Простейшие формы адаптивных ожиданий

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

Простейшая форма закона формирования адаптивных ожиданий описывается моделью статических ( или наивных) ожиданий. Мы говорим, что ожидания носят статический характер, если прогноз, который экономический агент строит в момент времени t относительно темпов инфляции, которые будут наблюдаться в момент времени t + 1, совпадает с тем темпом инфляции, который наблюдается в нынешнем периоде, т.е. в периоде t. Формально это положение можно записать в следующем виде:

(20.1)

Обозначение означает «прогноз значения величины p в периоде t + 1, сделанный в период t”. Его называют оператором ожиданий.

Статические ожидания представляют собой наиболее простую форму закона формирования адаптивных ожиданий. Их наивность, выраженную в ожидании повтора темпа инфляции, можно трактовать и как убежденность экономических агентов в существовании устойчивого тренда, вдоль которого происходит развитие экономической ситуации. Если этот тренд действительно четко выражен, то подобная наивность не так уж бессмысленна: при вполне устойчивом темпе инфляции статические ожидания, очевидно, будут давать разумный и вполне точный прогноз. Если же темп инфляции меняется, то ошибка статических ожиданий уже не может устраивать экономических агентов, и при построении прогнозов должны использоваться более сложные методы.

Предположим, что темп инфляции меняется и модель статических ожиданий следует подвергнуть корректировке. На сколько нужно изменить «наивный» прогноз, чтобы он более соответствовал реальности? Логично допустить, что прогноз зависит не только от того, каков темп инфляции сегодня, но и от того, как изменился темп инфляции со вчера на сегодня. Зная изменение темпа инфляции в прошлом и его прошлое значение, можно рассчитать новое значение темпа инфляции. Для этого достаточно допустить, что новое изменение темпа инфляции будет пропорционально предыдущему. Такой закон формирования адаптивных ожиданий может быть записан следующим образом:

(20.2)

Это означает, что ожидания, которые строятся в момент времени t на момент времени t + 1, представляют собой темп инфляции, наблюдаемый в момент времени t, скорректированный на скорость изменения инфляции между моментом времени t – 1 и моментом времени t. Эта корректировка осуществляется с определенным коэффициентом Q, который можно назвать коэффициентом адаптации . Иными словами, этот закон формирования ожиданий гласит, что ожидаемое изменение темпа инфляции прямо пропорционально последнему фактическому его изменению:

(20.3)

Коэффициент Q показывает, в какой степени ожидания населения адаптируются к прошлым изменениям прогнозируемой переменной. В нашем примере Q отражает мнение населения относительно того, насколько вероятно сохранение постоянной скорости изменения инфляции. Коэффициент адаптации в пределах 0< Q < 1 означает уверенность экономических субъектов в том, что темп инфляции в следующем периоде будет расти медленнее, чем в предыдущем. Если , значит, экономические агенты в будущем ожидают ускорения инфляции по сравнению с предыдущим периодом. Q = 1 соответствует ожиданиям равномерного ускорения инфляции, и лишь при Q = 0 люди ожидают стабильного темпа роста цен, и модель обращается в модель статических ожиданий.

Отрицательный коэффициент адаптации тоже имеет свой смысл: он означает, что экономические агенты твердо убеждены в том, что ускорявшаяся инфляция замедлится или превратится в дефляцию, а замедлявшаяся инфляция, наоборот, ускорится. Подобной логикой мы пользовались в модели резких колебаний валютного курса: при резких отклонениях наблюдаемой переменной от ее трендового значения вполне разумно ожидать следующего изменения в обратном направлении, т.е. по направлению к трендовому значению. Чем же задается трендовое значение для темпа инфляции? Конечно же, средним значением инфляции за несколько прошедших периодов! Именно об этом и говорит уравнение (20.2), переписанное в виде:

(20.4)

В такой записи закон формирования ожиданий гласит, что будущий темп инфляции должен оказаться взвешенным средним, рассчитанным по последним наблюдениям. Заметьте, что для того, чтобы все весовые коэффициенты в уравнении (20.4) были положительными, необходимо, чтобы коэффициент Q был отрицательным (но не меньше –1). Это и соответствует тому, что закон взвешенного среднего предполагает сохранение темпа инфляции на трендовом уровне, прогнозируя возврат темпов инфляции к тренду после резких отклонений от него.

