Первый признак равенства треугольников.

Билет №1.

Точка, прямая, отрезок.

Простейшими фигурами в геометрии являются точка и прямая, они не имеют определения, но их можно описать. Точка - след от прикосновения острозаточенного карандаша на бумаге, а прямая - ровная линия без начала и конца.(показать на рисунке) Следующие за ними фигуры определяются уже через них. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками, включает в себя граничные точки. (показать на рисунке) Точки могут принадлежать прямой, а могут и не принадлежать ей (показать на рисунке). Из трех точек на прямой, одна всегда лежит между двумя другими.

Существует утверждение: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Две прямые на плоскости: 1) могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку; 2) могут не пересекаться, то есть не иметь общих точек (показать на рисунке)

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

DАВС и DА₁В₁С₁

АВ= А₁В₁

ВС= В₁С₁

Ð В=Ð В₁

Доказать:

DАВС = DА₁В₁С₁

Доказательство

1. Мысленно наложим DА₁В₁С₁ на DАВС, так чтобы вершина В₁ совместилась с вершиной В.

2. Так как Ð В=Ð В₁⇒ они при наложении совпадут.(так как равные фигуры при наложении совпадают)

3. Так как АВ= А₁В₁ ⇒ т.В совпадет с т.В₁.

4. Так как ВС= В₁С₁ ⇒ т.С совпадет с т.С₁.

5. Отрезок ВС совместится с отрезком В₁С₁ (так как через две точки проходит только одна прямая)

6. Таким образом, DАВС совместится с DА₁В₁С₁ и значит DАВС = DА₁В₁С₁ (ч.т.д.)

Билет №2.

Луч, дополнительные лучи, плоскость и полуплоскость.

Луч, это часть прямой ограниченная одной точкой. (показать на рисунке). Дополнительные лучи, это лучи, исходящие из одной точки и составляющие вместе прямую. (показать на рисунке). Плоскость одно из неопределяемых понятий геометрии, описательно: ровная поверхность, не имеющая края.

Полуплоскость – это часть плоскости, ограниченная прямой. Относительно прямой, разбивающей плоскость на две полуплоскости, точки могут лежать в одной полуплоскости, а могут лежать в разных полуплоскостях(показать на рисунке).

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

DАВС и DА₁В₁С₁

АВ= А₁В₁

Ð А=Ð А₁

Ð В=Ð В₁

Доказать:

DАВС = DА₁В₁С₁

Доказательство

1. Мысленно наложим DА₁В₁С₁ на DАВС, так чтобы вершина В₁ совместилась с вершиной В, сторона А₁В₁ с равной ей стороной АВ, а вершины С₁ и С лежали по одну сторону от прямой АВ.

2. Так как Ð В=Ð В₁⇒ сторона В₁С₁ наложится на луч ВС.

3. Так как ∠ А=Ð А₁⇒ сторона А₁С₁ наложится на луч АС.

4. Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒

т.С₁ совпадет с точкой С и ⇒ В₁С₁ совместится с ВС, а А₁С₁ совместится с АС.

5. Таким образом, DАВС совместится с DА₁В₁С₁ и значит DАВС = DА₁В₁С₁ (ч.т.д.)

Билет №3.

Угол, виды углов, биссектриса угла.

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. Точка называется вершиной угла, а лучи – сторонами угла. (показать на рисунке)

Виды углов: (каждый угол показать на рисунке)

Острый – градусная мера, которого больше нуля, но меньше 90⁰.

Прямой – градусная мера, которого равна 90⁰.

Тупой – градусная мера, которого больше 90⁰, но меньше 180⁰.

Развернутый – градусная мера, которого равна 180⁰.

Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла, и делящий его на два равных угла. (показать на рисунке)

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

DАВС и DА₁В₁С₁

АВ= А₁В₁

АС=А₁С₁

ВС=В₁С₁

Доказать:

DАВС = DА₁В₁С₁

Доказательство

1. Мысленно приложим DА₁В₁С₁ к DАВС, так чтобы сторона А₁В₁ совместилась с равной ей стороной АВ, а вершины С и С₁– оказались по разные стороны от прямой АВ.

