доске в многообразные отношения, напоминая чем-то актеров на сцене. Мы как бы попадаем в этом случае во власть некоего «гипноза» шахматной игры и «грезим» наяву, наблюдая, как борются друг с другом деревянные фигурки. Но можно посмотреть на все и с другой точки зрения, поставив вопрос о механизмах этого «гипнотического» воздействия, о причинах возникновения самой шахматной иллюзии. Это другой подход, неинтересный для шахматиста, но принципиально важный для философа, для гносеолога.

Аналогичным образом можно впадать в иллюзию искусства, сопереживая героям художественного произведения, а можно ставить вопрос о способе бытия этого мира, который удивительным образом вырастает со страниц книги. Мы подходим здесь к традиционной проблеме литературоведения: что такое литературное произведение, каков его онтологический статус? (3). Применительно к математике эту проблему достаточно четко поставил еще Платон. Ему было ясно, что геометр, рисуя на песке четырехугольник и проводя диагональ, говорит при этом о каком-то другом четырехугольнике и о другой диагонали. Что же собой представляют эти идеальные геометрические объекты? (4). Речь при этом идет не о свойствах этих объектов, не о способах их построения, а о способе их бытия.

Разницу выделенных подходов можно проиллюстрировать с помощью следующей аналогии. В калейдоскопе мы наблюдаем смену различных узоров, но ничего не узнаем при этом о строении калейдоскопа. Иными словами, нам не ясен при этом способ бытия или механизм существования этих узоров. Напротив, разобрав калейдоскоп, мы получаем возможность описать его устройство, но не наблюдаем при этом никаких узоров. Выяснение способа бытия математических объектов, как и другие указанные нами аналогичные проблемы, требуют разборки «калейдоскопа».

Но вернемся к ролевой концепции натуральных чисел. С шахматами дело обстоит, казалось бы, просто, ибо роли фигур заданы здесь достаточно четкими правилами ходов, и трудно представить себе шахматы без этих правил. Но так ли в случае арифметики? Натуральные числа и навыки счета появились в практике человека много тысячелетий тому назад, чуть ли не на заре развития человечества (5), а аксиоматизация арифметики – это дело второй половины XIX века. «До XIX века, – пишет Н. Бурбаки, – ученые, по-видимому, не пытались определить сложение и умножение натуральных чисел иначе, чем путем прямого обращения к интуиции» (6). Но тогда возникает принципиальный вопрос: чем задана роль числовых знаков в языке в условиях отсутствия явно сформулированных правил?

Вопрос этот не новый, и прежде всего он уводит нас в лингвистику, в проблему выяснения механизмов существования самого языка. Очевидно, что носитель языка может и не знать правил грамматики. Как же он говорит? Можно ли считать, что те правила, которые формулирует грамматика, до этого как бы существуют имплицитно, т. е. в скрытом виде, в сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не являются врожденными? Все эти вопросы породили немало дискуссий и точек зрения (7). Мы сформулируем здесь одно из возможных решений, которое будет иметь принципиальное значение для всего дальнейшего обсуждения.

Ребенок заимствует язык непосредственно из той языковой среды, в которой он развивается. Но это значит, что у него нет никаких иных путей усвоения языка, кроме как воспроизведения образцов речевого поведения, которые демонстрируют ему взрослые. Мы можем отвлечься от конкретных физиологических или психологических механизмов такого воспроизведения. Важно следующее: так называемые имплицитные правила грамматики существуют для ребенка только в виде конкретных образцов, ребенок усваивает язык, подражая взрослым. Речевое поведение воспроизводится и передается от поколения к поколению как своеобразная эстафета, и подражание – это механизм передачи эстафетной палочки.

Системы, которые воспроизводят себя на уровне подражания, на уровне процессов-эстафет, мы будет называть нормативными системами (8). К их числу относится не только язык, не только речь, но в конечном итоге и все остальные виды человеческой деятельности, включая и деятельность в рамках науки. Шахматы – это тоже нормативная система. Во-первых, правила игры не могут быть сформулированы без языка, а во-вторых, далеко не весь шахматный опыт вербализуется в виде правил. Социальные процессы-эстафеты напоминают волну, которая бежит по поверхности водоема, вовлекая в движение все новые частицы жидкости. Обычаи и традиции, научные школы, литературные направления – это частные случаи такого рода «волн». Они давно стали объектом специального исследования в гуманитарных науках, но в основном в плане диахронии, а не синхронии, в плане анализа исторической преемственности, а не при выяснении способа бытия отдельных социальных явлений.

Мы возвращаемся к двум способам описания, о которых уже говорилось выше. Можно описывать шахматы путем формулировки правил ходов, а можно говорить о традиции комбинационной игры или о традициях советской шахматной школы. Это два, казалось бы, совершенно разных типа подхода, два разных предмета исследования. Но мы забываем при этом, что сами шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят себя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Возвращаясь к основной теме нашей статьи, можно сказать, что эстафеты – это способ бытия и математических объектов. А два вида описания, если продолжить аналогию с волной, напоминают следующее: можно описать распространение круговых волн на воде от упавшего камня, а можно выделить отдельную частицу жидкости и описать ее траекторию. Фиксируя правила шахматных ходов или правила оперирования с числовыми знаками, мы описываем не социальную «волну», а только то «возмущение», которое она вызывает в нашей деятельности, перекатываясь от поколения к поколению.

