Определение факторов, влияющих на параметр оптимизации

Порсев А.А.

Тема 1.

Рекомендации к постановке задач исследования систем управления с помощью математических моделей

Предварительное изучение объекта исследования

Исследованию любой системы должно предшествовать предварительное изучение предполагаемого объекта с целью получения информации, необходимой для постановки задачи.

Современный подход к проведению исследований предполагает, что для отыскания оптимального решения задачи надо в первую очередь правильно ее поставить. Задача должна быть сформулирована так, чтобы ее решение можно было вести в условиях наиболее эффективного применения методов планирования эксперимента. Для правильной постановки задачи нужно предварительно четко сформулировать цель исследований, изучить и проанализировать известную априорную информацию об объекте оптимизации.

Цель исследования можно определить, если установлен объект оптимизации, известны требования, предъявляемые к нему, и существуют некоторые ресурсы оптимизации (воздействия, которые могут изменять качество объекта в соответствии с изменением требований к нему). При этом важно учитывать данные научно-технического прогнозирования.

Сбор априорной информации осуществляется путем изучения литературы и опроса экспертов. При этом необходимо собрать и оценить возможно более полным образом всю информацию, касающуюся решения таких же или сходных задач и имеющую значение для выбора дальнейшей стратегии.

Накапливаемую априорную информацию следует систематизировать в соответствии с представлением объекта исследования на этом этапе в виде так называемого “черного” или “серого” ящика (рис. 3.1). Принципы построения модели “черного” или “серого” ящика обычно соответствуют представлениям об объекте исследования при решении сложных многофакторных задач в условиях неполного знания механизма явлений.

Входы, обозначенные стрелками, направленными к объекту, соответствуют факторам, воздействующим на объект исследования.

Такие факторы будем называть входными. Выходы, которые обозначены стрелками, направленными от объекта, соответствуют факторам, характеризующим качество объекта исследований. Эти факторы принято называть откликами или параметрами оптимизации. Понятие “параметр оптимизации” иногда заменяют понятием “целевая функция”.

Входные факторы делятся на три группы: управляемые, контролируемые и возмущающие.

Объект исследования

Рис. 3.1. Модель объекта исследований на стадии постановки задачи

Группа управляемых факторов …, характеризует те управляющие воздействия, при помощи которых можно воздействовать на объект с целью изменения значений критериев оптимизации (управления состоянием объекта оптимизации). Например, если объект — технологический процесс, то группу факторов Zпредставляют положения регулирующих заслонок, управляющих расходом, температурой и т. д. Значения управляемых факторов лимитируются технологическими ограничениями:

Контролируемые (и неуправляемые) факторы …, измеряют в процессе исследования, их не изменяют целенаправленно (обычно возможность воздействия на них отсутствует). Для технологического процесса, например, группа факторов Х объединяет факторы, характеризующие количество и качество исходных продуктов. Последние представляют собой первичное сырье или продукцию предыдущего звена технологической цепи. К этой группе факторов относятся данные лабораторных испытаний, результаты химических анализов, показания аналитических приборов и т. д.

Значения каждого фактора ограничены технологическим регламентом процесса:

Возмущающие факторы …, — неконтролируемые, они недоступны для измерения, их значения изменяются во времени случайным образом. Для того же технологического процесса группа факторов W характеризует действия суточных и сезонных изменений окружающей среды, присутствие случайных примесей в исходных продуктах, старение оборудования и т. п., а также влияние тех переменных процесса, которые недоступны измерению. Наличие неконтролируемых факторов, медленно изменяющихся во времени, вызывает дрейф характеристик процесса.

Отклики …, образуют четвертую группу факторов. Для технологического процесса они характеризуют те обобщенные технико-экономические показатели, которыми оцениваются качество и экономическая эффективность работы объекта. Эти показатели являются определяющими для технологов при выборе технологического режима и управления объектом. Обычно задача управления сложным объектом формулируется следующим образом: в данной технологической ситуации, определяемой значениями факторов группы …, , найти такие значения факторов группы …, , лежащие внутри соответствующих ограничений, при которых отклики …, примут свои экстремальные значения или не выйдут за пределы заданного интервала (например, максимум выхода синтезируемого продукта или минимум его себестоимости при удовлетворительном качестве продукции).

Выбор параметра оптимизации

При постановке задачи исследования очень важно определить параметр, который нужно оптимизировать. Цель исследования должна быть чётко сформулирована. Параметр оптимизации, количественно характеризующий цель, является реакцией (откликом) на воздействие входных факторов.