Закон взвешенного среднего

Применяя метод взвешенного среднего в теории адаптивных ожиданий, обычно предполагают, что для любой пары последовательных периодов вес (значимость) предыдущего периода меньше, чем вес последующего. Другими словами, чем более удален от сегодняшнего дня рассматриваемый период в прошлом, тем меньший вес будет приписываться величине инфляции в этом периоде. Это вполне соответствует логике рассуждения людей при формировании инфляционных ожиданий. В самом деле, разумно предположить, что причины, вызвавшие ускорение инфляции в предыдущем месяце с высокой вероятностью будут продолжать действовать и в следующем. Поэтому фактическое значение темпа инфляции в течение месяца, непосредственно предшествующего нынешнему, будет входить в прогноз будущей инфляции с большим весом. А вот если речь идет о темпах инфляции, имевших место десять лет назад, то трудно представить, чтобы причины, обусловливавшие динамику инфляции в столь давнее время, продолжали в значительной степени влиять на сегодняшний темп инфляции. Поэтому величина инфляции десятилетней давности будет учитываться в текущем прогнозе с очень незначительным весом.

В общем виде формула для прогнозирования будущего темпа инфляции на основе взвешенного среднего выглядит следующим образом:

(20.5)

Коэффициенты a_i в этой формуле по-прежнему описывают «доверие» экономических агентов к имеющейся информации, они определяют степень адаптации ожиданий к темпам инфляции, наблюдавшимся в прошлом. Значения этих коэффициентов (в общем случае именуемых просто весами ) должны удовлетворять двум условиям:

1. , если i < j. Это условие и означает возрастание веса по мере приближения к настоящему периоду и убывание веса по мере удаления в прошлое. Мы не требуем строгого неравенства, т.к. допускаем, что значимость двух «соседних» периодов может оказаться равной.

2. . Сумма весовых коэффициентов равна единице. В противном случае полученный нами показатель уже не будет являться взвешенным средним. Заметьте, что это условие неявно означает, что все периоды «старше» N (т.е. еще более удаленные во времени), оказываются для нас совершенно незначимыми, т.к. их вес следует признать равным нулю (иначе нарушится условие единичной суммы весов).

Для более точной формулировки закона формирования ожиданий по принципу взвешенного среднего следует определить весовые коэффициенты в уравнении (20.5). Для этого мы должны выбрать их таким образом, чтобы выполнялись оба приведенных выше условия, т.е. монотонное убывание весов с удалением в прошлое и единичная сумма всех весов.

1 способ. Предположим, что весовые коэффициенты линейно убывают в зависимости от порядкового номера периода, т.е. в зависимости от числа периодов, отделяющих текущий момент от момента, характеризуемого конкретным весовым коэффициентом.Графически эту закономерность можно изобразить так: (рис. 20.1):

Рисунок 20.1. Графическая интерпретация линейно убывающих весовых коэффициентов. По мере увеличения i, т.е. по мере продвижения из настоящего в прошлое, веса, с которыми фактические темпы инфляции входят в прогноз будущего темпа инфляции, убывают. Теоретически это убывание является бесконечным; на практике же после определенного периода N веса становятся настолько малы, что информацию о темпах инфляции всех периодов до N включительно можно считать незначимой для формирования сегодняшних ожиданий.

