Построение математической модели с использованием пассивного эксперимента

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

Рассмотрим поэтапную условную схему получения математического описания промышленного объекта методом пассивного эксперимента. Сущность пассивного эксперимента заключается в том, что исследователь регистрирует данные в всех входных и выходных параметрах в режиме нормальной эксплуатации объекта исследования, не производя реализацию матрицы эксперимента, как это предполагалось в предыдущих разделах данной главы.

На первом этапе происходит знакомство с основами исследуемого процесса и отбираются переменные, подлежащие регистрации, среди которых выделяют входные и выходные. Затем составляют структурную модель объекта: намечают точки съема данных, анализируют точность прибора и методов контроля. На этом этапе снимают и обрабатывают первичную информацию. Выясняют характер и величину основных параметров законов распределения для отдельных технологических переменных; строят их авто- и взаимокорреляционные функции. Результаты первого этапа позволяют исследователю сформировать уравнения будущего математического описания и сделать ряд важных выводов: о стационарности процесса (наклонность к дрейфу), величине и характере запаздывания, об интервале съема данных, о продолжительности эксперимента и требуемом количестве опытов, о необходимости и числе параллельных замеров. На базе полученных результатов разрабатывают программу организации и проведения эксперимента по сбору данных.

На втором этапе осуществляют сбор основного массива статистических данных. Собранный материал подвергают предварительной обработке, проверяют на однородность и затем обсчитывают на компьютере по алгоритму множественного регрессионного анализа.

После обработки данных приступают к оценке и интерпретации полученного математического описания. На этом этапе особенно важно участие специалистов, знакомых с основами исследуемого процесса. Формально — математическому анализу полученных уравнений сопутствует профессионально-технологическое осмысливание результатов. Затем осуществляют оценку работоспособности математического описания. Определяют роль и степень взаимосвязи технологических переменных и отсеивают переменные, не оказывающие существенного влияния на ход процесса; выявляют переменные, особо «зашумленные» погрешностью измерительных приборов. Если проведенный остаточный анализ показывает, что полученное математическое описание не обеспечивает необходимой точности, то намечают меры по дальнейшему его совершенствованию.

На следующем этапе осуществляют мероприятия по уточнению и корректировке полученных уравнений. Для тех переменных, где это необходимо, методы и приборы регистрации заменяют более точными. Проверяют уравнения, из которых исключены невлиятельные, переменные, и вводят дополнительные переменные. При необходимости преобразуют математическое описание, позволяющее освободиться от мешающего действия коррелированных переменных.

При достижении требуемой точности математического описания его можно использовать для управления объектом. По эмпирическим уравнениям регрессии рассчитывают оптимальные режимы для типовых технологических ситуаций. Результаты расчетов, обобщенные в виде таблиц или режимных карт, можно использовать при текущем управлении объектом.

Приведенная поэтапная схема получения математического описания достаточно условна и не исчерпывает всех ситуация, возникающих на практике. Каждый конкретный случай приносит свои отклонения, которые отражают специфику решаемой задачи и особенности объекта исследования.

Рассмотрим вопросы планирования пассивного.промышленного эксперимента. При этом необходимо определить: продолжительность эксперимента, частоту съема данных, временные сдвиги между входными и выходными факторами, объем выборки.

При рассмотрении вопроса о требуемом объеме выборки необходимо определить объем выборки n, который будет достаточным, если с заданной.вероятностью Р выборочная оценка параметра будет отличаться от истинного значения не более чем на заданную величину ошибки. Однако такой подход сильно завышает оценку для n, что невыгодно, так как проведение эксперимента на промышленном объекте связано с большими материальными затратами. Кроме того, одного критерия статистической надежности недостаточно, если речь идет о сборе данных на промышленном объекте с непрерывным изменением технологических переменных, так как неясно, за какой промежуток времени следует провести требуемое n опытов. Известно, что регрессионное уравнение можно эффективно использовать лишь в том интервале, в котором наблюдались изменения переменных при сборе статистических данных. Всякая экстраполяция уравнения за пределы обследованного интервала несостоятельна и может привести к большим погрешностям. Поэтому, если проводить п опытов за короткий отрезок времени, в течение которого технологические переменные успеют «пробежать» лишь часть своего диапазона, математическое описание объекта может оказаться непригодным для рабочего диапазона в целом. Отсюда появляется необходимость учитывать характер изменения во времени всех технологических переменных объекта.

Сформулируем задачу следующим образом. Задан рабочий диапазон конечной величины для технологической переменной X, изменения которой представляют собой случайный стационарный процесс

Весь диапазон дельта Х разбит на ряд одинаковых квантов в соответствии с разрешающей способностью измерительного прибора. Предположим, что известны дискретность проведения опытов и вероятности и попадания случайной величины Х в нижний и верхний кванты диапазона дельта Х.

