Тема 2. Философские концепции математики. Философия и проблема обоснования математики.

⇐ ПредыдущаяСтр 25 из 38Следующая ⇒

Философские концепции математики различаются тем, как они трактуют природу математических понятий и принципов, логику их происхож дения и их связь с представлениями опытных наук. Вопрос о происхождении математических понятий является наиболее важным, поскольку он определяет представления о природе и методе математического мышления. Его решение тесно связано с глубокими и еще не вполне понятыми антитезами обшей теории познания и прежде всего с традиционным противо стоянием эмпиризма и рационализма в понимании норм мышления. Мы проведем здесь краткое описание основных воззрений на математику, имевших место в истории философии и методологии математики.

Первой ясно выраженной философией математики был пифагореизм. Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, от космоса как идеальной основы мира, которая может быть понята только умозрительно, посредством самого разума. Все, высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и неопровержимостью. Пифагорейцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также и по методу: математические утверж дения опираются не на показания чувств, а на умозрение, т.е. на разум, который способен, как они полагали, непосредственно (без опоры на чувственный опыт) отражать глубинные законы мироздания.

Математика определяла и общее пифагорейское понимание реальности, которое выражалось в положении «Все есть число». Это положение выражало веру пифагорейцев в то, что всякая вещь содержит некоторую присущую ей меру, определенное гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие ее числа, ее внутренней пропорциональности. В соответствии с такой установкой они пытались соединить наиболее значимые для них вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу — с числом четыре, вселенную — с числом десять и т.д. Положение «Все есть число» имело у пифагорейцев и другой, менее понятный для нас смысл. Как это видно из сочинений Аристотеля, они понимали число не только в качестве внутренней структуры вещей, но и в качестве их причины, т.е. они мыслили числа как некоторого рода идеальную основу мира, как особого рода субстанцию, определяющую само их возникновение. Можно сказать, что Пифагор него последователи возводили числа в начало всех вещей, ставили их на место природных стихий, из которых исходили первые греческие философы.

Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии. Здесь мы наблюдаем первые, еще очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сущностных связей. Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величин. Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между арифметикой и геометрией, которая для пи фагорейцев была само собой разумеющейся, а также пифагорейскую идеологию в целом. Необходимо было признать в силу самой строгой ло гики, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины неизмеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые, таким образом, уже не могут быть поняты как соответствующие опреде ленному числу. Но если число является недостаточным уже для описания геометрических величин, то его универсальность для выражения других, более сложных вещей становится в высшей степени сомнительной.

Другая причина постепенного ослабления пифагорейской филосо фии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая кри тика пифагореизма. Хотя Аристотель — непосредственный ученик Платона, его мировоззрение отличается от платоновского радикальным образом. Аристотель скорее исследователь природы, чем умозрительный философ, он ценит факт и логику больше, чем мифологические построения. Отношение Аристотеля к пифагорейцам отрицательное и даже пренебрежительное. Пифагорейская философия ложна прежде всего потому, что она не раскрывает причин вещей. «На каком основании — спрашивает Аристотель, — числа суть причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вашей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звезд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот...» Пифагорейские сопо ставления для Аристотеля — простая игра с числами, основанная на случайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений.

В философии Аристотеля появилось новое понимание математического мышления, которое известно сегодня под названием математического эмпиризма. В основе этой концепции лежит убежденность в первичности опытного знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей: они связаны с ве щами и возникают как таковые из способности отвлечения. Математика, по Аристотелю, является наиболее абстракт ной наукой. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств. Вещи первичны перед математикой и определяют ее содержание.

Аристотель высказал также ряд других идей, заслуживающих рассмотре ния. Он выдвинул положение о том, что строгость математического рассуж дения объясняется простотой ее предмета. Под простотой здесь имеется в виду ее легкость усвоения математики, и специфическая абстрактность ее предмета, отсутствие разнородности качеств, которые присутствуют в физике и других, более конкретных науках. Им высказана также идея о глу бинной связи математики с понятием прекрасного. Важнейшие виды пре красного, считал Аристотель, - это слаженность, соразмерность и определенность, но именно эта стороны вещей и выявляет математика.

