Тема 3. Философско-методологические и исторические проблемы математизации знания. Физика, математика и компьютерные науки.

⇐ ПредыдущаяСтр 26 из 38Следующая ⇒

Логическая автономность математики не означает автономности функциональной: математика развивается не для самой себя, а в ориентации на запросы научного знания. Особенности развития математического знания могут быть в полной мере поняты только с учетом этой внешней связи. Развитие математики в Новое время, конечно, не было автоном ным, оно было продиктовано развитием техники, промышленности и теоретического естествознания. Развитие математического анализа, как известно, самым тесным образом связано с проблемами механики и теоретической физики в целом. Расширяющееся приложение математики к нематематическим наукам составляет суть пронесся, который мы на зываем математизацией знания.

Общая схема математизации знания предельно проста и сводится в конечном итоге к интерпретации математической теории через понятия теории содержательной или, если идти со стороны содержания, к выявлению математических связей и отношений, отражающих определенные аспекты реальности, зафиксированные в содержательной теории. Классическим примером эффективной математизации является применение математики к проблемам механики. Это применение основано на структурном тожде стве.математических и содержательных законов. Мы замечаем, что если дана формула, выражающая зависимость пройденного пути от времени, то производная от этого выражения по времени будет соответствовать вели чине скорости движения, а вторая производная — величине ускорения. Это замечательное соответствие математических и физических понятий позволяет все понятая и связи механики записать в виде математических функций и установить между этими функциями четкие, чисто математиче ские связи. Проблемы механики переводятся таким образом в чисто математическую плоскость, точно таким же образом, как. проблемы геометрии были в свое время преобразованы Декартом в проблемы алгебры благодаря выявлению соответствия между геометрическими и алгебраическими понятиями. В процессе математизации, однако, математическая теория интерпретируется не в понятиях другой математической теории, а в понятиях теории содержательной.

Важно заметить, что процесс математизации зависит как от развития математики, так и от зрелости содержательной науки. Математизация механики не состоялась бы, если бы не была разработана в достаточной мере теория дифференциального исчисления, но, с другой стороны, она не состоялась бы без ясного определения таких понятий, как масса, ускорение, количество движения и т.д. Без этих понятий мы не сформули ровали бы в ясной форме законов механики и не смогли бы выявить их c обственно формальную или математическую структуру. Математика применяется к тем областям знания, которые достигли достаточно вы сокой степени структуризации своего объекта. Практика показывает, что далеко не все науки способны к ясной структуризации предмета, обеспечивающей использование математического метода.

Пример механики позволяет нам ввести важное понятие классичес кой или полной математизации. Мы будем называть математизацию те ории полной, если:

• качественные характеристики объектов теории допускают адекватную меру;

• все основные понятия и принципы теории поддаются выражению в математических понятиях;

• математическая теория позволяет осуществить достаточно точные предсказания в области действия (приложения) этой теории.

Очевидно, что классическая механика уже в XVIII в. достигла степени полной математизации. Не только исходные понятия теории, какими явля ются сила, масса и ускорение, определены через строгие формальные отно шения к другим понятиям, но и все производные понятия выведены на ос нове исходных. То же самое относится и к единицам измерения. Исходные величины, а именно величины массы, длины и времени определены через общезначимые эталоны, производные же величины — через исходные на основе теоретических связей между ними. Полная математизация имеет место также и в других физических теориях, таких, как термодинамика, электродинамика, квантовая механика и теория поля. Принципы этих теорий имеют адекватное математическое представление, все их внутренние величины определены через исходные, и эти теории обладают высокой адекватностью отражения реальности в том смысле, что они способны да вать точные предсказания и описания процессов, протекающих в природе и в различного рода технических устройствах.

Для математизации научной теории принципиально важным являет ся допустимый в ней способ измерения величин. Мы должны различать адекватные и неадекватные меры. Меру величины можно назвать адекватной, если мы убеждены, что большей величине соответствует боль шая мера, равным величинам — равные меры и при увеличении величины в некоторое число раз ее мера увеличивается в то же самое число раз. Адекватная мера предполагает наличие способа измерения, прежде все го, единиц измерения, зафиксированных в виде устойчивых эталонов. Все физические величины обладают в этом смысле адекватной мерой, поскольку они выражаются в конечном итоге через меры длины, массы и времени, которые фиксируются с предельной определенностью.

