ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

РЕЗЮМЕ

Тема дипломной работы

«Анализ НМ-сети с разнотипными заявками в нестационарном режиме и ее применение(на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»)»

Работа содержит: 47 страницы, 32 рисунков, 4 таблиц, 4 использованных источника литературы.

Ключевые слова: сеть массового обслуживания, НМ-сеть, оптимизация доходов, диффузионная аппроксимация.

Цель дипломной работы – нахождение вероятностно-временных характеристик функционирования стохастической модели обработки заявок клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем» и нахождения оптимального числа сотрудников подразделений максимизирующего доход предприятия.

Объектом исследования является процесс обработки заявок на выполнение работ от клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Предметом исследования является стохастическая модель процесса обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

В работе были использованы следующие методы: массового обслуживания и случайных процессов, диффузионная аппроксимация, методы оптимизации.

SUMMARY

The theme of the diploma work

" HM-network analysis with heterogeneous applications in the transient regime and its application (for example, UE " Design Institute Grodnogiprozem" "

The work contains 47 pages, 32 drawings, 4 tables, 4 used literature sources.

Keywords: queuing network, HM-network revenue optimization, diffusion approximation.

The aim of diploma work - finding likelihood-time characteristics of the functioning of the processing of applications of stochastic models of customers in UE " Project Institute Grodnogiprozem" and finding the optimal number of staff units of maximizing the income of the enterprise.

The object of research is the processing of applications for performance of work from customers in UE " Project Institute Grodnogiprozem".

The subject of study is a stochastic model applications in the processing of UP " Project Institute Grodnogiprozem".

In this work the following methods were used: queuing, and stochastic processes, diffusion approximation, optimization methods.
СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. 5

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.. 7

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СЕТЕВОЙ ВЕРОЯТНОСТНОЙ МОДЕЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАЯВОК В УП «ПРОЕКТНЫЙ ИНСТИТУТ ГРОДНОГИПРОЗЕМ». 9

1.1. Описание предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем». 9

1.2. Построение системы ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети. 10

1.3 Приведение системы дифференцированных уравнений для заданной вероятностной модели предприятия. 19

1.4. Нахождение среднего относительного числа заявок на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем». 24

ГЛАВА 2. НАХОЖДЕНИЕ ОЖИДАЕМОГО ДОХОДА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ СЕТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ДОХОДЫ ОТ ПЕРЕХОДОВ ЗАЯВОК МЕЖДУ СИСТЕМАМИ СЕТИ ЯВЛЯЮТСЯ СВ С ЗАДАННЫМИ МОМЕНТАМИ ПЕРВЫХ ДВУХ ПОРЯДКОВ.. 39

2.1. Нахождение ожидаемых доходов в системах. 39

2.2. Нахождение ожидаемых доходов в УП «Проектный институт Гродногипрозем» 43

ГЛАВА 3. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УП «ПРОЕКТНЫЙ ИНСТИТУТ ГРОДНОГИПРОЗЕМ». 49

3.1. Постановка оптимизационной задачи для УП «Проектный институт Гродногипрозем». 49

3.2. Решение оптимизационной задачи на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем». 50

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 51

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 52

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Моделирование – один из наиболее распространенных методов исследования процессов функционирования сложных систем. Известно достаточно большое количество методов построения математических моделей и средств реализации моделирующих алгоритмов. Наиболее распространенными из них являются системы (СМО) и сети массового обслуживания. Основным понятием теории массового обслуживания (теории очередей) является СМО. В терминах СМО описываются многие реальные системы в областях производства, бытового обслуживания, экономики и вычислительной техники.

Также система массового обслуживания включает в себя потоки заявок (требований), поступающие на ее вход в случайные моменты времени. Под заявкой понимают запрос на удовлетворение определенной потребности, например, оплата счетов, медицинская консультация, обработка запроса пользователя, разгрузку автомобиля или железнодорожного эшелона и т.д.

В первой главе построена сетевая вероятностная модель обработки запросов клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем». Составлена система ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети построенной модели. Представлена программная реализация решения построенной ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети. Приведены примеры.

Во второй главе представлено нахождение ожидаемый суммарный доход такой сети для случая, когда доходы от переходов заявок между системами сети являются СВ с заданными моментами первых двух порядок для предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем».

В третьей главе представлен пример решения задачи оптимального числа линий обслуживаний в системах сети при максимальном доходе сети в целом.

Для достижения цели решаются следующие задачи:

1) Построение сетевой вероятностной модели обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем». Построение систем ОДУ для вероятностей состояний и среднего относительного числа заявок в системах сети;

2) Найти ожидаемый суммарный доход такой сети для случая, когда доходы от переходов заявок между системами сети являются СВ с заданными моментами первых двух порядков.

3) Нахождение оптимального числа линий обслуживаний в системах сети при максимальном доходе сети в целом.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект и предмет исследования

Объектом исследования является процесс обработки заявок на выполнение работ от клиентов в УП «Проектный институт Гродногипрозем». Предметом исследования является стохастическая модель процесса обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Цель и задачи исследования

Для достижения цели были поставлены задачи:

3) Нахождение оптимального числа линий обслуживаний в системах сети при максимальном доходе сети в целом.