Считальный зал

Вывод формулы весовых коэффициентов для закона взвешенного среднего с линейным убыванием весов

На рис. 20.1 видно, что коэффициенты будут принимать положительные значения до некоторого номера N. А начиная с номера N принимают нулевые значения, то есть для всех . Остается лишь определить на отрезке [0, N ] линейную функцию так, чтобы значения весовых коэффициентов убывали и чтобы общая сумма этих N коэффициентов была равна 1. В общем виде линейная зависимость выглядит следующим образом:

Два последовательных значения весовых коэффициентов оказываются в этом случае связаны друг с другом соотношением

Вспомним, что если каждое последующее значение становится на какую-то величину меньше предыдущего, то мы имеем дело с убывающей арифметической прогрессией. В нашей арифметической прогрессии ровно ( N + 1) членов, по числу весовых коэффициентов в уравнении (20.5). Из того, что в точке i = N линейная функция пересекает ось абсцисс, следует, что и . Первый член прогрессии имеет номер i = 0 и потому . Каждый член этой прогрессии может быть представлен в виде . Сумма членов арифметической прогрессии равна

Для того чтобы выполнить второе условие, т.е. сделать сумму весовых коэффициентов равной единице, разделим все члены полученной прогрессии на . Каждый член новой (нормированной) прогрессии будет в этом случае задаваться формулой:

Определив весовые коэффициенты правилом

(20.6)

мы добьемся выполнения обоих условий, указанных выше. Во-первых, такие весовые коэффициенты убывают с ростом порядкового номера i, т.е. с удалением от настоящего периода t в прошлое. Во-вторых, сумма всех ( N + 1) коэффициентов окажется равной единице:

(20.7)

После того, как значения весовых коэффициентов заданы, закон формирования ожиданий оказывается определен с точностью до числа периодов, которые население принимает во внимание при построении ожиданий. Заметьте, что по построению последний коэффициент оказывается равным нулю, т.е. момент времени, отстоящий от текущего на N периодов назад в прошлое, уже оказывается незначимым. Если значимых периодов два, т.е. N = 2, то весовые коэффициенты должны принимать значения и , а вес (значимость) периода, предшествовавшего предыдущему, окажется равным нулю: .

Как же определить, сколько последних периодов будут учитывать люди при построении ожиданий на будущее? Чем ограничено их число? Назначив какое-либо конкретное значение N, мы наложим существенное ограничение на поведение индивидуумов и их способности принимать решения. Проще всего было бы предположить, что люди в состоянии оценивать произвольно много периодов. В этом случае если совсем давние периоды окажутся незначимыми, то это отразится нулевым (или близким к нулю) значением весового коэффициента. Линейное убывание коэффициентов не может породить бесконечно много ненулевых весов, да и кроме того предположение о линейном убывании коэффициентов пренебрегает тем фактом, что разница в значимости между двумя последними периодами существенно выше, чем разница в значимости между двумя почти забытыми очень давними периодами. И правда, при прогнозировании инфляции нам практически все равно, какой она была 10 лет или 11 лет назад. А вот разница между темпом инфляции полугодовой и годичной давности более существенна. Чтобы учесть это обстоятельство, мы вынуждены предположить убывание весов по более сложному закону.

2 способ моделирования весов в рамках модели взвешенного среднего сводится к предположению о нелинейном убывании весов. Мы сможем добиться того, что вес даже очень давних периодов окажется все еще не равным нулю (хотя, быть может, и близким к нулю), если предположим, что вес каждого последующего периода в какое-то число раз меньше предыдущего. Такое правило в точности соответствует определению бесконечной убывающей геометрической прогрессии, и если определить член прогрессии в виде

(20.8)

где , то сумма всех членов такой убывающей прогрессии окажется равной единице, что удовлетворит обоим условиям, накладываемым на весовые коэффициенты.

Считальный зал

Вывод формулы весовых коэффициентов для закона взвешенного среднего с экспоненциальным убыванием весов

Выберем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с произвольным знаменателем так, что каждый член прогрессии задан формулой . Очевидно, что с ростом индекса i, будет убывать значение коэффициента q. Сумма этой прогрессии равна

Остается лишь повторить операцию нормирования, как в случае арифметической прогрессии, уменьшив все члены прогрессии пропорционально в раз. Первый член новой прогрессии в этом случае будет равен , а i- й – . Сумма членов новой прогрессии равна

