Лабораторная работа №13. Метод Монте-Карло

Вернуться в Оглавление

ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА MS EXCEL ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

Для моделирования различных физических, экономических и других процессов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. В их основе лежит метод статистических испытаний. Суть его состоит в том, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания носит случайный характер.

Особенность метода состоит в том, что он гарантирует высокое качество статистических оценок только при весьма большом числе испытаний, которое невозможно выполнить без помощи компьютера.

Табличные процессоры не очень удобны для проведения расчетов Монте-Карло, однако с их использованием можно достаточно просто проиллюстрировать основные особенности этого метода.

Применение метода Монте-Карло для вычисления площади круга

Рассмотрим применение этого метода для вычисления площади круга заданного радиуса. Данная задача хорошо иллюстрирует возможности метода. Пусть круг имеет радиус R = 1 (рис. 1). Уравнение соответствующей окружности имеет вид: ( x – 1 )+ ( y – 1 )= 1. (1)

 

Для решения задачи методом Монте-Карло впишем круг в квадрат. Вершины квадрата будут иметь координаты (0, 0), (2, 0), (0, 2), (2, 2). Любая точка внутри квадрата или на его границе должна удовлетворять неравенствам 0 < x < 2 и 0 < y < 2. При случайном заполнении квадрата точками, координаты которых распределены равномерно в этих интервалах, часть точек будет попадать внутрь круга. Если выборка состоит из n наблюдений и m точек попали внутрь круга или на окружность, то оценку площади круга S можно получить из

соотношения

S = S m /n (2)

где S – площадь квадрата, в который вписан круг.

В Excel с помощью функции СЛЧИС( ) можно получать равномерно распределенные случайные числа в диапазоне от 0 до 1. Для получения значений x и y в нужном диапазоне следует вводить формулы =2*СЛЧИС().

Число точек, попавших внутрь круга или на окружность, можно подсчитать, использовать функцию ЕСЛИ. Если координаты x и y таковы, что

( x – 1 ) + ( y – 1) ≤ 1, тогда функция будет возвращать 1, иначе 0. Тогда число m в формуле (2) для площади круга определится как сумма всех значений, возвращаемых функцией ЕСЛИ, а число n равно числу испытаний, которое можно подсчитать с помощью функции СЧЕТ. Только при большом числе испытаний можно получить близкое к точному значение равное π /4 =0, 7854.

Поэтому нужными формулами необходимо заполнить сразу большое число строк, например 500. Так будет выглядеть электронная таблица в режиме отображения формул:

	А	В	С	D
	Х	У	=СУММ(С3: С502)	=C1/C2
			=СЧЁТ(С3: С502)
	=2*СЛЧИС()	=2*СЛЧИС()	=ЕСЛИ(А3^2+B3^2< =1; 1; 0)
…	…	…	…
	=2*СЛЧИС()	=2*СЛЧИС()	=ЕСЛИ(А502^2+В502^2< =1; 1; 0)

 

В ячейке D1 будет находиться результат – площадь фигуры.

Вычисляя отношение m/n при нарастающем числе испытаний, можно сделать выводы, справедливые для любого статистического эксперимента независимо от природы и типа моделируемой системы:

- с увеличением продолжительности наблюдения отклонение измеряемой

величины от ее точного значения уменьшается;

- существует предел, за которым увеличение продолжительности модели уже

не дает существенного повышения точности результата.

 

ЗАДАНИЕ

В соответствии с вариантом, методом Монте – Карло определить площадь фигур (см. рис. 1), и сравнить полученный результат с результатом, вычисленным по формуле.

 

№ варианта
Фигура	Левая часть круга	Правая часть круга	Нижняя часть круга	Верхняя часть круга	Левая верхняя часть
№ варианта
Фигура	Левая верхняя часть круга	Правая верхняя часть круга	Правая нижняя часть круга	Левый верхний квадрант квадрата	Левый нижний квадрант квадрата
№ варианта
Фигура	Правый верхний квадрант квадрата	Правый нижний квадрант квадрата	Левый верхний треугольник	Правый верхний треугольник	Левый нижний треугольник
№ варианта
Фигура	Правый нижний треугольник	Верхняя половина квадрата	Нижняя половина квадрата	Левая половина квадрата	Правая половина квадрата

 

Применительно к управлению Проектами, использование метода Монте – Карло позволяет нам оценить риск невыполнения проекта в срок или риск не уложиться в бюджет Проекта.

Рассмотрим сетевой график из лабораторной работы № и возьмем работы, формирующие критический путь.

