Методы построения математических моделей второго порядка

Рассмотрим планы, позволяющие получить модель в виде полинома второго порядка

Для получения модели второго порядка факторы необходимо варьировать по крайней мере на трех уровнях. Кроме уровней —1 и +1 можно использовать базовый уровень. Значит, для получения модели второго порядка можно использовать ПФЭ типа Зⁿ. Для двух факторов спектр плана ПФЭ типа З² приведен в табл. 5.3.

Таблица 5.3

ПФЭ типа 3²

g	x₁	x₂	x²₁	x²₂	x₁x₂
	-1	-1	+1	+1	+1
		-1		+1
	+1	-1	+1	+1	-1
	-1		+1

	+1		+1
	-1	+1	+1	+1	-1
		+1		+1
	+1	+1	+1	+1	+1

Однако на практике планы ПФЭ 3ⁿ используют крайне редко из-за их громоздкости. Например, для получения модели второго порядка от шести факторов с помощью ПФЭ типа 3ⁿ необходимо провести 729 опытов, что неприемлемо. Проведение ПФЭ типа 3ⁿ и обработка результатов наблюдений осуществляются так же, как и при ПФЭ типа 2ⁿ.

2.5.1. Центральное композиционное планирование

Центральный композиционный план (ЦКП) состоит из трех композиций:

1. «Ядро» плана. В качестве «ядра» композиционного плана используются планы для линейных моделей типа 2ⁿ или 2ⁿ^-р.

2. «Звездные» точки с координатами (± , 0, … 0), (0, ± , 0, ..., 0)... (0, 0, ..., ± . Количество «звездных» точек 2 п.

3. Центральные точки с координатами (0, 0, ..., 0). Количество центральных точек N₀.

Общее число точек спектра композиционного плана, таким образом, равно

N=2ⁿ+2n+N₀. (5.22)

В ЦКП каждый фактор варьируется на пяти уровнях: —1, 0, +1, - , + . Для получения модели объекта в виде полинома второго порядка необходимо оценить

(5.23)

коэффициентов регрессии. Число опытов при ЦКП N (5.22) чем число коэффициентов регрессии k. (5.23).

ЦКП будет оптимальным в том случае, если координаты «звездных» точек и число центральных точек Nо выбираются с учетом критериев оптимальности.

2.5.2. Ортогональное центральное композиционное планирование

Поставим себе цель построить ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП) Для этого необходимо, чтобы матрица базисных функций ЦКП была ортогональной, т. е. необходимо выбрать и N0 таким образом, чтобы любые два столбца матрицы базисных функций (табл. 5.4) были взаимоортогональны.

Линейные столбцы и столбцы взаимодействий в матрице ОЦКП (см. табл. 5.4) ортогональны любым другим столбцам при любых значениях и N0. Для квадратичных столбцов требование ортогональности не выполняется. Наблюдается неортогональность двух родов. Неортогональность между столбцами свободного члена модели и квадратичными столбцами (неортогональность первого рода):

(5.24)

и неортогональность между квадратичными столбцами (неортогональность второго рода):

(5.25)

Число центральных точек на условие ортогональности не влияет, поэтому можно принять N0=1.

Таблица 5.4.

п—р\

Неортогональность первого рода (5.24) устраняет введением новых квадратичных переменных

(5.26)

где

Так как средний квадрат одинаков для любого столбца x0 и столбца новой квадратичной переменной :

Таким образом, неортогональность первого рода устранена путем введения новых переменных. Для устранения неортогональности второго рода (5.25) составим уравнение

(5.27)

Решая уравнение (2.27) при заданном n, можно найти оптимальное (с точки зрения ортогональности) значение . Некоторые значения координат «звездных» точек (или «звездное» плечо) приведены в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Параметры ОЦКП второго порядка

Размерность, n
Ядро плана	2^2	2^3	2^4	2^(5-1)	2^(6-1)	2^(7-1)	2^(8-2)
N
		1, 215	1, 414	1, 547	1, 722	1, 885	2, 001

Так как в качестве «ядра» ОЦКП можно использовать дробный план, то в общем случае

Проведение ОЦКП на реальном объекте ничем не отличается от проведения ПФЭ, а обработка результатов наблюдений имеет некоторые особенности. Матрица Фишера плана ОЦКП будет диагональной, поэтому оценки коэффициентов регрессии вычисляются просто, причем они будут независимы друг от друга. Однако, хотя оценки коэффициентов регрессии находятся по тем же правилам, что и при ПФЭ, знаменатель в формулах для оценок будет различным для разных групп оценок. Следовательно, дисперсии оценок коэффициентов также будут различными для разных групп оценок. Алгоритм обработки результатов ОЦКП следующий:

1. Проверка воспроизводимости эксперимента. Проверка воспроизводимости производится так же, как при ПФЭ.

2.Оценка коэффициентов регрессии. Оценки коэффициентов регрессии вычисляются следующим образом:

где — среднее из т параллельных наблюдений в опыте g.

3. Проверка значимости оценок коэффициентов регрессии. Необходимо рассчитать дисперсии оценок коэффициентов для различных трупп оценок

где S0 —обобщенная оценка дисперсии воспроизводимости [см. формулу (5.7)];

N—число точек спектра плана ОЦКП;

т — число параллельных опытов;

а — «звездное» плечо. Затем для каждой оценки вычислить критерий Стьюдента

Если расчетное значение tj для некоторой оценки bj будет больше табличного значения tq(ν ) для заданного уровня значимости q и соответствующего числа степеней свободы v, то эта оценка признается значимой. В противном случае оценка признается незначимой и не включается в уравнение регрессии. Так как ОЦКП—ортогональный план, то все оценки независимы. Следовательно, при отбрасывании незначимых остальные коэффициенты не пересчитываются.

Итак, после отбрасывания незначимых коэффициентов получим модель вида

Последнее уравнение регрессии является уравнением относительно искомых факторов.

4. Проверка адекватности регрессионной модели. Проверка адекватности модели функции отклика проводится так же, как при ПФЭ [см. формулы (5.9)—(5.12)].

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