Основной недостаток теорий за пределами физики заключается в отсутствии адекватных мер. и поэтому приходится прибегать, как правило, к условным мерам, которые мало пригодны для точного выражения функциональных связей. У нас нет адекватной меры для определения величины грамотности общества, и мы вынуждены пользоваться для выражения се такими условными характеристиками, как среднее число лет, которое затрачивается в данной стране на обучение ребенка, уровень финансиро вания системы образования и т.д. Конечно, мы имеем качественные признаки, позволяющие отличить развитую экономику от менее развитой, но не существует единого показателя, позволяющего дать точное количественное выражение качества экономической системы. Условность измерения ведет к условности устанавливаемых функциональных связей и к ограничению теоретического анализа в смысле точности предсказаний.

Существенное отличие современной математизации от классической состоит в том, что она не является полной. Она фрагментарна в том смысле, что математическому моделированию поддаются лишь некоторые частные процессы, исследуемые теорией, но не теория в целом. Мы строим здесь модель для некоторого процесса, не имея математического представ ления об основных понятиях и принципах теории. Примером такой частичной математизации является математическая модель сосуществования хищников и жертв в биоценозе, предложенная В. Вольтерра. Интуитивно ясно, что увеличение числа зайцев в лесу как потенциальных жертв ведет к увеличению числа волков как особей, потребляющих зайцев в пищу, и что слишком бурное размножение волков должно привести к уменьшению числа зайцев и, в конце концов, к сокращению числа волков. Намечается, таким образом, некоторое взаимодействие двух линий развития вовремени. Известно, что математическое моделирование процессов в биоценозе даст неплохие результаты в прогнозах вылова pa з личных пород рыб по сезонам в замкнутых водных бассейнах.

Этот пример показывает особенности не классической (фрагментар ной) математизации. Такая математизация не захватывает принципов на уки в целом, она относится исключительно к некоторым выделенным, изолированным фрагментам. Важно также то, что такого рода математиза ция не опирается на адекватные меры и не обеспечивает точного предсказания. Математизация знания за пределами физики является фрагментарной и неточной из-за отсутствия адекватно измеряемых величин. Имеются серьезные доводы в пользу того, что математизация за пределами физики не имеет шансов стать полной и адекватной математизацией в определен ном выше смысле. Ни одна гуманитарная наука, конечно, не может достичь такой законченной аксиоматической структуры изложения, кото рую приобрела механика уже на ранней стадии своего развития. Опыт науки последних десятилетий показывает, однако, что несмотря на указан ные недостатки фрагментарной математизации, она завоевывает все но вые и новые области, демонстрируя таким образом свою полезность. Все говорит о том, что гуманитарные науки по мере своего развития будут требовать все более широкого использования математических методов.

В философском плане основная проблема математизации состоит в прояснении ее онтологической основы, ее обусловленности сложностью предмета науки. История науки ясно показывает, что математической обработке поддаются только те теории, в которых могут быть выявлены модели, пригодные для количественной обработки и для определения в точ ных понятиях. Математизация знания зависит, таким образом, в первую очередь от внутренних особенностей самого этого знания, от его способности к внутренней определенности, от наличия в нем достаточно опре деленных и вместе с тем достаточно содержательных схем. Научные тео рии сильно различаются по своей способности к строгому определению понятий и в разной степени способны к представлению своих законов в математических понятиях. Проблема состоит в уяснении условий, обус ловливающих возможность математизации знания, в установлении тре бований, позволяющих понять возможную сферу эффективности математического метода. В настоящее время мы не имеем здесь сколько-нибудь ясных представлений, и можно сказать, что существующая теория мате матизации знания ограничивается пока лишь анализом ее истории и срав нением типов задач и используемого математического аппарата.