Аристотелевская концепция математики является, конечно, более обоснованной иболее соответствующей логике научного мышления. Значительное число ученых и в настоящее время придерживаются в сво ей сути аристотелевского воззрения на математику: они считают, что ма тематика вторична перед физикой, что исходные математические объек ты есть лишь абстрактные схемы реального бытия вещей. С этой точки зрения математика — абстрактная физика, отвлеченная от анализа сил и движений, одна из наук о природе, и именно по этой причине она с успехом прилагается к описанию природы.

Эмпирическое воззрение на математику встретилось, однако, с большими трудностями. Уже давно было замечено, что математические утверждения (теоремы) не подвергаются опровержению. Доказанное в ма тематике — доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и кор ректировки. Мы замечаем также, что математика в обосновании своих положений не использует никаких показаний опыта. Исследуя пространство, геометрия не обращается к опытному анализу пространственных отношений. Наконец, многие объекты, исследуемые в математике, в принципе не могут быть поняты в качестве абстракций из опыта. Затруднения возникают уже с отрицательными числами. Нельзя доказать положение: (-5)·(-5) = +25. Апеллируя к какому-либо опыту или к способности абстрагирования. Еще более проблематичны в этом отношении иррациональные и комплексные числа. Развитие математического анализа ввело в математику понятие бесконечности, которое не имеет коррелята в чувственном опыте. Развитие математики в Новое время выдвигало все новые и новые контряоволы об отношении аристотелевской концепции математики и все настоятельнее ставило задачу ее пони мания на некоторой принципиально новой основе.

Концепция математики, которая в какой-то степени решает эту задачу, сформировалась в XVII — XVIII вв. и получила наименование априо ризма. Априоризм в определенной степени является возвращением к пифагорейскому делению знания на чувственное и умопостигаемое, ибо математика объявляется принципиально внечувственным знанием. Декарт разделил все истины на вечные, данные в аподиктической очевидности, и чувственные, постигаемые на основе опыта. Математика снова стала пониматься как знание, радикально отличное от истины (математические и логические. И у Декарта, и у Лейбница возникновение исходных понятий математики не связывается с опытом; эти истины рассматриваются как истины самого разума, покоящиеся на очевидности, имеющей внеопытную природу.

Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитичность необходимых истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетиче скими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем созна нии чистой чувственности, чувственного, но неэмпирического созер цания, которое позволяет сформулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения геометрии опираются, со гласно Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифметики - на чистое представление о времени. Чистые представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Любое математическое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза.

К важнейшим положениям кантовской философии математики нужно отнести также его положение о конструктивном характере математи ческих объектов. Математика, по мнению Канта, содержит два типа объектов: объекты, непосредственно данные в чистом созерцании, и объекты, данные только своим правилом конструирования. Мы не мо жем созерцать тысячеугольник, говорит Кант, но мы имеем самоочевидную схему построения этой фигуры, и данное обстоятельство позволяет нам высказывать о ней истинные суждения, несмотря на отсутствие непосредственного зрительного образа этой фигуры.

Признание неевклидовых геометрий в XIX в. существенно поколебало истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали возможность существования математических теорий, не обладающих апри орной и самоочевидной основой. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклидовых геометрий не является очевидной, она обладает лишь логической определенностью. Анализ математических понятий показывал также, что многие из них не обладают и конструктивностью в кантонском смысле. Это свидетадьствовало о том, что априористское воззрение на математику ограниченно и не определяет ее истинного предмета и метода.

В конце XIX в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геомет рий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основ ные ее установки могут быть выражены в виде следующих положений:

• математика не является наукой, последующей аспекты реальности, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой пели;

• основным требованием к аксиомам математической теории являет-
ся не их очевидность и не их связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для се приложения к опытным наукам;

• к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытного подтверждения. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения ее понятий с понятиями опытных наук;

• если обоснование содержательной науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается только в доказательстве логической непротиворечивости ее аксиом.