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Стохастическая модель УП «Проектный институт Гродногипрозем»;

2. Постановка и решение оптимизационной задачи для нахождения числа сотрудников УП «Проектный институт Гродногипрозем»;

3. Программное приложение для УП «Проектный институт Гродногипрозем»

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СЕТЕВОЙ ВЕРОЯТНОСТНОЙ МОДЕЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАЯВОК В УП «ПРОЕКТНЫЙ ИНСТИТУТ ГРОДНОГИПРОЗЕМ»

Рис.1.1. Модель обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Допустим, что заявка типа требуемой обслуживания, . Таким образом, в течение определенного интервала времени с требованиями по обслуживанию могут обращаться заявки заявка типа . Вначале все заявки поступают в систему , которыми занимается сотрудников. Заявки клиентов могут находиться в одном из следующих состояний: ― заявка не подается, ― заявка находится на стадии рассмотрения, ― заявка находится на стадии выполнения. Переход заявки типа из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, независимо от того в каком состоянии находятся другие заявки, и независимо от времени, таким образом, что вероятность перехода на интервале времени равна , где - интенсивность такого перехода. Можно предположить, что интенсивность является кусочно-постоянной функцией от времени с четырмя интервалами постоянства на отрезке времени :

где считаем, что это количество недель за год. Так же учитывается время года: интенсивность потока заявок может быть различной взависимости от времени года. Будем предполагать, что наша система в некоторый момент находится в состоянии

если в этот момент заявка типа находится в состояние , ― общее число заявок, находящихся в состоянии тогда - число заявок в состоянии

Пусть, кроме того, ― относительное число линий обслуживания заявки, , ― относительное число заявок, , а среднее относительное число заявок, требующих обслуживания в каждой системе, .

Как указано выше, вероятностной моделью описанного выше обслуживания предприятия может служить замкнутая сеть массового обслуживания, состоящая из систем обслуживания с числом линий обслуживания соответственно и вероятностями перехода заявок ; в сети обслуживаются заявок типа ; дисциплины обслуживания заявок в системах сети – FIFO. Для решения поставленной задачи необходимо, прежде всего, найти вектор среднего относительного числа единиц заявок, находящегося в состоянии в момент времени : Пусть интенсивность обслуживания заявок в каждой линии системы . Состояние сети описывается вектором где число заявок находящихся в момент времени в системе .[1]

Обозначим через - вектор с единицей на ом месте. Очевидно, что . Случайный процесс является марковским с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, поскольку времена обслуживания заявок в системах сети распределены по показательному закону. Возможны следующие переходы в состояние за время для этого процесса:

из состояния с вероятностью

;

из состояния с вероятностью

из остальных состояний с вероятностью .

Тогда, используя формулу полной вероятности, можно записать систему разностных уравнений:

Переходя к пределу при , получим систему разностно-дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний,

которая может быть представлена в виде

(1.1)

Решение этой системы в аналитическом виде в общем случае затруднительно. В связи с этим рассмотрим важный случай большого числа исков, когда . Чтобы найти распределения вероятностей случайного вектора удобно перейти к относительным переменным, рассматривая вектор В этом случае возможные значения этого вектора при фиксированном принадлежат ограниченному замкнутому множеству

в котором они располагаются в узлах мерной решетки на расстоянии друг от друга. При увеличении " плотность заполнения" множества возможными компонентами рассматриваемого вектора увеличивается и становится возможным считать, что он имеет непрерывное распределение с плотностью вероятностей где имеет смысл плотности вероятностей случайного вектора .

Обозначим через вектор с компонентами равными нулю за исключением ой,

Заметим, что

(1.2)

(1.3)

Переписывая систему уравнений (1.1) для плотности , получим

(1.4)

где Представим правую часть этой системы уравнений с точностью до членов порядка малости Если дважды дифференцируема по , то справедливы соотношения

Использую и то, что , систему уравнений (1.4) можно преобразовать к виду:

Введем следующие функции [2]

Тогда система уравнений (1.7) имеет вид

Таким образом, плотность удовлетворяет с точностью до членов порядка системе уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка. Отсюда следует, что математические ожидания с точностью определяются из системы уравнений

(1.5)

Правые части уравнений (1.5) являются кусочно-линейными функциями. Определим явную форму уравнений (1.5) в областях линейности их правых частей. Пусть множество индексов компонент вектора Разобьем на два непересекающихся множества и следующим образом.

При фиксированном число разбиений такого рода равно Каждое разбиение будет задавать в множестве непересекающиеся области такие, что

Теперь можно записать систему уравнений (1.5) в явной форме для каждой из областей :

, (1.6)

где

В общем случае система уравнений (1.6) в области записывается в виде

С учетом того, что , , и , остальные , то она примет вид

Решение последней системы при произвольном затруднительно

Рис.1.2. Модель обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Где система ― приемная. Обработка поступающих заявок.

Система ― производственный отдел №1.Обслуживаются заявки, поступившие из Гродненского, Щучинского, Берестовикого района.

