Методы построения простейших математических моделей. Полный и дробный факторный эксперимент.

Модель — это форма представления реальности.

Математическая модель - это описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Физическое моделирование — исследование увеличенного или уменьшенного объекта. Такое исследование называют портретным. Пример: чертеж объекта, выполненный в определенном масштабе, который, в частности, помогает установить возможность размещения оборудования на объекте. Физическое моделирование используется для исследования характеристик объектов по их аналогам — копиям, которые ведут себя и выглядят как реальные объекты.

Аналоговое моделирование — исследование аналога объекта, который ведет себя как и реальный объект, но не выглядит таковым. Пример: схема организационной структуры предприятия, которая является простым, наглядным и эффективным средством изучения взаимосвязей между подразделениями и сотрудниками предприятия.

Математическое моделирование - исследование объектов на основе использования различного рода символов для описания свойств или характеристик объектов или процессов.

Под планами первого порядка понимаются такие планы, которые позволяют получить модель исследуемого объекта в виде полинома первого порядка

. (5.1)

Пусть отклик у зависит от п управляемых факторов. Для того, чтобы получить модель первого порядка, достаточно варьировать каждый из п изучаемых факторов на двух уровнях.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) — это эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов. Поскольку для получения линейной модели факторы варьируются как минимум на двух уровнях, то для п факторов число N опытов при ПФЭ будет равно 2ⁿ.

Такие планы называют планами ПФЭ типа 2ⁿ. Модель, получаемая по результатам эксперимента, будет справедлива лишь в окрестности некоторой базовой точки, где проводился эксперимент. Если заданы координаты базовой точки в факторном пространстве:

=( )

и шаги варьирования по факторам , то можно считать, что координатами точек спектра плана ПФЭ будут +1 и —1 (в дальнейшем будем обозначать просто «+» и «-»). Действительно, осуществив перенос начала координат в базовую точку, т. е. нормализовав факторы, получим

где x_i - координаты точки спектра плана в нормализованном виде;

X_i — координаты точки спектра плана в натуральном масштабе.

2.2. Построение матрицы планирования ПФЭ

Допустим, что необходимо составить план ПФЭ для двух факторов, чтобы по результатам опытов построить линейную модель. Тогда матрица базисных функций F будет следующей:

+1	-1	-1
+1	+1	-1
+1	-1	+1
+1	+1	+1

F =

Первый столбец, состоящий из +1, необходим для оценки свободного члена b₀одели (5.1). Однако целесообразно оценить еще один коэффициент, поскольку проводится четыре опыта. Имеется возможность оценить коэффициент при парном взаимодействии х₁ х₂ . Включить в матрицу базисных функций F столбец, соответствующий или нельзя, так как в матрице F будут два линейно-зависимых столбца, при этом определитель информационной матрицы Ф будет равен нулю, что не позволит решить систему нормальных уравнений относительно коэффициентов регрессии. Таким образом, матрица базисных функций F будет иметь вид

+1	-1	-1	+1
+1	+1	-1	-1
+1	-1	+1	-1
+1	+1	+1	+1

= F

(5.2)

Независимо от физической природы факторов, единиц измерения базового уровня и шага варьирования нижний уровень каждого фактора будет равен —1, а верхний +1. Точки спектра плана ПФЭ будут лежать в вершинах квадрата, куба или гиперкуба (в общем случае), центры, которых будут совпадать с началом координат.

Матрица F (5.2) является ортогональной, т. е. скалярное произведение любых двух столбцов этой матрицы равно нулю.

Рассмотрим теперь ПФЭ типа 2³. Число неповторяющихся комбинаций уровней факторов в этом случае равно N=2³=8. Матрица базисных функций, записанная в виде таблицы, приведена в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Матрица базисных функций ПФЭ2³

^Опыты	^Z⁰	^Z¹	^Z²	^Z³	^Z¹^Z²	^Z¹^Z³	^Z²^Z³	^Z¹^Z²^Z³	^Y
¹	⁺	^-	^-	^-	⁺	⁺	⁺	^-
²	⁺	⁺	^-	^-	^-	^-	⁺	⁺
³	⁺	^-	⁺	^-	^-	⁺	^-	⁺
⁴	⁺	⁺	⁺	^-	⁺	^-	^-	^-
⁵	⁺	^-	^-	⁺	⁺	^-	^-	⁺
⁶	⁺	⁺	^-	⁺	^-	⁺	^-	^-
⁷	⁺	^-	⁺	⁺	^-	^-	⁺	^-
⁸	⁺	⁺	⁺	⁺	⁺	⁺	⁺	⁺

Если разбить матрицу ПФЭ типа 2³ на две части, то получим две матрицы ПФЭ типа 2², причем в первом случае ПФЭ типа 2²реализуется на нижнем уровне фактора x₃, а во втором — на верхнем уровне x3. Правило для получения матрицы ПФЭ следующее. Для того чтобы из ПФЭ 2ⁿ^-1 получить ПФЭ 2ⁿ, необходимо повторить ПФЭ 2ⁿ^-1 дважды: первый раз на нижнем уровне фактора x_n второй раз — на верхнем уровне этого же фактора.

Матрица базисных функций необходима лишь для обработки результатов эксперимента. Для проведения опытов достаточно иметь часть матрицы базисных функций, т. е. спектр плана или матрицу плана, включающую только управляемые факторы.

Кроме табличной формы записи матрицы плана существует строчная. Для получения строчной кодовой записи необходимо закодировать каждую строку матрицы плана. Для этого каждому фактору , ..., ставится в соответствие буква латинского алфавита а, b, с, .... Кодовая буква включается в код строки, если соответствующий ей фактор в этой строке находится на верхнем уровне. Если все факторы в какой-либо строке находятся на нижнем уровне, то код строки будет 0. В строчной записи (см. табл. 5.1)

ПФЭ 2³: 0, а, b, аb, с, ас, bс, аbс

по аналогии можно записать

ПФЭ 2⁴: 0, а, b, аb, с, ас, bс, аbс, d, аd, bd, сd, abd, асd, bcd, аbсd.

Строчная запись несет ту же информацию, что и табличная и на практике используется для построения таблицы.

Свойства матрицы планирования и плана ПФЭ

Свойства матрицы планирования.

1.Матрица базисных функций ПФЭ симметрична относительно базовой точки

2. Векторы-столбцы матрицы базисных функций попарно ортогональны

3. Сумма квадратов элементов любого столбца одинакова и равна числу вариантов варьирования

Свойства плана ПФЭ. План ПФЭ ортогонален.

где I_k₊₁—единичная матрица.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