Алгоритм обработки результатов ПФЭ

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Рассмотрим порядок обработки результатов ПФЭ на примере трехфакторной задачи с тремя сериями параллельных опытов (m=3). Матрица базисных функций, результаты наблюдений и рандомизации сводятся в табл. 5.2.

Математическая обработка результатов ПФЭ проводится методом регрессионного анализа в следующем порядке:

1. Подсчитывается среднее значение отклика в каждом из N (в данном случае N=8) опытов по m параллельным (m=3)

(5.3)

2. Проверяется воспроизводимость эксперимента. Необходимо проверить гипотезу о равенстве ряда генеральных дисперсий

Таблица 5.2 Обработка результатов ПФЭ

Если в результате проверки гипотеза Но (5.4) отвергается, то эксперимент не воспроизводим, т. е. нарушается одна из предпосылок регрессионного анализа.

Для проверки подобной гипотезы рассчитываются оценки дисперсий для всех N опытов

(5.5)
Так как число степеней свободы у всех оценок одинаково, то для проверки выдвинутой гипотезы можно использовать критерий Кохрена. Расчетное значение критерия Кохрена будет равно

(5.6)

Расчетное значение критерия Кохрена сравнивается с критическим, которое находится по таблице для заданного уровня значимости q, числа степеней свободы выборочных дисперсии и числа опытов N. Если критическое значение критерия Кохрена G_g( , N) будет больше расчетного значения G, то гипотеза Но (2.4) не отвергается (эксперимент воспроизводим). В этом случае все выборочные дисперсии являются оценками одной и той же генеральной дисперсии воспроизводимости . Следовательно, можно объединить все выборочные дисперсии в одну оценку, называемую обобщенной дисперсией воспроизводимости

(5.7)

число степеней свободы которой

3. Производиться оценка коэффициентов регрессии. Поскольку ПФЭ является ортогональным планом, то для нахождения оценок коэффициентов регрессии нет необходимости решать систему нормальных уравнений. Формулы для нахождения оценок коэффициентов регрессии будут очень простыми. Любой коэффициент регрессии при ПФЭ находится как скалярное произведение столбца матрицы базисных функций соответствующей переменной на столбец средних наблюдений, деленное на скалярное произведение этого же столбца матрицы базисных функций на самого себя. Для рассматриваемого случая ПФЭ 2³ (см. табл. 5.2) оценки коэффициентов (например, b₀, b₁, b₂₃) определяются по следующим формулам:

В общем случае оценки находятся по формулам

Аналогично вычисляются оценки коэффициентов при взаимодействиях факторов более высокого порядка.

4. Проверяется значимость коэффициентов регрессионного уравнения. Найденные оценки коэффициентов регрессии b₀, b_i, b_if, b_ifg, ... являются случайными величинами и тогда, когда истинные коэффициенты β ₀, β _i, β _if, β _ifg, … равны нулю, могут отличаться от нуля. Так как ПФЭ — ортогональный план, то оценки коэффициентов регрессии независимы друг от друга. Следовательно, доверительные интервалы можно устанавливать для каждого коэффициента отдельно, независимо друг от друга. Доверительные интервалы строятся с помощью t-критерия Стьюдента. Для каждой оценки b_j рассчитывается критерий

гдеS{b_j} —выборочное значение среднего квадратичного отклонения оценки b_j.

Для нахождения значения S{b_j} необходимо рассчитать оценку дисперсии среднего σ ² { }

где — обобщенная оценка дисперсии воспроизводимости (5.7). Зная оценку дисперсии среднего, можно определить оценку дисперсии каждого коэффициента регрессии

Таким образом, критерий Стьюдента для каждого коэффициента будет равен

(5.8)

Выборочное значение t_j необходимо сопоставить с критическим значением критерия Стьюдента для заданного уровня значимости q и числа степеней свободы ν =N(т—1), которое находится по таблице (см. Приложение, табл. 1). Если выборочное значение критерия Стьюдента t_j для некоторого коэффициента регрессии b_i будет больше табличного t_q(ν ), то соответствующий коэффициент признается значимым. Если же некоторая оценка b_j, признается незначимой, то это означает, что соответствующий теоретический коэффициент β _j равен нулю, и оценку b_j необходимо исключить из регрессионного уравнения. Так как ПФЭ — ортогональный план, то при исключении некоторого незначимого коэффициента из уравнения остальные коэффициенты не пересчитываются.

Причины статистической незначимости коэффициентов регрессии:

соответствующий данному коэффициенту фактор не имеет функциональной связи с откликом;

базовая точка планирования находится в точке частного экстремума по j-y фактору и приводит к тому, что β _j =0 (коэффициенты β _j имеют смысл частных производных отклика по соответствующему фактору);

выбран слишком маленький шаг варьирования в условиях большой ошибки наблюдения, обусловленной влиянием неконтролируемых факторов.

5. Проверяется адекватность модели. В этом случае проверяется гипотеза об адекватности выбранной модели функции отклика

(5.9)

Для проверки этой гипотезы необходимо сопоставить две оценки дисперсий: среднюю S² и остаточную

(5.10)

где — предсказанное по модели значение отклика в опыте g;

d — число оценок коэффициентов регрессионного уравнения после отбрасывания незначимых.

Число степеней свободы остаточной дисперсии равно

ν R=N-d. (5.11)

Чтобы сравнить две дисперсии и S² воспользуемся критерием Фишера

(5.12)

Расчетное значение критерия Фишера сравнивается с критическим для заданного уровня значимости q и числа степеней свободы ν _R и ν =N(т—1). Если расчетное значение критерия Фишера Р не превышает критического, то гипотеза об однородности и S² и, следовательно, гипотеза об адекватности модели функции отклика не отвергаются. Если же гипотеза об адекватности отвергается, то необходимо либо уменьшить шаги варьирования, чтобы в пределах меньшей области добиться адекватности, либо перейти к более сложному виду регрессионной модели.

После проверки адекватности модели обработку результатов можно считать законченной.

Полученную таким образом модель исследуемого объекта можно использовать для предсказания величины отклика в той части факторного пространства, где был реализован эксперимент.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