Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М₀ (рис. 5).

Точка M₀(x₀; y(x₀)) – фиксированная точка графика . Точка M(x₀+Dx; y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx ® 0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

 

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M₀MA: tg j = , j – угол наклона секущей M₀ M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0:

j = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x₀) = tg частное значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; y(x₀)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀; y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; f(x₀)):

y = f(x₀) + f ' (x₀) × (x – x₀).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x₀; f(x₀)):

y = f(x₀) – ,

используя условие перпендикулярности прямых:

Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

1)

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

 

4)

Вывод: так как ln x = log _e x, то, используя производную, для (log _a x), можно записать:

.

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x^a)' = a× x^{a – 1}

3. (a^x)' = a^x× ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_a x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

14. (arcctg x)' =

Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xÎ D(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dx = A× Dx + (Dx)× Dx,

где A = A(x) – не зависит от Dx; (Dx) – бесконечно малая величина при Dx®0, т.е.

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎ D(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f '(x). При этом f '(x) = A.

Доказательство.

1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х.

Доказать: A = f '(x).

Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению

Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Разделим это равенство на Dx ≠ 0:

.

Перейдём к пределу при Dx ® 0:

существует, а значит f '(x) = A.

Необходимость доказана.

2) Достаточность: Дано: f ' (x) – существует

Доказать: f(x) дифференцируема.

Так как существует f '(x)= , то по свойству предела можно записать:

,

где (Dx) ® 0 при D x® 0.

Умножим это равенство на Dx:

Þ функция y = f(x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции)

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎ D(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

где A = f '(x) и (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Найдём предел от Dy при Dx ® 0:

Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в точке x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

 

Правила дифференцирования

Теорема 3 . Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)× V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Dy = (U+DU)(V+DV) – U× V = U× V + U× DV + V× DU + DU× DV – U× V=

= U× DV + V× DU + DU× DV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Следовательно,

(U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)× V(x) × W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

 

(U× V× W)' = U '× V× W + U× V '× W + U× V× W '.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

 

(C× U(x))' = C× U ' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то функция дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

,

Значит,

.

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) × u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

,

где .

Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е.

(f(u(x)))' = f ' (u) × u' (x).

Теорема доказана.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритм нахождения производной сложной функции
2. БЕССМЫСЛЕННОСТЬ И ПСИХОТЕРАПИЯ
3. Бессолевая Диета Абсолютно Бессмысленна
4. Билет №24 1.идеал.идеал и реальный мир. (?)Проблема идеального. Знак. Значение. Смысл.
5. В этом основной смысл медитации: помочь вам выбраться из ума, помочь вам выбраться из различающего сознания и проложить дорогу, по которой вы могли бы войти в свидетельствующее сознание.
6. Ваши слова воздействуют на слушателя как правда, как несомненный здравый смысл. Происходит ли это потому, что Вы исходите из Ваших фундаментальных ощущений, а у слушателя нет опыта подобных ощущений?
7. Вовлеченность: главный терапевтический ответ на бессмысленность
8. Вопрос 15: Сознание как предмет философского осмысления. Многомерностьи полифункциональность сознания, философия и когнитивные науки о структуре и функциях сознания
9. Вопрос. Проблема личности и смысла жизни в «философии абсурда» А. Камю.
10. Вопрос. Роман Ф.М.Достоевского «Идиот». Смысл названия. Какой он князь Мышкин? Мышкинский путь спасения человечества. Удался ли он?
11. Всегда помни: слушая меня, пытайся понять мой смысл. Это трудно, но ты должен попытаться. В самой этой попытке ты выберешься из своих собственных смыслов.
12. Второе начало термодинамики и его статистический смысл Гипотиза Больцмана о связи энтропий и вероятности состояния.