Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.

 

Уравнение , (27)

где p и q – действительные числа, f(x) – известная непрерывная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянным коэффициентом.

Функция y=φ (x, C₁, C₂), удовлетворяющая уравнению (27) при любых значениях произвольных С₁ и С₂, называется его общим решением.

Решение уравнения (27), получающиеся из общего решения при конкретных значениях постоянных С₁ и С₂, называется частным решением уравнения (27).

Т.к. в функцию y=φ (x, C₁, C₂) входят две произвольные постоянные C₁ и C₂; то для выделения из общего решения уравнения (1) некоторого частного решения необходимо иметь два начальных условия: если х=х₀, то у=у₀, у′ = у′ ₀, то есть у(х₀)=у₀, у′ (х₀)= у′ ₀..

Для общего решения неоднородного уравнения (27) справедлива следующая теорема.

 

Теорема 8. Общее решение у_об.н. неоднородное уравнение (27) равно сумме общего решения у_одн соответствующего однородного уравнения и любого частного решения у_ч.н. данного неоднородного уравнения (27).

у_об.н.=у_одн+у_ч.н.

Согласно этой теореме для решения уравнения (27) вначале находится функция у_одн – решение однородного дифференциального уравнения

, (28)

где p, q – постоянные действительные числа.

Общее решение уравнения (28 находится с помощью характеристического уравнения.

k² +pk+q=0, (29)

которое получается из уравнения (28), если, сохраняя в нем коэффициенты p и q, заменить функцию у′ единицей, а все ее производные соответствующими степенями k.

При этом:

1) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (3) действительные и различные, то общее решение уравнения (2) выражается формулой

.

2) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (3) действительные и равные (k₁=k₂), то общее решение уравнения (2) выражается формулой

.

3) Если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (3) комплексные(k₁=α +β i, k₂= α -β i), то общее решение уравнения(2) есть:

.

Для некоторых специальных видов функции f(x) частное решение у_ч.н. уравнение можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части f(x) можно заранее указать вид частного решения у_ч.н., где неизвестны лишь числовые коэффициенты, в следующих простейших случаях.

I. f(x)=P_n(x), где P_n(x) – многочлен степени n.

В этом случае у_ч.н. есть многочлен Q_n(x) той же самой степени n, что и многочлен P_n(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения (3); если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r, то у_ч.н.=х^кQ_n(x).

II. f(x)=ae^mx (a, m – некоторые числа).

В этом случае у_ч.н.=Ае^mx, если число m не является корнем характеристического уравнения (3) и у_ч.н.=Аx^rе^mx, если число m является корнем характеристического уравнения кратности r.

Здесь А – подлежащий определению коэффициент.

 

III. f(x)=e^mx P_n(x), где P_n(x) – многочлен степени n.

В этом случае у_ч.н.=е^mxQ_n(x), если число m не является корнем характеристического уравнения и у_ч.н.=х^rе^mxQ_n(x), если число m является корнем характеристического уравнения кратности r. Здесь Q_n(x) – многочлен той же степени n, что и P_n(x).

Например: Q₀(x)=А;

Q₁(x)=Ах+В;

Q₂(x)=Ах²+Вх+С;

Q₃(x)=Ах³+Вх²+Сх+D; и т.д.

Коэффициенты А, В, С, D подлежат определению.

IV. f(x)=e^{α x}(acosβ x+bsinβ x). Тогда у_ч.н.=е^{α x}(Аcosβ x+Вsinβ x), если число α ±β i не является корнем характеристического уравнения и у_ч.н.=хе^{α x}(Аcosβ x+Вsinβ x), если число α ±β i является корнем характеристического уравнения.

Здесь А и В - подлежащие определению коэффициенты.

V. Правая часть уравнения (1) функция f(x) есть сумма указанных функций.

Тогда частное решение у_ч.н. этого уравнения есть сумма частных решений уравнений с той же левой частью, что и уравнение (1), а правые части этих уравнений есть каждое слагаемое правой части уравнения (1).

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=у₀, у′ (0)=у′ ₀.

а) y″ -2y′ +10y=6cos2x+4sin2х, y(0)=1, y′ (0)=6;

б) y″ -9y′ 8y=3x²+2x+1, y(0)=

Решение. а) Вначале находим общее решение однородного уравнения y″ -2y′ +10y=0; соответствующего данному неоднородному уравнению. Составим и решим его характеристическое уравнение.

k²-2k+10=0

D=4-4·1·10=-36< 0, значит, уравнение имеет два комплексно-сопряженных числа.

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения будет (согласно п.3).

у_одн=e^x(C₁cos3x+C₂sin3x).

Правая часть данного уравнения f(x)=6cos 2x+4sin2x, где по п. IV α =0, a=6, b=4, β =2 и числа α ±β i =±2i не является корнем характеристического уравнения.

