Возникновение науки – культурные условия и обстоятельства. Переход от мифов и магии к рациональному мышлению.

Состояние «преднауки» и развитая наука

В истории формирования и развития науки можно выделить две стадии, которые соответствуют двум различным методам построения знаний и двум формам прогнозирования результатов деятельности. Первая стадия характеризует зарождающуюся науку (преднауку), вторая – науку в собственном смысле слова.

Зарождающаяся наука изучает преимущественно те вещи и способы их изменения, с которыми человек многократно сталкивался в обыденной практике. Он стремился построить модели таких изменений с тем, чтобы предвидеть результаты практического действия. Так связь с практикой измерения земельных участков можно обнаружить в первых знаниях, относящихся к геометрии.

Затем, по мере развития познания и практики в науке формируется новый способ построения знаний. Он знаменует переход к собственно научному исследованию.

При таком методе исходные идеальные объекты уже не берутся из практики, а заимствуются из ранее сложившихся систем знания (языка) и применяются в качестве строительного материала при формировании новых знаний. Прямое или косвенное обоснование новой системы знаний практикой превращает ее в достоверное знание.

Так, например, по мере эволюции математики числа начинают рассматриваться не как прообраз предметных совокупностей, которыми оперируют в практике, а как относительно самостоятельные математические объекты, свойства которых подлежат систематическому изучению.

Поскольку проведение границы между преднаукой и наукой связано с новым способом порождения знаний, проблема возникновения науки предстает как проблема предпосылок собственно научного способа исследования. Эти предпосылки складываются в культуре в виде определенных установок мышления, позволяющих возникнуть научному методу. Их формирование является результатом длительного развития цивилизации.

Переход к науке в собственном смысле слова был связан с двумя переломными состояниями развития культуры и цивилизации. Во-первых, с изменениями в культуре античного мира, которые обеспечили применение научного метода в математике и вывели её на уровень теоретического исследования, во-вторых, с изменениями в европейской культуре, произошедшими в эпоху Возрождения и перехода к Новому времени, в ходе которых научный способ мышления сталдостоянием естествознания (главным процессом здесь принято считать становление эксперимента как метода изучения природы, соединение математического метода с экспериментом и формирование теоретического естествознания).

Для перехода к собственно научной стадии необходим был особый способ мышления (видения мира), который допускал бы взгляд на существующие ситуации бытия, включая ситуации социального общения и деятельности, как на одно из возможных проявлений сущности (законов) мира, которая способна реализоваться в различных формах, в том числе весьма отличных от уже осуществившихся.

(из «Философии науки и техники» Стёпина)

Пифагореизм и особенности его математической научной программы.

Лекции: Пифагорейцы

Отличие древнегреческой математики от математики Древнего Востока

Почему, исследуя, когда и как возникла математика как наука, мы обращаемся к древнегреческим мыслителям, и то время как уже до греков, в Вавилоне и Египте, существовала математика и, стало быть, здесь и следует искать ее истоки?

«Большое различие между греческой и древневосточной наукой состоит именно в том, что греческая математика представляет собой систему знаний, искусно построенную с помощью дедуктивного метода, в то время как древневосточные тексты математического содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и зачастую примеры того, как надо решать определенную задачу». То, что у вавилонян и египтян выступало всего лишь как средство, пифагорейцы превратили в специальный предмет исследования, т. е. в цель последнего.

Понимание числа у ранних пифагорейцев

Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга - стали рассматривать числа и числовые отношения как ключ к пониманию вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что «книга природы написана на языке математики», как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.

Учение о пределе и беспредельном

Число, т. е. множество единиц, возникает из соединения предела и беспредельного. Мир, следовательно, мыслится здесь как нечто завершенное, замкнутое (предел), а окружающая его пустота — как нечто аморфное, неопределенное, лишенное границ — беспредельное. Противоположность «предел — беспредельное» первоначально была близка к таким мифологическим противоположностям, носящим ценностно-символический характер, как свет — тьма, доброе — злое, чистое — нечистое и т.д. «Элементами числа пифагорейцы считают чет и нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным; единое состоит у них из того и другого — оно является и четным и нечетным, число < образуется> из единого, а < различные> числа, как было сказано, это — вся вселенная». Единое, или единицу (μ ο ν ά ς ), пифагорейцы ставили в особое положение: единица для них — это не просто число, как все остальные, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно приобщиться к единице — она же единство.

Числовая символика пифагорейцев

В пифагорейском союзе первоначально уделялось много внимания числовой символике. Так, к уже ранее найденным семеркам — семь элементов, семь сфер вселенной, семьчастей тела, семь возрастов человека, семь времен года и т.д. - пифагорейцы прибавили семь музыкальных тонов и семь планет. Однако уже первые операции над числами привели к тому, что семерка уступила место десятке.

«10 заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности, возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные, плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 — линия, 3 — треугольник, 4 — пирамида, и каждое из этих чисел первое в своем роде и начало ему подобных. А эти числа образуют первую из прогрессий, а именно разностную, и общая сумма ее членов — число 10 ». Декада, таким образом, есть также равносторонний треугольник, а это, согласно пифагорейцам, совершенная фигура. Декада — это «предел» числа, ибо, перешагнув этот предел, число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней присутствует и беспредельное.