В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть самые разнообразные: экономические (прибыль, себестоимость, рентабельность, затраты на исследование и др.), технико-экономические (производительность, стабильность, надежность и др.), технические (характеристики выпускаемой продукции, качество оказываемой услуги и др.).

Параметр оптимизации — это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным. Должна быть возможность его измерения при любой возможной комбинации входных факторов. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, назовем областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, объём продаж — это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может меняться в интервале от 0 до 100%. Число бракованных изделий в партии — параметр с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

Параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Иногда это получается естественным путем, как регистрация показания прибора, однако чаще приходится производить его вычисление.

Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы параметр оптимизации действительно оценивал эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле. Это требование является главным, определяющим корректность постановки задачи.

Параметр оптимизации должен обладать свойством универсальности и полноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать объект. В частности, технологические параметры оптимизации недостаточно универсальны: они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров.

Желательно, чтобы параметр оптимизации имел четкий физический смысл, был простым и легко вычисляемым. Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов эксперимента.

Задачи с одним выходным фактором имеют очевидные преимущества. Но на практике часто приходится учитывать несколько выходных факторов. Иногда их число может быть достаточно большим.

Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки зрения цели исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. Поэтому из многих выходных факторов выбирается один в качестве параметра оптимизации, а остальные служат ограничениями. Всегда полезно исследовать возможность уменьшения числа выходных факторов. Для этого можно воспользоваться корреляционным анализом. Если два выходных фактора имеют высокий коэффициент корреляции, то любой из этих двух факторов можно исключить из рассмотрения, как не содержащий дополнительной информации об объекте исследования. Исключить можно тот фактор, который технически труднее измерять, или тот, физический смысл которого менее ясен.

Путь к единому параметру оптимизации часто лежит через обобщение, т. е. через объединение множества откликов в единый количественный признак. Каждый отклик имеет свой физический смысл и свою размерность. Чтобы объединить различные отклики, прежде всего, приходится ввести для каждого из них некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых откликов — это делает их сравнимыми. Выбор шкалы—не простая задача, зависящая от априорных сведений об откликах, а также от той точности, с которой мы хотим определить обобщенный признак. После того, как для каждого отклика построена безразмерная шкала, возникает следующая трудность — выбор правила комбинирования исходных частных откликов в обобщенный показатель. Единого правила не существует.

Одним из наиболее удобных способов построения обобщенного откликаявляется обобщенная функция желательности Харингтона. В основе построения этой обобщенной функции лежит идея преобразования натуральных значений частных откликов в безразмерную шкалу желательности или предпочтительности. Обобщенная функция желательности задается как среднее геометрическое частных желательностей.

Тема 2.

Вопросы для самопроверки.

1. Как можно осуществить классификацию методов исследования систем управления?

2. Какие исследования называются количественными исследованиями, а какие — качественными?

3. Какие исследования называются комплексными исследованиями, а какие — частными?

4. Какие исследования относятся к прикладным научным исследованиям?

5. Какие исследования называются отчетными исследованиями?

6. Какие исследования называются контрольными исследованиями?

7. Когда используется сравнительное исследование систем управления?

8. Какую роль играет классификация методов исследования систем управления?

9. Что понимается под составом методов исследования систем управления?

10. Как осуществляется выбор метода исследования систем управления?

11. Какую математическую модель позволяет получить эксперимент типа ПФЭ?

12. Как проверить воспроизводимость эксперимента?

14. Как и для чего проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии?

15. С какой целью вычисляется критерий Фишера?

16. Какую математическую модель позволяет получить эксперимент типа ДФЭ?

17. Как построить матрицу ДФЭ?

18. Из каких блоков состоит матрица ОЦКП (ортогонального центрального композиционного планирования).

19. Какую математическую модель позволяет получить эксперимент типа ОЦКП?

20. Почему при построении модели второго порядка план ОЦКП предпочтительнее плана ПФЭ 3^n?

21. Недостатки пассивного эксперимента?

22. С какой целью рассчитываются авто- и взаимокорреляционная функции?

23. Как определить время квантования данных при проведении пассивного эксперимента?

24. Как определить необходимое количество опытов при пассивном эксперименте?

25. Зачем нужно использовать «время запаздывания» при сборе и обработке данных?

26. В каких случаях не удаётся построить математическую модель объёкта исследования при проведении пассивного эксперимента и как бороться с этой проблемой?