Требуется определить время наблюдения Т над переменной X, в течение которого в серии измерений

Переменная Х с вероятностью Р будет зафиксирована в верхнем и нижнем квантах хотя бы по одному разу. Естественно ожидать, что при выполнении этого требования будет охвачен весь диапазон изменения переменной, так как вероятности пребывания вблизи середины диапазона больше, чем вблизи его границ.

Обычно технологические переменные хорошо налаженных производств имеют небольшую колебательность и, следовательно, вероятности и попадания в крайние кванты диапазона будут малы. В этом случае можно воспользоваться формулой Пуассона.

Если переменная Х имеет симметричное распределение внутри диапазона, и, следовательно, и раны, то вероятность того, что за n наблюдений значения переменной Х будут обнаружены хотя бы по одному разу и в верхнем, и в нижнем квантах, равна

Где и величина a – среднее число попаданий в крайний квант в еди-

ницу времени, Т – полное время наблюдений. Следовательно, характеризует среднее число попаданий переменной в крайний квант диапазона за время эксперимента.

Задавшись подходящим, значением Р, из последнего выражения можно найти , а затем по формуле определить необходимое время наблюдения Т. В табл. 5.6 приведены значения для распространенных в инженерной практике значений Р.

Таблица 5.6

Р Р	0, 94	0, 95	0, 96	0, 97	0, 98	0, 99 0, 99
	3, 52	3, 68	3, 90	4, 19	4, 60	5, 30 5, 30

Среднее число попаданий переменной в крайний квант диапазона в единицу времени

Следовательно, откуда

Вычислив отношение и взяв из таблицы значение , соответствующее выбранной вероятности Р, по последней формуле можно найти требуемое время наблюдений Т. Оно измеряется в тех же единицах, что и . На рис. 5.2 приведены зависимости Т от при двух наиболее употребительных значениях Р.

Для практической оценки Т вероятности и можно заменить соответствующими частотами и . Материалом для этого могут служить многочисленные архивные данные, имеющиеся на каждой производственной установке.

При окончательном выборе продолжительности эксперимента Тэксп необходимо принимать во внимание все значения Т, рассчитанные для технологических переменных X.

При определении интервала съема данных можно руководствоваться следующим. Рассмотренный выше математический аппарат регрессионного анализа построен в предположении, что наблюдения по у некоррелированны.

Интервал времени между соседними опытами должен обеспечивать выполнение этого условия. Для непрерывных технологических процессов, для которых изменения переменных представляют собой некоторый случайный процесс, это равносильно требованию Ryy( , где Ryy( —автокорреляционная функция выходной переменной у.

Практически интервал выбирается по условию

где — время корреляции переменной у, определяемое как

Время корреляции легко определить по кривой автокорреляционной функции , для построения которой должен быть организован специальный

эксперимент с достаточно частой фиксацией значений у. Приближенно значение можно оценить по диаграммной записи. Для этого на диаграмме отмечают приближенное среднее значение и подсчитывают число пересечений f за время t. Практически установлено, что среднее число пересечений f0 = f/t удовлетворительно стабилизируется за время, в течение которого f = 40-70. Тогда

При выборе необходимо также учитывать ограничения, вытекающие из

разрешающей способности контрольно-измерительной аппаратуры. Например, в большинстве случаев состав продуктов контролируется с помощью лабораторных химических анализов, продолжительность которых нередко составляет несколько часов. Экспериментатор не может приступить к отбору новых проб, пока не будут готовы результаты предыдущих замеров.

При выборе верхнего предела следует принимать во внимание такие факты, как возможные изменения параметров объекта во времени, нарушение условий, в которых проводится эксперимент, и максимальные затраты, связанные с его проведением. Если интервал взять очень большим, то результаты эксперимента окажутся подверженными влиянию изменений технологических параметров объекта. Поэтому интервал целесообразно выбирать по возможности ближе к нижнему пределу.

Необходимый объем выборки n при проведении пассивного эксперимента, как отмечалось выше, можно определить, зная Т и

Однако объем выборки зависит еще и от числа оцениваемых коэффициентов

уравнения регрессии k. При этом должно выполняться неравенство .

Следует учесть также, что увеличение объема выборки в реальных производ-

ственных условиях приводит, как правило, к ухудшению эффективности матема-

тической модели ввиду того, что процесс, строго говоря, не остается

стационарным в течение более длительного периода времени.

Большинство реальных промышленных объектов характеризуется явлением

запаздывания. Под запаздыванием в данном случае понимается то минимально

потребное время , через которое возмущение, возникшее на входе

объекта, полностью проявит себя в характеристиках соответствующей выход-

ной переменной. В общем случае время запаздывания может быть различным

для различных каналов объектов (для простоты все рассуждения проводятся

для одноканального объекта).

