Непрерывная случайная величина.

Непрерывные случайные величины - это величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Интегральная функция распределения есть закон распределения случайной величины, с помощью которого можно задавать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее х, т.е. .

Геометрически это означает: F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция F(X) непрерывно дифференцируема.

Свойства интегральной функции.

1⁰. Значения интегральной функции принадлежат отрезку от 0 до1, то есть .

2⁰. Интегральная функция есть функция неубывающая, то есть, если , то .

Следствия:

1. Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале (а; в) равна приращению интегральной функции на этом интервале:

2. Вероятность того, что НСВ примет одно конкретное значение равна 0.

3. Если возможные значения НСВ расположены на всей числовой прямой, то справедливы следующие предельные отношения:

и

График интегральной функции.

График интегральной функции строят, исходя из ее свойств. По первому свойству , график расположен между прямыми y=0 и y=1. из второго свойства следует, что - функция возрастающая, а значит ее график на промежутке (а, в) поднимается вправо и вверх. По 3⁰ свойству при , а при ( рис.5).

Рисунок 5. График интегральной функции.

Пример 31. ДСВ задана законом распределения

 

	0, 2	0, 5	0, 3

 

Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.

1. Если , то по 3⁰ .

2. Если , .

3. Если , .

4. Если , то по 3⁰ .

Построим график интегральной функции ДСВ(Ч) (рис.6).

Рисунок 6. График интегральной функции для дискретной случайной величины.

Дифференциальная функция распределения НСВ.

Существует еще один способ задания НСВ, используя дифференциальную функцию распределения.

Дифференциальной функцией распределения называется функция равная первой производной интегральной функции, то есть .

Дифференциальную функцию распределения по-другому называют плотностью распределения вероятностей.

Теорема 17. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее промежутку (а, в), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от а до в.

Пример 32. НСВ задана интегральной функцией распределения

Найти дифференциальную функцию распределения и вероятность попадания НСВ в промежуток .

Решение.

или так:

Свойства дифференциальной функции распределения.

1⁰. Дифференциальная функция есть функция неотрицательная: .

2⁰. (Условие нормировки.) Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1, то есть:

В частности, если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу (а, в), то

Пример 33. НСВ задана дифференциальной функцией распределения:

Найти значение параметра а.

 

Тогда

Заметим, что зная дифференциальную функцию распределения, можно найти интегральную функцию по формуле:

.

Пример 34. НСВ задана дифференциальной функцией распределения:

найти интегральную функцию распределения.

Решение.

1.

2.

3.

 

Числовые характеристики НСВ.

Если возможные значения НСВ принадлежат промежутку (а, в), то ее математическое ожидание находится по формуле:

если возможные значения НСВ принадлежат всей числовой прямой, то

, при этом предполагают, что несобственный интеграл сходится абсолютно. По аналогии дисперсия находится по формулам:

; .

Нетрудно получить более удобные формулы для вычисления дисперсии:

Если , то .

Если , то .

Среднее квадратическое отклонение НСВ как и дискретной, это квадратный корень из дисперсии, то есть

.

Пример 35. НСВ задана дифференциальной функцией распределения:

Найти числовые характеристики.

Так как возможные значения СВ принадлежат промежутку (а, в), то берем соответствующие формулы.

можно найти дисперсию по упрощенной формуле:

; .

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вероятность, случайное событие, случайная величина
2. Непрерывная и периодическая продувка котла.
3. Случайная прогулка по Уолл-стрит?