Тема 3.

Постановка задачи

Решение многих задач управления, проектирования, планирования в той или иной мере связано с оптимизацией, т.е. с нахождением наилучших в определенном смысле значений различных параметров. Для химического реактора, например, оптимизация означает выбор таких значений температуры, давления, расходов и концентраций компонентов реакции, при которых реакция будет протекать с максимальным выходом целевого продукта, либо продукция будет соответствовать определенным требованиям к качеству, либо, наконец, реакция будет протекать за минимальное время. Обычно задается некоторый критерий оптимизации (целевая функция) Y, зависящий от ряда управляемых факторов: .Тогда задача оптимизации сводится к отысканию таких значений компонентов вектора управляемых факторов , при которых целевая функция достигает экстремума. Функция

образует некоторую поверхность в n+1-мерном пространстве управляемых факторов и целевой функции Y. Эту поверхность обычно называют поверхностью отклика, а отдельные значения Y, соответствующие некоторой комбинации компонентов вектора , — просто откликом.

Целевые функции, такие, как производительность, прибыль, часто связаны с величинами, характеризующими качество продукции. Например, необходимо найти такой режим работы некоторого аппарата, при котором производительность его будет максимальной, а качество продукции — соответствовать требованиям стандартов. Здесь одна целевая функция, а именно: характеристика качества продукции выступает в роли ограничения. Такого вида ограничения называются функциональными, так как характеристика качества продукции, так же как и целевая функция (производительность), являются некоторыми функциями от вектора управляемых факторов . Кроме функциональных ограничений могут быть также и факторные, т. е. ограничения, накладываемые да одну, несколько или все составляющие вектора . Учитывая все вышесказанное, задачу оптимизации в самом общем виде можно записать следующим образом:

Y_jmin≤ Y_j≤ Y_jmax, j=1(1)m;

x_imin≤ x_i≤ x_imax, i=1(1)k, k≤ n.

В тех случаях, когда зависимость задана в аналитической форме, координаты оптимальной точки ( ) в факторном пространстве можно найти, решив систему дифференциальных уравнений вида

Такое решение задачи оптимизации возможно в том случае, если отсутствуют факторные и функциональные ограничения. Если решается задача отыскания оптимума при ограничениях, то используются методы математического программирования, либо задача поиска условного экстремума с помощью множителей Лагранжа сводится к задаче поиска безусловного экстремума.

Однако в большинстве практических случаев аналитическая зависимость Y(X) неизвестна, и исследователь располагает только возможностью наблюдать значения отклика при различных комбинациях управляемых факторов . При этом процедура измерения наблюдаемого значения отклика предоставляет собой сумму истинного значения отклика и случайной ошибки опыта ε .

У=М{У}+ε.

Для решения задачи оптимизации используют два принципиально различных подхода:

1 Оптимальные условия определяют с помощью математической модели объекта. Для этого вначале каким-либо образом находят математическую модель, а затем аналитическим или численным методом решают задачу оптимизации.

2. Экспериментальный поиск оптимальных условий осуществляют непосредственно на объекте без использования модели объекта.

Поисковые методы, или методы экспериментальной оптимизации, в отличие от аналитических требуют вначале локального изучения поверхности отклика по результатам ряда экспериментов, специально спланированных вблизи исходной точки. Точка спектра плана в этом случае выбирается, таким образом, который позволит организовать движение в направлении экстремума функции отклика. Экстремальное значение функции отклика достигается с помощью многократной последовательной процедуры изучения поверхности отклика и продвижения в факторном пространстве. Рассмотрим методы поиска максимума функции отклика (поиск минимума функции отклика ничем принципиально не отличается).

Все поисковые методы позволяют найти экстремум функции отклика в результате поэтапного движения. На каждом этапе реализуются две операции. Первая операция — исследование поверхности отклика в окрестности некоторой точки факторного пространства в целях определения направления движения к экстремуму функции отклика. Вторая операция — организация движения к экстремуму в выбранном направлении. Все методы поиска экстремума отличаются характером первой или второй операции.