 

Работа	tо(i, j)	tнв(i, j)	tп(i, j):	t̄ (i, j)
0, 1
1, 4
4, 5
5, 6

 

Длина критического пути равна 10 дням. Однако, учитывая, что каждая работа имеет оптимистическую и пессимистическую оценки длительности, встает вопрос, а какова вероятность выполнения Проекта за 10 дней или, например, за 12 дней?

Моделирование методом Монте-Карло – это способ решения подобных задач. Необходимо случайным образом выбрать в указанных интервалах (от t_о(i, j) до t_п(i, j)) длительностей работ значения, и рассчитать длительность Проекта. Одни результаты превысят 10 дней (или 12 дней), а другие окажутся меньше. Процент реализаций, не превышающих 10 дней (12 дней), и будет искомой вероятностью.

Для моделирования надо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. Мы будем использовать кривую нормального (гауссова) распределения. Это колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 1).

Вот как выглядит нормальное распределение:

 

Рис.1. Нормальное распределение

Особенности:

• значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;

• распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-ного доверительного интервала (CI);

• «хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-ного доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.

Для построения нормального распределения в Excel можно воспользоваться функцией =НОРМРАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная),

где Х – значение, для которого строится нормальное распределение;
Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае = 1;
Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.

С нормальным распределением связано такое понятие, как стандартное отклонение. Рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3, 29 стандартного отклонения.

В нашем примере создадим в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений (т.е. для каждой работы). Начнем с первой работы.

Воспользуемся формулой Excel: =НОРМОБР(вероятность; среднее; стандартное_откл),

где вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
среднее – среднее арифметическое распределения;
стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.

В нашем случае:
Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2 = (3+2)/2;
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3, 29 = (3-2)/3, 29.

Таким образом, формула имеет вид:

=НОРМОБР(СЛЧИС(); (3+2)/2; (3-2)/3, 29),

где СЛЧИС – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1;

(3+2)/2 – среднее арифметическое диапазона MS;
(3-2)/3, 29 – стандартное отклонение.

 

На рис. 2 представлен вариант исходных данных в Excel для данной задачи.

 

Рис. 2. Исходные данные для решения задачи

 

На рис. 3 представлена та же таблица в виде формул.

 

 

Рис.3. Таблица Excel с формулами

Предполагая, что количество экспериментов равно 100, заполним формулами 100 строчек – с 3 по 102.

Учитывая, что суммарная длина пути лежит в диапазоне от 7 до 14, а нам надо определить вероятность события, что мы выполним Проект за 10 (или 12) дней, разобьем весь диапазон на следующие отрезки: 7 и менее дней, от 7 до 10 дней, от 10 до 12 дней, от 12 до 14 дней, 14 и более дней. Формулы для подсчета попадания испытания в соответствующий интервал занесем в столбцы H, I, J, K, L.

Результаты представлены на рис. 4, а формулы для подсчета результатов и диаграмма, иллюстрирующая их, представлены на рис. 5.

 

 

Рис. 4. Результаты расчетов

 

 

Рис. 5. Формулы для подсчета результатов и диаграмма

 

Итак, по результатам работы можно сделать вывод, что Проект с вероятностью 36% мы закончим за 10 дней и с вероятностью 89% (36%+53%) за 12 дней.

 

ЗАДАНИЕ

Рассчитать вероятность завершения Проекта (в соответствии с выбранным вариантом) за время t_кр и за время, большее, чем t_кр на 10%. (округлить в большую сторону до целого числа дней)_. В качестве исходных данных, взять данные из лабораторной работы №.

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I WORK UNDER MANY DIFFICULTIES (я работаю в трудных условиях: «под многими сложностями»)
2. А. В. Петровский разработал следующую схему развития групп. Он утверждает, что существует пять уровней развития групп: диффузная группа, ассоциация, кооперация, корпорация и коллектив.
3. Бакалаврская выпускная работа
4. Безопасность объектов почтовой связи и работающего персонала.
5. БИЛЕТ 13. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Энергия магнитного поля
6. БУДЕТ ЛИ ЭТО РАБОТАТЬ У ВАС?
7. В помещении насосного блока находится электрооборудование, работающее под высоким напряжением, и подача жидкости пенообразователя может вызвать замыкание.
8. Ваня: В ТОС меня привело желание подзаработать денег на свою мечту. Я хочу приобрести себе новый телефон. Про Трудовой отряд я узнал от своего друга Леши. И вот мы решили пойти работать .
9. Взаимосвязь экономического и психологического подхода в работах Даниэля Канемана и Вернона Смита.
10. Вопрос 22. Параллельная работа источников электроэнергии постоянного и переменного токов в авиационных системах электроснабжения.
11. Вопрос 37. Работа читального зала архива
12. Вопрос 43. Работа с персоналом архива