Пропорция и гармония

Числовые пропорции, или соразмерности, пифагорейцы называли также гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при определенных соотношениях длин струн последние издают приятный (гармонический) звук, а при других — неприятный (диссонанс).

«Пифагор открыл, что если заставить последовательно звучать целую струну, половину её, две трети и три четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту. Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1: 2, дня квинты 2: 3 и для кварты 3: 4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4 термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных интервала. 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть интервалы октавы, квинты и кварты».

Гармония и число обнаруживаются пифагорейцами не только в музыке. Пифагорейцы на основании чисел составляли представление о расположении небесных светил; в движении небесных тел они видели ещё одно подтверждение своего тезиса, что все в мире устроено «в соответствии с числом». Аналогия между числовыми соотношениями в музыке и в астрономии породила характерное для пифагорейцев представление о «гармонии сфер».

Открытие несоизмеримости

Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т. е. арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо геометрически при отыскании обшей меры стороны и диагонали квадрата; либо, наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октану пополам, т. е. найти среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 2.

Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического числа.

(из «Истории греческой философии» Гайденко)

В конце VI в Кротоне сложилась, по-видимому, первая (из известных в истории человечества научно-философско-религиозно-политическая школа — Пифагорейский союз. C конца VI в. до середины IV в. до н.э. и оказал громадное влияние на развитие древнегреческой культуры, науки, философии.

Основное мировоззренческое положение (которое принадлежит, очевидно, Пифагору) — «все есть число». Ранние пифагорейцы воспринимали число как божественное начало, сущность мира, а в исследованиях числовых отношений видели средство спасения души, некий религиозный ритуал, очищающий человека и сближающий его с богами. Это философско-религиозное учение о том, что «мир есть число», ускоряло перевод математики из области практически-прикладной, вычислительной в сферу теоретическую, в систему понятий, логически связанных между собой процедурой доказательства. Мир целостен, гармоничен, в нем все взаимосвязано.

В то же время «мир есть число», значит, все числа связаны между собой, а занятия математикой позволят эти связи установить, прояснить их логическими доказательствами. Кто изучит и поймет божественные числовые отношения, тот сам станет божественным (подобно Пифагору), а его душа перестанет переселяться в другие существа (реинкарнация) и возвысится до абсолютного блаженства. Основные направления математических исследований раннего Пифагорейского союза:

· доказательства тех положений, которые были получены в египетской и вавилонской математике (включая и «теорему Пифагора»);

· разработка теории пропорций, музыкальной теории (важнейшие гармонические интервалы могут быть получены при помощи отношений чисел 1, 2, 3 и 4);

· разработка теории чисел.

В теории чисел пифагорейцами была проведена большая работа типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.

В эту эпоху стали также известны формулы суммирования простейших арифметических прогрессий, Рассматривались также вопросы делимости чисел. Введены арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции, а также различные средние: арифметическое, геометрическое, гармоническое.

Важнейшим событием в истории пифагореизма было открытие несоизмеримости диагонали и стороны квадрата, равной единице (современным математическим языком √ 2). Это открытие имело не только чисто научное, математическое, но и большое мировоззренческое значение. Философский смысл его состоял в крахе общей идеи гармоничности, цельности, стройности, пропорциональности, измеримости, организованности Космоса. Под сомнением оказалась сама идея о том, что «мир есть число».

Для решения проблемы несоизмеримости надо было иметь четкое представление о следующих вещах: является ли неограниченной продолжительность процесса нахождения общей меры; как выразить бесконечную малость последней; как выразить то, что она должна содержаться бесконечное число раз в сравниваемых величинах.

Теоретически были возможны два выхода. Первый связан с обобщением понятия числа и включением в него более широкого класса математических величин (как рациональных, так и иррациональных). По этому пути математика пойдет много позже, в эпоху Возрождения.

Второй путь — геометризация математики, т.е. решение чисто алгебраических задач с использованием геометрических образов (геометрическая алгебра позволяет выражать как рациональные, так и иррациональные отрезки). Поскольку совокупность геометрических величин (например, отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, постольку такое исчисление можно построить в геометрической форме. Так возникла геометрическая алгебра.

Методы геометрической алгебры имели принципиальные ограниченности: они позволяли определить только один, положительный корень квадратного уравнения; средствами построения были циркуль и линейка; объектами построения были геометрические образы размерности не выше второй; уравнения степени выше третьей в геометрической алгебре древних просто невозможны.

Пифагорейцы первыми в Древней Греции научились распознавать в небесном своде планеты, отличать их от звезд (в то время распознавали лишь пять планет). Им же принадлежит идея гармонии «небесных сфер». Представители пифагорейской школы сформулировали идею гелиоцентризма, которую впоследствии развивал Аристарх Самосский.

Всемирно-историческая заслуга пифагореизма — в осмыслении и утверждении категории количества. Мир не является многообразием качественно различных предметов, вещей, за таким качественным многообразием лежит количественное единство вещей. Каждая вещь и ее свойства имеют определенную меру, степень роста, изменчивости, насыщенности своих качеств. Мера изменчивости определенного качества и есть его количество. Каждая определенная вещь есть некоторое единство качества и количества. Нельзя постичь вещь в ее сущности и в ее целостности без выявления количественных характеристик вещи, а они постигаются математикой.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