Метод Гаусса—Зайделя

Метод Гаусса — Зайделя, или метод покоординатного поиска, является классическим методом поиска экстремума функции. Последовательное движение к экстремуму осуществляют путем поочередного варьирования каждым трактором до достижения частного экстремума функции отклика. При этом все остальные факторы стабилизируют на некоторых уровнях. Достигнув частного экстремума по последнему фактору Хп, переходят к варьированию первым Х1. Направление движения по каждой из координат факторного пространства определяют путем постановки в окрестности исходной точки двух пробных опытов с координатами (Хi - дельта Хi) и (Хi + дельта Хi). Движение осуществляется в том направлении, в котором наблюдается большое значение отклика. Идея метода Гаусса — Зайделя может быть показана на примере двухфакторной задачи (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Движение к оптимуму методом Гаусса—Зайделя (цифрами обозначены линии равного уровня поверхности отклика в некоторых относительных единицах)

При использовании метода Гаусса — Зайделя для оптимизации двухфакторного процесса последовательность операций следующая:

1. Определяется начальная точка Х1 движения к экстремуму функции отклика. В качестве начальной точки выбирается наилучшая из известных рабочих точек.

2. Задается шаг варьирования дельта Хi, по каждому управляемому фактору Хi (i = 1, 2).

3. Для определения направления движения первого рабочего цикла (по координате Х1 совершается два пробных опыта с центром в начальной точке, т. е. совершаются два пробных шага в точки в которых производится по одному измерению отклика у.

4. Сравниваются значения отклика в пробных точках и формируется функция Sign(Y1 - Y2).

5. Осуществляется первый цикл рабочего движения (с тем же или большим шагом) в направлении возрастания уровня выхода Y(Х).

6. После каждого рабочего шага производится измерение значения отклика Y(Х).

7. Первый цикл рабочего движения прекращается по достижении в некоторой точке Хh частного экстремума функции отклика по соответствующей переменной. Движение к экстремуму в данном направлении прекращается, если выполняется неравенство

Уh+1 < Уh

8. Точка Хh является исходной для следующего цикла рабочего движения (по координате Х2). Из данной точки делаются два пробных шага в точки X1 = const

9. Движение вдоль координаты Х2 производится аналогично описанному выше.

10. По окончании второго цикла рабочего движения переходят к третьему (по координате Х1) и т. д.

Критерием окончания поиска оптимума методом Гаусса — Зайделя является неудачная попытка организовать движение из некоторой точки Хk, любое движение из которой приводит к уменьшению значения функции отклика. Данная точка принимается за точку максимума целевой функции, определенную с точностью до максимального шага варьирования дельта Хi.

Эффективность метода Гаусса — Зайделя существенно зависит от вида поверхности отклика и от выбора начальной точки поиска. Данный метод является классическим. Он позволяет, постепенно переходя от одной переменной к другой, при нахождении локального оптимума решать задачу экспериментальной оптимизации.

Однако с ростом числа переменных Хi эффективность метода снижается из-за роста числа опытов на поиск оптимума.

Метод градиента

При поиске оптимума (максимума) методом градиента движение осуществляется в направлении наиболее быстрого возрастания значения отклика, т. е. в направлении градиента функции отклика (целевой функции). Движение по градиенту производится на один шаг, пропорциональный вектору градиента. Направление движения корректируют после каждого рабочего шага, т. е. после каждого шага заново вычисляют значение вектора grad Y(Х) по результатам специально спланированных пробных экспериментов.

Так как компоненты вектора градиента есть не что иное, как коэффициенты при линейных членах разложения функции Y(Х) в ряд Тэйлора то степеням Xi (i = 1- n), то их можно получить как линейные коэффициенты регрессии

Grad Y(X) =b1*i1 + b2*i2 + … + bn*in

Для получения оценок линейных коэффициентов регрессии можно воспользоваться любым из известных методов экспериментального получения математической модели объекта. Например, можно реализовать ПФЭ и ДФЭ с центром в начальной точке поиска.

Поиск оптимума методом градиента выполняется по следующей схеме:

1. Задаются шаги варьирования дельта Xi, для всех управляемых факторов. Величина шага то каждому фактору выбирается из тех же соображений, что и при ПФЭ или ДФЭ.

2. Задается параметр рабочего шага лямбда. Рабочий шаг должен быть пропорционален вектору градиента.

3. В начальной точке поиска Х1, которая выбирается так же, как и в методе Гаусса — Зайделя, реализуется пробный эксперимент для определения направления первого рабочего шага.

4. По результатам пробного эксперимента вычисляется оценка вектора

Grad Y(X) =b1*i1 + b2*i2 + … + bn*in

5. Совершается рабочий шаг в направлении Grad Y(X).

6. В точке Х2 процедура определения направления дальнейшего движения к оптимуму полностью повторяется.