Система ― производственный отдел №2. Обработка заявок, поступивших из Волковыского, Свислочского, Мостовского района.

Система ― производственный отдел №3. Обработка заявок, поступивших из Слонимского, Зельвенского, Дятловского района.

Система ― производственный отдел №4. Обслуживаются заявки, поступившие из Лидского, Вороновского, Ивьевского, Новогрудского района.

Система ― производственный отдел №5. Обслуживаются заявки, поступившие из Сморгонского, Островецкого, Ошмянского, Корелического района.

Система ― расчетно-сметная группа. В обязанности входит: составление сметы работы, заключение договора с клиентом.

В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Под заявкой в системах будем понимать заявление на услугу предприятия. В системе под заявкой понимается договор заключенный с предприятием и клиентом на оказание услуг предприятия. Под СМО понимаются отделы предприятия, оказывающие услуги населению.

Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями описанная в главе 1 пункт 1.2 примет вид:

(1.7)

Определим явную форму уравнений (1.7) в областях линейности их правых частей, тогда приходим к системе (1.6), при :

где Здесь непересекающиеся множества индексов компонент вектора

Причем при фиксированном число всевозможных разбиений множества индексов компонент этого вектора равно Система (1.7) решается в каждой из областей разбиения фазового пространства:

и т.д.

Для нахождения среднего относительного числа заявок необходимо рассмотреть систему (1.7) в области , где она примет вид при :

(1.8)

Исследуем, работу предприятия на интервале времени . Предположим, что интенсивности поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описываются функциями вида:

(1.9)

На интервале времени система уравнений (1.8) превращается в систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1.10)

Следовательно, на интервале вид системы ДУ аналогичен (1.10), если заменить в ней на Для интервала вид системы ДУ будет аналогичен (1.10), если заменить в ней на Аналогичным образом поступаем и для интервала в ДУ (1.10) заменяем на

Решение системы (1.10) с начальным условием производится в программе Wolfram Mathematica 7.0.

Для того чтобы система (1.10) находилась в области на интервале , необходимо выполнение неравенств:

(1.11)

При изменении интенсивности в момент времени возможны следующие случаи:

1) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

2) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

3) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

4) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

5) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

6) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

Для решения поставленной задачи (1.10) на интервале , когда система остается в области . Система уравнений в этом случае будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

Осталось рассмотреть решение задачи (1.10) на интервале , когда система останется в области . Система будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

Решение системы производится в программе Wolfram Mathematica 7.0.

1.4. Нахождение среднего относительного числа заявок на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

В предприятие поступило за год заявок от физических лиц за 2015 год. В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Функционирование предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем» описывается следующими параметрами:

Исследуя работу предприятия за год, интенсивность поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описывается функцией вида (1.9):

На интервале рассматривается работа предприятия за осенний период. За интервал времени берем работу предприятия на зимний период. На интервале рассматривается работа предприятия за весенний период, а под интервалом рассмотрим работу за летний период. Найдем среднее относительное число заявок в области . Для решения системы (1.10) найдем линию обслуживания

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1.3-1.9:

Рис. 1.3. График функции

Рис. 1.4. График функции

Рис. 1.5. График функции

Рис. 1.6. График функции

Рис. 1.7. График функции

Рис. 1.8. График функции

Рис. 1.9. График функции

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1.10-1.16:

Рис. 1.10. График функции

Рис. 1.11. График функции

Рис. 1.12. График функции

Рис. 1.13. График функции

Рис. 1.14. График функции

Рис. 1.15. График функции

Рис. 1.16. График функции

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1.17-1.23:

Рис. 1.17. График функции

Рис. 1.18. График функции

Рис. 1.19. График функции

Рис. 1.20. График функции

Рис. 1.21. График функции

Рис. 1.22. График функции

Рис. 1.23. График функции

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1.24-1.30:

Рис. 1.24. График функции

Рис. 1.25. График функции

Рис. 1.26. График функции

Рис. 1.27. График функции

Рис. 1.28. График функции

Рис. 1.29. График функции

Рис. 1.30. График функции

Таблица 2.1

Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	55.08	61.03	21.56	75.09	68.68
1 заявка млн. бел. руб	1.05	1.08	1.13	1.074	1.08

Используя данные, представленные в табл. 2.1 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела при начальных на интервале времени .

Рис. 2.1. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.2

Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	54.78	72.64	26.98	66.22	64.07
1 заявка млн. бел. руб	1.25	1.2	1.2	1.16	1.18

Используя данные, представленные в табл. 2.2 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .

Рис. 2.2. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.3

Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	70.4	82.998	35.24	74.65	62.29
1 заявка млн. бел. руб	1.08	1.1	1.13	1.08	1.13

Используя данные, представленные в табл. 2.3 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .

Рис. 2.3. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.4

Средний доход предприятия за

	Производственный отдел №1	Производственный отдел №2	Производственный отдел №3	Производственный отдел №4	Производственный отдел №5
Неделя, млн. бел. руб	71.55	72.34	25.73	83.91	68.56
1 заявка млн. бел. руб	1.02	1.04	1.06	1.07	1.05

Используя данные, представленные в табл. 2.4 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .

12 3 4 Следующая ⇒