Современная математизация знания отличается от классической и о том смысле, что она тесно связана с развитием вычислительной техники и в этом плане может быть квалифицирована так же, как его компьюте ризация. Это обстоятельство объясняется прежде всего тем, что модельный и приближенный характер современной математизации требует со вершенствования (подгонки) модели к условиям реальности. Такого рода совершенствование модели не может быть достигнуто средствами тради ционного теоретического анализа, но во многих случаях легко достигается на основе вычислительною эксперимента. Можно сказать, что вычис лительный эксперимент позволяет преодолеть самый существенный недостаток фрагментарной математизации — отсутствие адекватных мер и точности предсказания. Известно, что достаточно точные модели поведения объектов могут быть построены и в тех случаях, где еще не достигнуто адекватного теоретического описания и даже нет ясного понимания процесса. Продвижение математических методов в психологию и гуманитарные науки было бы невозможным, если бы мы должны были опираться здесь только на достигнутое теоретическое понимание процессов и на строгую дедукцию из принципов. Современная математизация об ладает, таким образом, некоторой независимосгью от теории, что являет ся одним из ее преимуществ перед математизацией классической.

Для понимания математизации знания и общего механизма соотно шения математики и опыта в процессе развития науки важно также пояснить такие относящиеся к ней явления, как математическое предвос хищение и математическая гипотеза. Явление математического предвосхищения состоит в применении к описанию реальности матема тических понятий и теорий, созданных первоначально исключительно из теоретических соображений, без прямой связи с опытом. Так. мате матическая теория групп, созданная Лежандром, Абелем и Галуа, нашла в прошлом столетни использование в квантовой механике и теории эле ментарных частиц, а неевклидовы геометрии - в теории относительности. Аналогичным образом обнаружилась тесная связь с опытом абст рактных топологических пространств и даже закономерностей распределения простых чисел, которые открывались, конечно, без всякой связи с запросами теоретического естествознания. А. Эйнштейн в статье о Кеплере высказывав восхищение загадочной гармонией природы и мысли, благодаря которой геометрические фигуры, придуманные древними, а именно эллипс и гипербола, нашли в Новое время реализа цию в орбитах небесных тел. Н. Бурбаки также усматривает проблему в том, что некоторые аспектыэкспериментальной действительности «как будто в результате предопределенности» укладываются в некоторые из существующих математических форм. Конечно, здесь не следует усма тривать какой-либо мистики. Эти факты показывают, однако, наличие глубинных связей между развитием математики и опытных наук, кото рые не сводятся к простому взаимовлиянию структур и которые нам предстоит еще понять в процессе методологического анализа.

Явление математической гипотезы состоит в том, что чисто формаль ные, иногда даже непреднамеренные изменения математических уравнений, описывающих определенные стороны реальности, приводят к закономерностям описывающим другие стороны реальности или существенно расширяющим поле использования первоначальной теории. Впечатляющим примером такой формальной вариации является уравнение Шрёдингера, полученное в результате модификации классического волнового уравнения. Этот путь привел в конечном итоге к прояснению принци пов квантовой механики и широкого поля ее приложений. Особенностью этого пути является то, что математический аппарат теории появляется раньше его адекватной содержательной интерпретации. Некоторые исследователи методологии науки видят в этом новую форму взаимодействия между математикой и научной теорией, появившуюся в XX в., которая ха рактеризуется тем, что математика начинает играть ведущую и решающую роль в становлении физической (содержательной) теории.

Математическая гипотеза родственна математическому предвосхищению, так как в том и другом случае речь идет об активной и опережающей роли математики в развитии содержательной теории. Но тут есть и сущест венное различие: говоря о математическом предвосхищении, мы фиксируем некоторого рода исторически реализующуюся тенденцию, способность математики готовить форму для новых физических теорий, в то время как в случае с математической гипотезой мы говорим о сознательном использовании этой особенности развития математики, т.е. о некотором метоле, основанном на этом свойстве математической теории. Можно сказать, что математическая гипотеза является методологической реализацией, предвосхищающей способности математического мышления.

Современная математизация знания в методологическом плане пред ставляет собой сложное, противоречивое и во многих отношениях еще не вполне понятое явление. Мы ясно видим, что, хотя усложнение объекта исследования создает почти непреодолимые затруднения для математиче ского представления теории, спрос на математику со стороны науки, в том числе и наук за пределами физики, постоянно растет. Вопрос о пер спективах математизации знания, таким образом, остается открытым. Для понимания этих перспектив необходимо иметь более определенные знания об условиях применения математики к таким объектам, как объекты биологии, психологии и социальной науки. Достаточно полной ме тодологической теории, отвечающей на эти вопросы, мы пока не имеем.

⇐ Предыдущая 21 22 23 24 252627 28 29 30 Следующая ⇒