Эти принципы оформились в конце XIX — начале XX в. в работах Г. Кантора, А. Пуанкаре и Д. Гильберта. Ясно, что принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от трудностей эмпирической априористской философии математики. От математической теории не требуется больше ни наглядности, ни рациональной очевидности принципов, не требуется опытного происхождении и конструктивности понятий. Для математической теории объявляется существенным только одно требование, а именно требование ее непротиво речивости. Проблема обоснования математической теории понимается с этой точки зрения как строгое доказательство ее непротиворечивости. Философия математики XX в, развивалась в основном в русле этих принципиально новых идей, которые, безусловно, представляют собой более высокий этап в понимании природы математического мышле ния. Определенная трудность этой концепции состоит в том, что она рассматривает все математические теории как онтологически равноценные и не выделяет традиционных теорий как обладающих особым онтологическим статусом.

На протяжении XX в. появились новые воззрения на природу математики. Мы видим прежде всего некоторое возрождение эмпиризма. В этом плане получила известность концепция Ж. Пиаже, который в 50-х гг. прошлого века сформулировал операциональный подход к пониманию природы исходных математических понятий. По мнению Пиаже, необходимо различать два вида опыта: физический и логико-математичес кий. Когда ребенок рассматривает камешки и сравнивает их по цвету, он находится в сфере физического опыта и физических абстракций, когда же он начинает считать эти камешки, то он отвлекается от всех их физи ческих качеств и обращает внимание только на операции, необходимые для того, чтобы переложить их из одной кучки в другую. Исходные ма тематические понятия, по мнению Пиаже, сформировались в опыте, но не в сфере физического, а в сфере логико-математического или операционального опыта, т.е. через наблюдение операциональной активнос ти. Ошибка традиционного эмпиризма состояла в том, что он ставил своей задачей вывести исходные представления математики из физиче ского опыта. Математика в своей сути — это наука о реальных и мыслен ных операциях, и, таким образом, она имеет предмет, определенный структурой операционального опыта.

Другой вариант эмпирического понимания математического мышления был предложен И. Лакатосом в его известной работе «Доказательст ва и опровержения», а также в ряде статей, посвященных философии математики. Эмпиризм Лакатоса можно назвать методологическим, ибо он направлен прежде всего на критику традиционных представлений о строгости математического доказательства и проектов логического обоснования математических теорий. Лакатос выдвинул положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Самое убедите льное доказательство, по его мнению, содержит в себе систему скрытых ощущений, неявных предпосылок, которые могут оказаться ошибочными или противоречивыми. Полное выявление такого рода допущений, считает он, ни в одном конкретном случае не может быть достигнуто. Даже если бы некоторое доказательство действительно оказалось полностью свободным от скрытых допущений, то мы все равно не могли бы доказать этого факта, т.е. его законченности. Лакатос убежден в том, что мы считаем доказательства строгими в соответствии с принятыми для данного времени критериями строгости, которые не являются неизменными. Абсолютно строгих доказательств, с этой точки зрения, не существует, ибо доказательство, удовлетворяющее критериям строгости одной эпохи, мо жет оказаться нестрогим сточки зрения критериев другой эпохи.

К математическому эмпиризму можно отнести также и концепцию математики Ф. Китчера, основанную на психологической теории позна ния. Одна из основных целей Китчера состоит в критике априоризма. По его мнению, всякая интуиция, в конечном итоге, есть продукт опы та, и не существует никакой особой интуиции, которая могла бы гаран тировать полную надежность математического рассуждения.

В последнее время появились также воззрения на математику, которые можно назвать неоаприоризмом, поскольку они настаивают на априорно сти исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии, трактуя остальные математические теории вдухе формалистской концепции. Математика с этой точки зрения разбивается на две части: первичная, апри орная математика, принципы которой обладают самоочевидностью и вто ричная, формальная математика, созданная для внешних (прикладных) задач, удовлетворяющая только требованию непротиворечивости. Некото рые попытки восстановления математического априоризма мы видим в работах Я. Хинтикки и ряда других философов. Неоаприористское воз зрение на природу математики представляется достаточно перспектив ным. Несомненно, что исходные математические теории, такие, как ариф метика, геометрия и логика, имеют прямую связь с универсальной онтологией, они тесно связаны с категориальным видением мира и имеют значение для мышления вне их прикладной ценности. Безусловно, Кант был прав, связывая исходные математические представления с общей ло гикой человеческого мышления.