7. Поиск прекращается, когда модуль градиента у становится малой величиной, т. е. когда оценки коэффициентов регрессии становятся незначимыми.

Достигнутая точка принимается за абсолютный экстремум с точностью до величины последнего рабочего шага. Метод градиента более оптимален, чем метод Гаусса — Зайделя в смысле пути движения к оптимуму и в том смысле, что конечный шаг меньше начального (в методе Гаусса—Зайделя—постоянный).

Конечный шаг определяет точность нахождения оптимума.

Характер движения к оптимуму при использовании метода градиента показан на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Движение к оптимуму методом градиента

Для выбора параметра рабочего шага лямбда необходимо ориентироваться на физические и технологические ограничения, накладываемые на факторы. Параметр лямбда выбирают таким образом, чтобы до границы было сделано несколько шагов.

Эффективность метода снижается при работе исследователя в условиях больших погрешностях измерений факторов и с ростом числа самих факторов (более трёх).

Метод случайного поиска

Существует множество модификаций случайного поиска. Характерной особенностью случайного поиска является случайный выбор направления движения к экстремуму. Имеются алгоритмы случайного поиска, в которых информация, полученная на предыдущих этапах, используется для адаптации процедуры поиска, что позволяет повысить его эффективность. Рассмотрим один из наиболее простых методов случайного поиска. В этом методе рабочий шаг из некоторой точки Хh совершается после пробного эксперимента в точке

Хh+1 = Хh + p

гдеp - случайный вектор фиксированной длины

Отклики, полученные в точках Хh+1 и Хh, сравниваются, после чего совершается рабочий шаг в точку Хh+1 по направлению вектора p в сторону возрастания отклика. Длина рабочего шага лямбда выбирается большей или равной длине пробного шага р.

Алгоритм метода случайного поиска следующий:

1. Определяется начальная точка поиска Х1 которая выбирается на основе априорной информации и соответствует максимальному из известных значений отклика.

2. Определяются длины соответственно пробного р и рабочего лямбда шагов, причем р больше или равно лямбда.

3. Вычисляются компоненты лямбда1, лямбда2, … лямбда п случайного вектора p, определяющего направление пробного шага из начальной точки

Х1. Вектор лямбда представляет собой случайный вектор длиной р, равномерно распределенный на n-мерной сфере.

Указанный способ формирования случайного вектора не обеспечивает строго равномерного распределения его по окружности радиуса р, однако для практических задач такое приближение вполне достаточно.

4. Производится два пробных эксперимента в точках Х1 и Х1+ лямбда

5. Совершается рабочий шаг в направлении возрастания отклика

6. В точке Х2 повторяется процедура формирования случайного вектора p и совершается рабочий шаг в следующую точку.

Рис. 7.6. Движение к оптимуму методом случайного поиска

7. Критерием окончания поиска является возрастание числа неудачных шагов, т. е. многократное повторение ситуации без улучшения результатов исследований.

Траектория движения к экстремуму методом случайного поиска для двухфакторной задачи показана на рис. 7.6.

Достоинством метода случайного поиска является возможность решения задачи оптимизации с большим числом исследуемых факторов (сто и более), при этом движение к оптимуму начинается уже после проведения первых двух опытов.

Симплексный метод

Симплексный метод поиска оптимума можно для оптимизации одновременно по нескольким выходным параметрам оптимизации. Его применение требует проведения минимального числа опытов для определения направления движения.

Прежде чем перейти к описанию алгоритма симплексного метода дадим несколько определений. N-мерным симплексом называется многогранник, образованный в N-мерном пространстве N+1 вер шинами, которые не лежат ни в одном пространстве меньшей размерности. Например, для n = 1 симплексом является отрезок прямой, для n = 2—треугольник, для n = 3—пирамида.

Симплекс называется правильным, если расстояние между всеми соседними вершинами одинаково. Если отбросить любую вершину симплекса и построить новую точку, зеркальную относительно оставшейся грани, то оставшаяся грань и зеркальная точка образуют симплекс той же размерности. Правильный симплекс всегда можно получить из произвольного путем преобразования системы координат (в дальнейшем будем рассматривать только правильные симплексы). В симплексном методе поиска оптимума все опыты проводят в точках факторного пространства, являющихся вершинами правильного симплекса.