Явление запаздывания в реальных объектах обусловлено, в основном, двумя

причинами:

· наличием транспортных перемещений сырья или промежуточных

продуктов процесса внутри объекта;

· постепенностью развития самого процесса, его инерционностью.

Планируя эксперимент по сбору статистических данных, экспериментатор

неизбежно сталкивается с необходимостью учитывать динамические свойства

объекта. Этот учет сводится к определению временного интервала , которым

следует разделить моменты съема данных о входных и выходных параметрах с

тем, чтобы ситуация, наблюдаемая на входе объекта, соответствовала ситуации

на его выходе, зафиксированной в том же опыте.

Для объектов с чистым запаздыванием (например, движение продукта по

транспортной ленте) определяется относительно просто. В таких объектах

процесс либо доступен непосредственному наблюдению, либо известны или

могут быть измерены скорости перемещения продуктов процесса.

Для объектов, обладающих инерционностью, задача определения значи-

тельно усложняется.

Суть метода заключается в эквивалентной замене реального объекта объек-

том с чистым запаздыванием, имеющим время запаздывания .

Чистое запаздывание такого эквивалентного объекта определяется по

взаимо-корреляционной функции, связывающей сигнал на его входе и выходе.

За время запаздывания принимается временная задержка, при которой взаи-

мокорреляционная функция максимальна, т. е. теснота связи между входом и выходом наибольшая.

Выражение для взаимокорреляционной функции имеет вид

где Х(t) и Y(t) — сигналы соответственно на входе и выходе объекта.

С другой стороны, существует автокорреляционная функция входного сигна-

ла, которая может быть записана в форме

Таким образом, вид взаимакорреляционной функции, а следовательно, и зна-

чение при котором — максимальна, зависят как от динамических свой-

ств объекта, так и от статистических характеристик входного сигнала. Заменив

далее реальный объект объектом, имеющим чистое запаздывание , экспе-

риментатор может использовать как меру точного временного интервала,

которым следует разделить моменты съема данных о входных и выходных парамет-

рах объекта.

Предполагаемая методика отыскивания применима для любого объекта,

находящегося под воздействием стационарных случайных функций.

Собранный с использованием этих практических рекомендаций массив наб-

людений о входных и выходных факторах обрабатывается методом множест-

венного регрессионного анализа (МРА) по имеющимся программам в Excel.

Алгоритм обработки, включающий классический метод наименьших квадратов

в матричном виде определяется выражением

где Х – матрица (размером к*n) входных параметров (к – количество столбцов,

n – количество строк), знаки и обозначают соответственно – транспониро-

вание и обращение матриц. Y – вектор-столбец выходного параметра.

Полученная математическая модель методом МРА оценивается на адекват-

ность с помощью критерия Фишера, а значимость каждого коэффициента векто-

ра B проверяется критерием Стьюдента.

Вопросы для самопроверки.

1. Как можно осуществить классификацию методов исследования систем управления?

2. Какие исследования называются количественными исследованиями, а какие — качественными?

3. Какие исследования называются комплексными исследованиями, а какие — частными?

4. Какие исследования относятся к прикладным научным исследованиям?

5. Какие исследования называются отчетными исследованиями?

6. Какие исследования называются контрольными исследованиями?

7. Когда используется сравнительное исследование систем управления?

8. Какую роль играет классификация методов исследования систем управления?

9. Что понимается под составом методов исследования систем управления?

10. Как осуществляется выбор метода исследования систем управления?

11. Какую математическую модель позволяет получить эксперимент типа ПФЭ?

12. Как проверить воспроизводимость эксперимента?

14. Как и для чего проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии?

15. С какой целью вычисляется критерий Фишера?

16. Какую математическую модель позволяет получить эксперимент типа ДФЭ?

17. Как построить матрицу ДФЭ?

18. Из каких блоков состоит матрица ОЦКП (ортогонального центрального композиционного планирования).

19. Какую математическую модель позволяет получить эксперимент типа ОЦКП?

20. Почему при построении модели второго порядка план ОЦКП предпочтительнее плана ПФЭ 3^n?

21. Недостатки пассивного эксперимента?

22. С какой целью рассчитываются авто- и взаимокорреляционная функции?

23. Как определить время квантования данных при проведении пассивного эксперимента?

24. Как определить необходимое количество опытов при пассивном эксперименте?

25. Зачем нужно использовать «время запаздывания» при сборе и обработке данных?

26. В каких случаях не удаётся построить математическую модель объёкта исследования при проведении пассивного эксперимента и как бороться с этой проблемой?

Тема 3.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