Краткий обзор основных воззрений на природу математики убежда ет нас в том, что наряду со сдвигами в развитии самой математики про исходит постоянное совершенствование философии математики. Мы видим здесь смену воззрений и возрождение старых точек зрения. В философии математики мы не достигаем последних пределов, как и в развитии самой математики.

Философия и проблема обоснования математики

Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов, а именно к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий, составляющих фундамент математической науки, прежде всего таких теорий, как арифметика и теория множеств.

Эти вопросы были в центре внимания логиков и философов на протяжении всего последнего столетия. Хотя окончательное решение проблемы обоснования до сих пор не достигнуто, несомненно, имеется существенное продвижение в смысле более глубокого ее понимания и разработки средств, которые могут быть использованы для решения.

На вопрос о том, являются ли математические доказательства строгими, должен быть дан отрицательный ответ, если мы имеем в виду теории на стадии их становления, т.е. на стадии формирования понятий и логи ки рассуждения. Этот вопрос, однако, становится более трудным, если мы имеем в виду хорошо развитые математические теории, в которых выявлена система необходимых посылок и нет сомнений в характере используемых логических средств. Математик, конечно, не сомневается в том, что основные доказательства алгебры и элементарной геометрии безупречны. Их трудно поставить под сомнение хотя бы потому, что они образуют логически связанную систему положений и сомнение в надежности одного из них ставит под вопрос существование теории в целом. Но можем ли мы все-таки обосновать полную надежность какого-либо конкретного доказательства? Трудность положительного ответа на этот вопрос заключается в том, что рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости и т.д. Это значит, что мы должны получить заключение о строгости доказательства не на основе математического доказательства, а из некоторых содержательных соображений, обладающих полной надежностью. Но могут ли существовать содержательные и одновременно безусловно строгие рассуждения? Подавляющее число логиков и философов сомневаются в совместимости этих требовании.

Длительная неопределенность в положительном решении вопроса по будила многих философов защищать противоположную идею, а именно настаивать на принципиальной нестрогости любого математического доказательства. Именно в этом плане И. Лакатос защищал положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Очевидно, что Лакатос исходит из эмпирического взгляда на формирование математических понятий. Никакое понятие, по его мнению, не свободно от интуиции опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической теории. Сточки зрения априористской теории познания эти заключения, конечно, не будут законными. Исходные понятия математики, данные в аподиктической очевидности, не могут содержать дефектов, и математическое доказательство, сведенное к системе аподиктически очевидных шагов, должно быть признано в качестве абсолютно надежного. Необходимо сделать выбор между этими двумя подходами. Это значит, что проблема строгости математических доказательств может быть решена только при прояс нении природы элементарных очевидиостей. лежащих в его основе. Она сводится, таким образом, к необходимости выбора между эмпиризмом и априоризмом как общими философскими воззрениями на природу математических понятий. Надо признать, что в настоящее время мы пока не имеем аргументации, позволяющей сделать здесь однозначный выбор или некоторым образом примирить диаметрально противоположные подходы.

Обоснование математики в плане обоснования непротиворечивости математических теорий имеет аналогичные трудности. Эта проблема, как известно, была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Парадоксы по ставили перед математиками две задачи. Первая из них состояла в том, чтобы найти общие причины этого явлении и указать минимальные ограничения для логики математических рассуждений, которые были бы достаточными для устранения парадоксов. Вторая, более широкая задача состояла в том, чтобы сформулировать общие требования к математической теории, гарантирующие ее непротиворечивость. Первую задачу можно считать решенной. Уже в самом начале обсуждения проблемы Б. Рас сел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы. Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций. Но являются ли эти ограничения достаточными для устранения любых парадоксов, в том числе и тех, которые могут появиться в будущем. Проведенные исследования пока не позволяют утвердительно ответить на этот вопрос, и есть основания считать, что при такой общей постановке проблема является неразрешимой.