Алгоритм поиска следующий:

1. Выбирается исходная точка поиска из тех же соображений, что

и в ранее рассмотренных методах, В окрестности исходной точки Х^ необходимо построить начальный симплекс. Для построения симплекса необходимо прежде всего задать его размер. Размер симплекса выбирается так же, как и шаг варьирования. Необходимо также задать первоначальное положение симплекса в пространстве. Существует несколько способов построения исходного симплекса. Рассмотрим один из них.

Рис. 7.6. Симплекс с вершиной (а) и центром (б) в начале координат

Длина ребра симплекса / (размер симплекса) здесь принята за единицу. Центр симплекса помещается в начале координат, а h+1 вершина - на оси Хп (рис. 7.6.). Остальные вершины располагаются симметрично относительно координатных осей. Координаты вершины определяются матрицей

№ вершины	Координаты
X1	X2	X3	…	Xn-1	Xn
	- r1	- r2	r3	…	rn-1	- rn
	R1	- r2	r3	…	rn-1	- rn
		R2	…	…	…	…
…			…	…	…	…
n			…	…	Rn-1	- rn
n+1			…			Rn

При длине ребра симплекса L = 1 величины Ri и ri определяются выражениями

ri = 1/sq{2*i*(i+1)} i = 1, n

Ri = 1/sq{2*(i+1)} i = 1, n

где sq – квадратный корень.

2. В каждой вершине, координаты которых рассчитываются проводится по одному опыту. Наблюдаемые значения отклика в вершинах симплекса обозначим через Yhi, где h—номер симплекса, i —номер вершины h-го симплекса.

3. Движение к экстремуму осуществляется путем перехода от старого симплекса к новому. В старом симплексе отбрасывается вершина с наименьшим откликом и строится новая вершина, «зеркальная» отброшенной относительно оставшейся грани. Оставшаяся грань и зеркальная точка образуют новый симплекс. Координаты зеркальной точки Xi (i =1, п) вычисляются по формуле

Xh+1, j, i = 2/n * { Xh, 1, i + Xh, 2, i + … + Xh, j-1, i + Xh, j+1, i + … + Xh, h+1, i} - Xh, j, i

Для того чтобы найти i-ю координату зеркальной точки, необходимо i-е координаты оставшихся точек старого симплекса сложить, умножить на величину 2/п и из полученного результата отбросить i-ю координату отброшенной точки.

4. Если наименьшее значение отклика наблюдается в нескольких вершинах одновременно, то вопрос об отбрасывании той или иной вершины решается случайным образом с равной вероятностью.

5. При движении к оптимуму может возникуть ситуация, когда наименьшее значение отклика наблюдается в зеркальной точке нового симплекса. В этом случае необходимо вернуться к предыдущему симплексу и отбросить в нем вершину со следующим по малости откликом.

6. Преобразование поступательного движения симплекса во вращательное вокруг некоторой точки X* факторного пространства может свидетельствовать о выходе симплекса в область оптимума. Однако может оказаться, что в этой точке неправильно определено значение отклика. В точке вращения необходимо поставить несколько параллельных опытов. Если в результате такого уточнения наибольшее значение отклика подтверждается, то это означает, что достигнута оптимальная область. Если наибольшее значение отклика в точке вращения не подтверждается, то поступают так же, как в п. 5, т. е. возвращаются к предыдущему симплексу и отбрасывают вершину со следующим по малости откликом.

7. При достижении области оптимума размер симплекса уменьшается в 2 раза и движение продолжается по тому же алгоритму.

8. Оптимум считается достигнутым, если выполняется условие: разброс результатов в вершинах симплекса примерно равна ошибке измерения выходного (оптимизируемого) параметра.

9. В условиях большой ошибки эксперимента рекомендуется в каждой вершине симплекса проводить несколько параллельных опытов и использовать усредненное значение отклика.

Рис. 7.7. Движение к оптимуму симплекс-методом

Вопросы для самоконтроля:

1. Нужна ли математическая модель объекта исследования при решении задач экспериментальной оптимизации?

2. Назовите условия целесообразного применения каждого из методов оптимизации.

3. Какой метод работает в условиях больших ошибок измерения факторов?

4. Какой метод успешно работает при большом количестве исследуемых факторов?

5. Как будет двигаться симплекс в условиях ограничений на управляемые факторы?

6. В каком случае Вы выберете градиентный метод оптимизации?

7. Как будет вести себя симплекс в условиях дрейфа области оптимума?

Порсев А.А.

Тема 1.

Рекомендации к постановке задач исследования систем управления с помощью математических моделей

Предварительное изучение объекта исследования

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