Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала

В общем случае:

j'(x)dx=dj(x)

Вопрос 3.

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и vопределяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример 1

Вычислить интеграл

. Решение. Используем формулу интегрирования по частям

. Пусть

. Тогда

Следовательно,

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида

, где — рациональная функция.

Такие интегралы всегда рационализируются подстановкой . В самом деле,

Выразим далее переменную через переменную . Так как

, то , а поэтому .

Значит

Таким образом, задача свелась к вычислению интеграла от рациональной функции. Поскольку подстановка — позволяет рационализировать любой интеграл вида , то её называют универсальной подстановкой. Любой интеграл этого вида выражается через элементарные функции.

Вопрос 4.

Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции

, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

Вычислить интегралы от простейших дробей.

Пример 1

Вычислить интеграл

. Решение. Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.

Получаем

Интегрирование иррациональных функций

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей

используется подстановка

. Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме

, где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида

, интегрируется с помощью подстановки

Найти интеграл .

Решение.

Сделаем подстановку:

Вычислим интеграл

Вопрос 5.

Физический смысл:

1) если задана скорость как функция от времени, то путь за время Т равен интегралу от скорости по времени;

2) если задано ускорение как функция от времени, то изменение скорости равно интегралу от ускорения по времени;

Геометрический смысл: если функция y(x) больше нуля на промежутке [a; b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, равна интегралу от этой функции по переменной х на данном промежутке.

Вопрос 6.

Основные свойства определенного интеграла

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a, b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a, b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β ], Тогда если a = g (α ), b = g (β ), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