Соотношение двух видов описания имеет принципиальное значение для гуманитарных наук. Начнем с примера. Допустим, что историк математики изучает «Начала» Евклида и хочет описать способы рассуждения древнегреческого геометра. Он легко обнаружит, что Евклид в своих доказательствах исходит из некоторых допущений, которые нигде в явной форме не сформулированы. Как он должен поступить? Первый путь – сформулировать эти допущения, т. е. те правила, по которым действовал Евклид. Но сделав так, историк получит новую аксиоматику, может быть, аналогичную аксиоматике Гильберта, и не столько опишет работу Евклида, сколько продвинет геометрию вперед. Второй путь – предположить, что Евклид действовал вовсе не по правилам, а просто воспроизводил существующие в его время образцы математических рассуждений. Но каково содержание этих образцов? Описать их – это значит сформулировать некоторые правила или допущения, которых у Евклида не было, а простое указание делает описание почти бессодержательным. Вопрос упирается в следующее: можно ли объединить два типа описания, насколько правила, которые мы формулируем, адекватно передают содержание образцов?

Ответ предполагает уточнение того, что мы понимаем под воспроизведением социальных образцов. Известно, что акты подражания имеют место уже у животных, было бы, однако, большой ошибкой рассматривать человеческую способность действовать по образцам как чисто биологическое подражание. Животные за редким исключением сильно ограничены в своем выборе как способов действия, так и объектов оперирования. Что касается человека, то он, вообще говоря, имеет здесь огромное количество степеней свободы. Проиллюстрируем возникающие в связи с этим трудности на примере так называемых остенсивных определений. Представьте себе, что вам указали на предмет, имеющий форму раковины, и сказали: «Это пепельница». Что обозначает введенное таким образом слово и как вы должны его в дальнейшем употреблять, следуя образцу? Вероятно, словом «пепельница» вы должны обозначать все то, что похоже на продемонстрированный предмет, но в том-то и дело, что на него в том или в другом отношении похоже почти все. Слово может обозначать предмет, стоящий на столе, определенный цвет или материал, форму раковины, функциональное назначение и многое, многое другое. Это значит, что отдельно взятый образец не задает четкого множества возможных реализаций или, что то же самое, соответствующая нормативная система не является стационарной.

Чем же тогда объяснить, что в обществе мы сталкиваемся с достаточно устойчивыми традициями, что шахматисты не нарушают правила игры, что, используя язык, мы в основном понимаем друг друга? Объяснить это можно социальным контекстом, тем, что человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. В приведенном примере с пепельницей мы не будем, скажем, использовать новое слово для обозначения цвета, ибо соответствующее обозначение уже есть, не будем обозначать предмет, стоящий на столе, ибо уже имеем для этого другие языковые средства... Сказанное означает, что стационарность нормативных систем – это социальный, а не биологический феномен. Впрочем, если быть точным, то можно говорить только об относительной стационарности.

Вернемся теперь к поставленному вопросу. Описывая содержание образца, мы стремимся сформулировать некоторое правило деятельности, т. е. задать четкое, насколько это позволяет стационарность системы языка, множество возможных реализаций. Суть, однако, в том, что сам образец этого множества не задает. Мы, следовательно, приписываем ему отсутствующие у него характеристики. Можно, разумеется, брать не отдельный образец, а некоторую их систему, но и в этом случае указанная трудность имеет место, если, конечно, мы не сталкиваемся с идеальным случаем абсолютно стационарной нормативной системы. Думается, однако, что таких систем вообще не существует. А это значит, что стремление максимально точно описать содержание образцов неминуемо связано с некоторым искажением этого содержания (9).

Конкретные трудности, которые при этом возникают, можно проиллюстрировать на примере фиксации языковых норм. Очевидно, что для такой фиксации нам необходим определенный языковый материал, т. е. определенный набор текстов. Но чем больше текстов мы соберем, тем больше они будут «размазаны» во времени и тем меньше наши правила будут соответствовать реальному употреблению языка, ибо сам язык изменяется. Казалось бы, надо, наоборот, ограничить набор текстов, сузив одновременно и отрезок времени. Но, как уже отмечалось, отдельно взятые образцы не задают множества возможных реализаций. «Неадекватность кодификации литературной норме, – пишет В. А. Ицкович, – объясняется... ретроспективностью кодификации, ее ориентацией на образцы хронологически удаленные от современности» (10).

Вернемся теперь к математическим объектам и подведем некоторые итоги. Основная наша мысль в том, что объекты математики такие, например, как натуральные числа, – это некоторые роли соответствующих обозначений, которые воспроизводят себя по принципу нормативных систем. Иными словами, математические объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Сказанное выше означает их независимость от индивидуального человеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противостоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам.