В начале XX в. были намечены три программы обоснования математики: логицизм, интуиционизм и формализм. Программа логицизма была сформулирована немецким математиком и философом Г. Фреге еще до по явления парадоксов. Суть этой программы состояла в том, чтобы свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин. Поскольку классическая логика базируется на простой и предельно ясной системе понятий, то, согласно Фреге, мы имеем основания предполагать ее абсолютную непротиворечивость. При принятии этого допущения редукция математической теории к логике может рассматриваться как строгое доказательство ее абсолютной непротиворечивости. А. Уайтхед и Б. Рассел в своем фундаментальном труде « Principia Mathematical » предприняли попытку систематического анализа основных математических теорий в плане их редукции к логике. Общий вывод состоял в том, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такая редукция может быть осуществлена для всех основных математических теорий. Однако К. Гедель в своей знаменитой статье «О неразрешимых предложениях «Principia Mathematica» и родственных систем» (1931) показал, что почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Отсюда следует, что использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления, поскольку они удовлетворяют требованию семантической полноты, в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты. В настоящее время признано, что исследования Геделя показали бесперспективность логицизма как программы обоснования математики.

Программа интуиционизма, родоначальником которой является Л. Брауэр, ставила задачу редукции математики к исходным представлениям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиции сознания. При этом Брауэр существенно ограничил обычную логику математического рассуждения, изъян из нее закон исключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода. В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывали любое утвердительное суждение об объекте с его предъявлением в качестве конструкции. Понятие актуального бесконечного множества полностью исключаюсь из математики как противоречивое по своей сущности. Все допустимые математические объекты, по мысли Брауэра, должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними. В пределах возможностей такою рода конструктивной перестройки математики она, считал Брауэр, является абсолютно гарантированной от противоречий.

Многие математики были согласны с Брауэром в том, что конструктивная математика сама по себе не может содержать противоречий и что если бы Брауэру удалось свести к арифметике достаточно широкую область математики, то вопрос о ее обосновании был бы решен положительно. Этого, однако, не удалось сделать. Сам Брауэр вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению. Последователи Брауэра построили интуиционистский анализ и интуиционистскую теорию множеств, но эта деятельность, будучи интересной и продуктивной в математическом плане, очевидно, не решала проблемы обоснования классической математики, которая является наиболее значимой для приложений. Интуиционистская программа обоснования математики оказалась, таким образом, несостоятельной вследствие своей узости.

Наиболее обоснованной теоретически была формалистская программа, предложенная Д. Гильбертом. Мы можем понять сущность программы Гильберта из его отношения к исследованиям Рассела и Браузра. Гильберт считал, что обоснование математики, предложенное Расселом, не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, которые могут быть поняты только как некоторого рола гипотезы. Он был категорически не со гласен с подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики. Вместе с тем он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута толь ко через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории. Гильберт, как это признано, взял у логистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Отрицая интуиционизм как способ обоснования математики, он соглашался с Брауэром в том, что закон исключенного третьего неприменим к математическим утверждениям, связанным с бесконечностью. Как и Брауэр, он считал, что истинность математического суждения относительно бесконечного множества предметов не может быть проверена а вследствие этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключенного третье го, не может быть применена к нему в качестве безусловной истины.

Исходя из этого положения, Гильберт сформулирует принцип фини-тизма, согласно которому оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное. Финитизм Гильберта, однако, не столь радикален, как финитизм Брауэра: если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще как понятие, не имеющее смысла, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех пределах, в которых оно допускает финитное обоснование.

Процедура обоснования математики, согласованная с этими общими установками, предполагает полную формализацию теории, заключающуюся в представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания строчек символов. Математическая теория тем самым превращается в объект, подчиненный чисто внешним (формальным) манипуляциям, основанным исключительно на структуре ее формул. В плане классификации очевидностей можно сказать, что формализация представляет собой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности.

Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования (принцип индукции и т.п.), допустимые для действий в рамках формализованной теории.