Теперь число учитываемых периодов оказывается бесконечно большим, но значимыми будут лишь те, весовой коэффициент при которых существенно отличается от нуля. Заметим при этом, что значимость периода может оказаться небольшой, но если в течение него наблюдались высокие темпы инфляции, то они продолжают влиять на ожидания, формирующиеся сегодня. Если население страны прошло через период гиперинфляции, то память об этом долго еще будет сказываться на прогнозах! Даже если период гиперинфляции отстоит на 10 лет назад, дисконтирующий фактор обеспечит периоду десятилетней давности весовой коэффициент (значимость) , что при темпах инфляции десятилетней давности порядка 100% в год исказит сегодняшний прогноз на 2, 1%. Согласитесь, если за эти десять лет правительству удалось победить инфляцию, и сегодня ее темпы не превышают 5-6%, то искажение в 2, 1% - это уже довольно много!

Модель обучения на ошибках

Последняя из рассмотренных нами версий модели взвешенного среднего предусматривает неограниченное число периодов наблюдений. Значит ли это, что экономические агенты должны обладать неограниченной памятью? Станут ли они действительно оценивать будущий темп инфляции, вспоминая все значения, которые принимал фактический темп инфляции, начиная от Рождества Христова? Рассмотрим вариацию модели взвешенного среднего, в которой бесконечно большое число периодов наблюдений не требует помнить темп инфляции в каждом из них.

Инфляционные ожидания, которые строятся в период t на период ( t + 1) представим в виде закона взвешенного среднего:

(20.10)

Поскольку закон формирования ожиданий не меняется во времени, аналогичным способом строился прогноз в период ( t - 1) на период t: [1]

(20.11)

Домножая ряд (20.11) на l, мы получаем:

(20.12)

Обратите внимание, что все слагаемые ряда (20.10), начиная со второго, в точности совпадают со слагаемыми ряда (20.12). Этих слагаемых в обоих рядах бесконечное количество, и все они одинаковы. Вычтем уравнение (20.12) из уравнения (20.10) и сократим все эти одинаковые слагаемые:

(20.13)

Этим действием мы избавились от необходимости «помнить» бесконечное число периодов. Остается понять экономический смысл полученного выражения. Вычтем из обеих частей уравнения величину :

(20.14)

В левой части полученного уравнения значится корректировка ожиданий в периоде t по сравнению с ожиданиями, построенными в предыдущем периоде. Правая же часть уравнения прямо пропорциональна ошибке ожиданий (она обозначена нами через ERR), и потому это выражение часто называют поправкой на ошибку ожиданий:

(20.15)

Выражение в квадратных скобках, или ошибка ожиданий, представляет собой разницу между фактическим и прогнозным темпом инфляции и описывает, следовательно, ошибку прогноза, который мы сделали в период t – 1.

Само уравнение, таким образом, описывает изменение ожиданий в зависимости от допускаемой в каждом периоде ошибки: изменение (корректировка) прогноза прямо пропорционально допущенной ошибке. Коэффициент пропорциональности (1– l ) показывает, какая доля от ошибки предыдущего прогноза учитывается при построении прогноза сегодняшнего. Поэтому разумно было бы назвать (1– l ) коэффициентом учета информации о прошлой ошибке, или просто коэффициентом учета информации.

Такая модель получила название модели обучения на ошибках. Она была предложена Филиппом Кейгеном[2] в 1956 году и является одной из самых популярных моделей теории адаптивных ожиданий. Главный вывод, который делает Кейген из своей модели, звучит так: ожидаемый темп инфляции пересматривается пропорционально разнице между ее реальным и ожидаемым значениями в прошлом[3].

Действительно, если в текущем периоде t темп инфляции оказался недооценен, т.е. p_t > E_t_-1(p_t), то ожидания на периоде t+1 будут пересмотрены в сторону повышения по сравнению с ожиданиями на период t. Напротив, если в периоде t фактический темп инфляции оказался ниже ожидаемого p_t < E_t_-1(p_t), то ожидаемый темп инфляции сократится по сравнению с его текущим уровнем. И только в том случае, если в периоде t прогноз оказался безошибочным, p_t = E_t_-1(p_t), оснований для пересмотра ожиданий не возникает.

**************Читальный зал № 1*****************

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