2. Проведем СС₁ (см. рисунок)

3. Рассмотрим DСВС₁ – р/б (ВС=В₁С₁ – по условию)Þ Ð СС₁В=Ð С₁СВ (по свойству)

4. Рассмотрим DСАС₁ – р/б (АС=А₁С₁ – по условию)Þ Ð СС₁А=Ð С₁СА (по свойству)

5. Из 3 и 4 пункта получаем: : Ð АСВ = Ð АС₁В, так как Ð АСВ = Ð С₁СА + Ð С₁СВ, а Ð АС₁В = Ð АС₁С + Ð СС₁В

6. Рассмотрим DАВС₁ и DАВС: АС=А₁С₁ и ВС=В₁С₁ (по условию), Ð АСВ = Ð АС₁В (из п.5)Þ

DАВС = DАВС₁ (по первому признаку)

7. Таким образом, DАВС = DА₁В₁С₁ (ч.т.д.)

Билет №4.

Билет №5.

Билет №6.

Измерение отрезков и углов.

Отрезок – это часть прямой ограниченная двумя точками, включает в себя граничные точки.

- Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. (привести пример с рисунком)

- Равные отрезки имеют равные длины. (привести пример с рисунком)

- Меньший отрезок имеет меньшую длину. (привести пример с рисунком)

- Длина отрезка, на котором отмечена точка, равна сумме длин отрезков, на которые делит его эта точка.

(привести пример с рисунком)

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки.

- Углы измеряются в градусах.

- Равные углы имеют равные градусные меры. (привести пример с рисунком)

- Градусная мера меньшего угла меньше градусной меры большего угла. (привести пример с рисунком)

- Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. (привести пример с рисунком)

Билет №7.

Билет №8.

Билет №9.

Билет №10.

Равнобедренный треугольник.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием. (показать на рисунке)

Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(показать на рисунке)

Признак равнобедренного треугольника: Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. (показать на рисунке)

Теорема о высоте равнобедренного треугольника: Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. (показать на рисунке)

Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника:

1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. (показать на рисунке)

2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой. (показать на рисунке)

Билет №11.

Билет №12.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90⁰. Два другие – острые. Стороны образующие прямой угол называются катеты, а сторона, лежащая напротив прямого угла – гипотенуза (показать на рисунке)

Теоремы о прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. (показать на рисунке)

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы. (показать на рисунке)

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета равен 30°. (показать на рисунке)

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. (показать на рисунке)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. (показать на рисунке)

Билет №13.

Билет №14.

Свойство биссектрисы угла.

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Дано:

Ð ВАС - неразвернутый

АS – биссектриса

" MÎ АS

Доказать:

r(М, АВ)=r(М, АС)

Доказательство:

1. Проведем МК ^ АВ и МН ^ АС, тогда r(М, АВ)=МК, а r(М, АС)=МН

2. Рассмотрим DАКМ и DАНМ – прямоугольные (п.1): АМ – общая, Ð КАМ=Ð МАН (АS - биссектриса) Þ DАКМ = DАНМ (по гипотенузе и острому углу)

3. По утверждению о равных треугольниках из п.2 Þ МК = МН Þ r(М, АВ)=r(М, АС) (ч.т.д.)

Билет №15.

Билет №1.

Точка, прямая, отрезок.

Первый признак равенства треугольников.

Дано:

DАВС и DА₁В₁С₁

АВ= А₁В₁

ВС= В₁С₁

Ð В=Ð В₁

Доказать:

DАВС = DА₁В₁С₁

Доказательство

1. Мысленно наложим DА₁В₁С₁ на DАВС, так чтобы вершина В₁ совместилась с вершиной В.

2. Так как Ð В=Ð В₁⇒ они при наложении совпадут.(так как равные фигуры при наложении совпадают)

3. Так как АВ= А₁В₁ ⇒ т.В совпадет с т.В₁.

4. Так как ВС= В₁С₁ ⇒ т.С совпадет с т.С₁.

5. Отрезок ВС совместится с отрезком В₁С₁ (так как через две точки проходит только одна прямая)

6. Таким образом, DАВС совместится с DА₁В₁С₁ и значит DАВС = DА₁В₁С₁ (ч.т.д.)

Билет №2.

12 3 4 Следующая ⇒