Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде: , где многочлен, а правильная рациональная дробь.

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители:

, где многочлены не имеют действительных корней.

3. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

где - неопределенные коэффициенты, которые надо найти.

4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.

5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях .

6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.

7. Подставим найденные коэффициенты в разложение дроби.

8. Проинтегрируем простейшие дроби.

 

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 13. = ;

− это неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель.

-

-

Тогда , где - целая часть дроби,

- правильная рациональная дробь, знаменатель которой разлагается на множители: .

Корни знаменателя: , а не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

.

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

.Приравнивая числители обеих дробей, получим уравнение: 2= .

Пусть , тогда 2=2 . Коэффициенты найдем из системы:

Откуда .

Тогда = = =

Пример 14. .

– правильная дробь. Разложим знаменатель на простейшие сомножители, получим: .

Корни знаменателя: - кратности 2 и – простые корни.

Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:

.

Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:

.

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Откуда , , .

Чтобы найти коэффициент составим уравнение, приравнивая коэффициенты при слева и справа в тождестве.

Получим уравнение: Откуда .

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.

I.

− рациональная функция от и . Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции от универсальной тригонометрической подстановкой:

, .

Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.

Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.

II. .

Где и – целые положительные числа. Если и – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,

, .

Пример 15.

=

=

 

III. Если одно из чисел или – нечетное, или и – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену (или ) – .

 

Пример 16.

= = = .

 

Пример 17. .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку: , , , .

;

Разложим дробь на простейшие ;

 

Откуда .

 

Найдем коэффициенты разложения из системы:

.

Проинтегрируем: =

.

 

IV. Если и – дробные либо целые (отрицательные) числа и – целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка , ,

или , , .

Пример 18. ;

т.к. четное отрицательное число.

Используем подстановку , , , ;

=

V. Интегралы вида , , где > , > 0 вычисляются при помощи подстановки , и , .

 

Пример 19.

=

;

- .

VI. Интегралы вид

где , – действительные числа.

 

Напомним известные тригонометрические формулы:

;

;

.

Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.

Пример 20. =

= .

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. АДАПТАЦИЯ И ОПИСАНИЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АЛГОРИТМОВ
2. Алгоритм выполнения чертежей с использованием
3. Алгоритм вычисления ошибки косвенных измерений
4. Алгоритм К внутригрупповых средних.
5. Алгоритм кратчайшей раскраски графа
6. Алгоритм метода проекции градиента
7. Алгоритм обработки и анализа данных
8. Алгоритм обработки результатов ПФЭ
9. Алгоритм обучение перцептрона
10. Алгоритм оказания неотложной помощи
11. Алгоритм подбора состава тяжелого бетона.