Здесь стоит вернуться к аналогии с калейдоскопом, ибо ее необходимо существенно дополнить. Наблюдение узоров и разборка калейдоскопа – это два несовместимых эксперимента, однако, описания устройства и узоров вполне совместимы. Не так в гуманитарных науках, ибо выделенные выше два типа описаний выступают как несовместимые, но дополнительные. Указание на образцы не дает возможности точного прогнозирования характера деятельности, а по возможности точное описание того, что и как делается, не соответствует полностью содержанию образцов. Последние могут быть описаны различным образом в разных культурных контекстах и в этом плане потенциально бесконечны по своему содержанию. Сказанное означает, в частности, что аксиоматизация и формализация математики, связанная с заменой непосредственных образцов, задающих те или иные роли, строгими «правилами» – это есть перестройка и самого объекта математики. Впрочем, скорей всего, мы имеет здесь нечто подобное развитию языка. Кодификация последнего в виде различного рода словарей, учебников и грамматических справочников, конечно, влияет на его развитие, но отнюдь не исключает роль непосредственных образцов речевой деятельности.

Потенциальная бесконечность содержания образцов невольно вызывает ассоциации с некоторыми аспектами интуиционистского понимания математики. Излагая метафизику интуиционистов, X. Карри отмечает, что они постулируют, в частности, следующую характерную черту своей изначальной интуиции: «она не может быть адекватно описана никакими заранее составленными правилами: доказательство справедливо, когда оно является построением, отдельные шаги которого непосредственно очевидны; независимо от того, каковы данные правила, можно найти правильное доказательство, которое не согласуется с этими правилами» (11).

Мы не собираемся полностью присоединяться к метафизике интуиционизма, но в данном конкретном пункте она допускает вполне рациональную экспликацию в рамках введенных представлений. И суть дела не в характере «изначальной интуиции», а в нестационарности нормативных систем и в невозможности вполне адекватно и точно описать содержание образцов деятельности. Но в этом, как нам представляется, залог вечной молодости математики.

1 См., напр., Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965, с. 19.

2 Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961, с. 22.

3 См., напр.: Уэллек Р. и Уоррен О. Теория литературы. М., 1978, с. 154–172.

4 Платон. Государство. – Соч., т. 3, ч. 1, М., 1971, с. 318.

5 Фролов Б. А. Числа в графике палеолита. Новосибирск, 1974.

6 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963, с. 36.

7 См., напр.: Хомский Н. Аспекты теории синтаксиса. М., 1972; Слобин Д., Грин, Дж. Психолингвистика. М., 1976; Кейсер С., Хиллс И. Что мы, собственно, делаем, когда говорим. – В кн.: Распознавание образов. М., 1970.

8 Розов М. А. Проблемы эмпирического анализа научных знаний. Новосибирск, 1977.

9 Розов М. А. Информационно-семиотические исследования: процессы – эстафеты и принцип дополнительности. – НТИ, серия 2, № 2, 1984.

10 Ицкович В. А. Очерки синтаксический нормы. М., 1982, с. 13.

11 Карри X. Основания математической логики. М., 1969, с. 30.

Вопросы для понимания

1. В чем суть вопроса о способе бытия математических объектов?

2. Покажите однотипность вопросов о способе бытия числа, литературного произведения, шахматной фигуры.

3. В чем состоит «гипноз» шахматной игры или иллюзия искусства, когда мы сопереживаем героям драматической постановки, хотя артист на сцене вовсе не убивает героя?

4. Какие два вида описания выделяет М.А. Розов при исследовании шахмат, узоров калейдоскопа, чисел?

5. В чем различие постановки вопроса о способе бытия числа и шахматной фигуры? чем задана роль числовых знаков в языке в условиях отсутствия явно сформулированных правил?

6. Очевидно, что носитель языка может и не знать правил грамматики. Как же он говорит? Можно ли считать, что те правила, которые формулирует грамматика, до этого как бы существуют имплицитно, т. е. в скрытом виде, в сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не являются врожденными?

7. Какое возможное решение предлагает автор статьи, которое имеет принципиальное значение для всего дальнейшего обсуждения?.

8. Что такое воспроизведение социальных образцов? Чем они отличаются от актов подражания у животных?

9. Как Вы понимаете тезис о том, что отдельно взятый образец не задает четкого множества возможных реализаций

10. Какова роль контекста в стационарности нормативных систем (социальных эстафет)?

11. Какое решение вопроса об «устройстве» или способе бытия математических объектов предлагается в статье?

12. Как Вы понимаете тезис о том, будучи явлением культуры, «математические объекты» и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам»?

13. Поясните тезис: «аксиоматизация и формализация математики, связанная с заменой непосредственных образцов, задающих те или иные роли, строгими «правилами» – это есть перестройка и самого объекта математики» (стр. 74) Приведите примеры.

Р. Коллинз

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