Целью формалистского анализа, как и всякого другого обосновательного рассуждения, являются, конечно, реальные математические теории, различающиеся по своему содержанию и методу. Специфика формалистского полкола состоит в том, что заключение о непротиворечивости реальной математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога. Формалистское обоснование покоится на допущении, что непротиворечивость формализма, будучи доказанной, гарантирует полную надежность содержательной теории.

Успех формалистского обоснования обеспечивается, очевидно, надежностью метатеоретического доказательства. Гильберт формулирует ряд требований к метатеории, которые известны как принципы гильбертовского финитизма. Они могут быть сведены к положениям, согласно которым метатеория является:

1) синтаксической в том смысле, что она имеет дело только со знаковой структурой теории и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре. Строгое метатеоретическое обоснование непротиворечивости теории — это обоснование, апеллирующее только к синтаксису теории и не использующее никаких допущений о содержании ее понятий;

2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формальному предмету;

3) финитной, ибо она не имеет дела с операциями с бесконечными
множествами и с математическими принципами, связанными с допущением актуальной бесконечности;

4) конструктивной в том смысле, что всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках должно быть подтверждено процедурой его построения.

Легко видеть, что все эти требования являются необходимыми для метатеории с точки зрения понятия строгости, сформировавшегося в начале века под влиянием логицистского и интуиционистского анализа проблемы.

Гильберт также считал, что метатеория должна включать в себя только математически определенные понятия. Речь идет здесь о требовании, которое пол учило в дальнейшем название принципа отделения оснований от философии. Это положение означает, что выделение принципов метатеории должно совершаться только на основе математических критериев. Гильберт отождествляет априорность с финитностью и формулирует требование финитности в качестве основного критерия для метатеории. Мотив этой замены ясен: требование финитности является математическим и предположительно более определенным, чем философское понятие априорности. Гильберт не допускает в рамках метатеории принципов и терминов философского характера, не имеюших адекватного математического представления.

Программа Гильберта была поставлена пол сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теория не противоречива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории. Иными словами, мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики. Ясно, что это противоречит исходному замыслу Гильберта, который надеялся обосновать сложные математические теории некоторыми достаточно простыми средствами, включенными в метатеорию.

Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще. Многие современные математики и философы склонны считать, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования, которая подтверждает их достаточную надежность в различных областях науки и техники. В этом случае мы должны признать, что математика, как и другие науки, обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности. Существуют, однако, и другие, более оптимистичные концепции обоснования, предполагающие возможность новых подходов к обоснованию непротиворечивости математических теорий, которые не связаны с трудностями классических программ.

Один из возможных подходов состоит в гносеологической реабилитации логических средств, запрещенных в рассмотренных программах обоснования математики. В гильбертовской программе обоснования, как мы это видим, все зависит от дедуктивных возможностей метатеории, которая ограничена определенной системой требований. Но в какой мере являются оправданными эти требования? Современные исследования все с большей определенностью приводят нас к выводу, что эти требования могут быть существенно смягчены без ущерба для строгости метатеоретического рассуждения. Одним из требований к мета теоретическому рассуждению является требование конструктивности, которое сводится к недопущению в системе логических норм закона исключенного третьего и классического (нефинитного) истолкования квантора общности. Логические исследования, проведенные в течение последнего столетия, свидетельствуют, однако, о полной надежности классической логики. Здесь достаточно напомнить об исследованиях А. Н. Колмогорова, которые показывают, что теории, использующие закон исключенного третьего, могут быть переведены в систему рассуждений, не опирающуюся на этот закон. Об этом же говорит и теорема Гёделя, согласно которой классическая арифметика является столь же непротиворечивой, как и арифметика интуиционистская. С точки зрения этих и многих других результатов представляется правомерным вывод о полной надежности классической логики и о неправомерности брауэровскрой критики закона исключенного третьего. Но если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуиционистская критика, то мы можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности метаязыка, которые представляются действительно существенными. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оправданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств.

⇐ Предыдущая 20 21 22 23 242526 27 28 29 Следующая ⇒