Тогда частное решение данного неоднородного уравнения будет функция вида

у_ч.н.=е^0x(Аcos 2x+Вsin2x)= Аcos 2x+Вsin2x.

Найдем производные первого и второго порядка функции у_ч.н.:

y′ _ч.н.=-2Asin2x+2Bcos2x,

y″ _ч.н=-4Acos2x-4Bsin2x.

Представим у_ч.н, y′ _ч.н, y″ _ч.н в данное неоднородное уравнение:

-4Acos2x-4Bsin2x-2(_.-2Asin2x+2Bcos2x)+10(Аcos 2x+Вsin2x)= 6cos2x+4sin2x,

(6А-4В)cos 2x+(6B+4A)sin2x=6cos 2x+4sin2x, которое будет тождеством только при равенстве коэффициентов у подобных членов в обеих его частях:

Следовательно, у_ч.н=cos 2x и общее решение данного неоднородного уравнения будет:

у_об.н.=у_одн+у_ч.н.,

у_об.н= e^x(C₁cos3x+C₂sin3x)+ cos 2x

Используя начальные условия, найдем значения произвольных постоянных С₁ и С₂. Подставляя в общее решение заданные значения х=0, у=1 (первое начальное условие), получим 1= e⁰(C₁cos0+C₂sin0)+ cos 0 или 1=С₁+1, С₁=0.

Дифференцируем общее решение:

у′ = e^x(C₁cos3x+C₂sin3x)+ e^x(-3C₁sin3x+3C₂ cos3x)-2sin2x или

у′ = e^x((C₁+3C₂ )cos3x+(C₂-3C₁)sin3x)-2sin2x

Подставим в результат дифференцирования заданные значения х=0 и у′ =6 (второе начальное условие), получим второе уравнение с неизвестными С₁ и С₂:

6= e⁰((C₁+3C₂ )cos0+(C₂-3C₁)sin0)-2sin2x или С₁+3С₂=6.

Решая полученные уравнения как систему, найдем С₁=0 и С₂=2. Подставляя значения С₁=0, С₂=2 в общее решение, получим искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

у=2е^хsin3x+cos2x.

б) Составим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному

Его характеристическое уравнение k² -6k+8=0 имеет корни k₁=2, k₂=4, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет

у_одн=C₁е^2х+С₂е^4х.

Теперь находим частное решение у_ч.н. данного неоднородного уравнения. Для правой части данного уравнения f(x)=3x²+2x+1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому у_ч.н. есть многочлен той же степени, что и f(x), т.е. многочлен второй степени у_ч.н.=Ах²+Вх+С. Отсюда, дифференцируя, находим у′ _ч.н.=2Ах+В, у″ _ч.н.=2А и подставляя у_ч.н., у′ _ч.н. и у″ _ч.н. в данное уравнение, получим равенство

2А-6(2Ах+В)+8(Ах²+Вх+С)=3х²+2х+1,

2А-12Ах+6В+8Ах²+8Вх+8С=3х²+2х+1,

8Ах²+(8В-12А)х+(8С-6В+2А)=3х²+2х+1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из обеих его частей, а только при этом условии оно будет тождественным, получим систему:

Следовательно, у_ч.н.=С₁е^2х+С₂е^4х+ или

у_ч.н.=С₁е^2х+С₂е^4х+ (24х²+52х+41).

Используя начальные условия, найдем значения произвольных постоянных С₁ и С₂. Подставляя в общее решение первое начальное условие (х=0, у= ) получим

С₁+С₂+ = , С₁+С₂=1.

Дифференцируя общее решение

у′ =2С₁е^2х+4С₂е^4х+ (48х+52).

и подставляя в результат второе начальное условие(х=0, у′ = ) получим второе уравнение с неизвестными С₁ и С₂.

2 С₁+4С₂+ = , 2 С₁+4С₂=0, С₁+2С₂=0.

Решив полученные уравнения как систему, найдем С₁ и С₂:

Подставляя значения С₁=2, С₂=-1 в общее решение получим искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

у=2е^2х-е^4х+ (24х²+52х+41).

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анализ общего качества уравнения регрессии.
2. Введение в упражнения по разрушению привычного распорядка дня
3. Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки
4. Выполнение расчетов. Формулы и уравнения
5. Геометрическая и энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
6. Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
7. Графический метод интегрирования уравнения движения (метод пропорций)
8. Дать анализ уравнения тягового баланса трактора.
9. Две линии бригад составляли центр боевого порядка шведской армии, а многочисленная кавалерия размещалась на его флангах вперемежку с небольшим числом мушкетеров.
10. Действия уполномоченных должностных лиц ОАО «РЖД» по обеспечению установленного порядка расследования несчастных случаев
11. Дифференциальные каналы передачи сигнала
12. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости