Дробный факторный эксперимент

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 8Следующая ⇒

Число опытов ПФЭ N=2^п при этом имеется возможность оценить 2ⁿ коэффициентов регрессии, среди которых могут быть линейные коэффициенты и коэффициенты при взаимодействиях факторов различного порядка. Однако могут быть такие случаи, когда априорно известно, что функция отклика содержит только линейные коэффициенты, т. е. взаимодействия факторов отсутствуют. В таких случаях ПФЭ становится избыточным, т. е. при ПФЭ проводится большее число опытов, чем нужно для оценки теоретического числа коэффициентов регрессии. В этих же случаях можно проводить не ПФЭ, а меньшее число опытов, равное или близкое к числу коэффициентов регрессии. Можно выбрать точки спектра плана случайным образом, однако при этом потерялись бы все существенные преимущества ПФЭ. Поэтому из ПФЭ желательно выбрать часть таких точек, которые обладали бы всеми свойствами ПФЭ. Такая часть точек плана ПФЭ называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).

Число точек спектра плана ДФЭ будет равно 2ⁿ^-^p, если в исследование включено п факторов. Если известно, что необходимо оценить d коэффициентов, то число опытов при ДФЭ должно быть

(5.13)

План типа 2ⁿ^-^p—это полный факторный эксперимент меньшего порядка, чем ПФЭ 2ⁿ. Пусть имеется п факторов. Из них выбирается n—р факторов, которые называются основными и для которых строится ПФЭ типа 2ⁿ^-р. Остальные р факторов называются дополнительными; р называется также степенью дробности плана.

Например, необходимо решить трехфакторную задачу регрессии в линейном приближении, т. е. оценить коэффициенты β ₀, β ₁, β ₂, β ₃при условии, что остальные коэффициенты β ₁₂=β ₁₃=β ₂₃=β ₁₂₃=0.

Число опытов при ДФЭ должно быть больше или равно числу коэффициентов уравнения

2ⁿ^-^p≥ 4

Отсюда находим, что р==1. Следовательно, число основных факторов п—р=3—1=2 и в качестве основы плана использован ПФЭ типа 2². Третий фактор (дополнительный) x₃ можно варьировать в эксперименте как взаимодействие основных факторов x₁x₂. Соотношение

x₃=x₁x₂(5.14)

называется генерирующим. Генерирующее соотношение (ГС) всегда является соотношением между дополнительным фактором и взаимодействием основных. Для рассматриваемого 'примера в качестве генерирующего можно выбрать соотношение

x₃= -x₁x₂

Матрица планирования ДФЭ с ГС (5.14) будет иметь вид

(5.15)

Анализируя матрицу F, можно заметить, что для данного случая

(5.16)

Соотношения (5.16) иногда называют вспомогательными. Вспомогательные соотношения показывают, какие теоретические коэффициенты регрессии будут смешаны в одной оценке. Если по результатам эксперимента, проведенного в соответствии с матрицей Р (5.15), найти оценки коэффициентов линейного регрессионного уравнения, то в каждой найденной оценке будет смешано по два теоретических коэффициента

(5.17)

Соотношения (5.17) называются системой совместных оценок коэффициентов регрессии, которая строится на основе вспомогательных соотношений. Каким образом определить, сколько теоретических коэффициентов регрессии будет смешано в одной оценке? Если для п факторов истинная модель включает взаимодействия всех порядков (до n), то число теоретических коэффициентов регрессии будет равно 2ⁿ. Так как с помощью ДФЭ мы будем определять только 2n-р оценок, то в каждой из них будет смешано 2ⁿ/2ⁿ^-р ==2^p теоретических коэффициентов регрессии.

Для рассмотренного выше примера р = 1 и в каждой оценке таким образом смешано по 2¹=2 теоретических коэффициента. Следовательно, ДФЭ можно использовать только тогда, когда каждая оценка служит оценкой для одного теоретического коэффициента регрессии.

Необходимо приравнивать дополнительный фактор такому взаимодействию основных, которое не влияет на отклик или влияет пренебрежимо мало. Коэффициент регрессии, обычно, тем меньше, чем выше порядок взаимодействия, с которым он входит в уравнение регрессии. Значит, дополнительный фактор необходимо приравнивать взаимодействию основных факторов самого высокого порядка.

ДФЭ типа 2ⁿ^-1 называется полурепликой, потому что он содержит половину экспериментов ПФЭ. Полуреплика содержит одну дополнительную переменную (р = 1). Если дополнительный фактор в полуреплике приравнивается взаимодействию самого высокого порядка основных, то такая полуреплика называется главной. Можно использовать четверть реплики, одну восьмую реплики и т. д. в зависимости от существа задачи.

Система совместных оценок (5.17) является важной характеристикой дробного плана, так как характеризует разрешающую способность ДФЭ. Как считают, разрешающая способность ДФЭ тем выше, чем выше порядок взаимодействий, коэффициенты при которых смешиваются с линейными коэффициентами регрессии.

Определяющим соотношением (ОС) называется соотношение, которое получается из генерирующего при умножении ГС на его левую часть. Для рассмотренного выше примера имеем

ГС: x₃=x₁x₂;

ОС: x²₃=x₁x₂x₃.

В левой части ОС будет квадрат дополнительного фактора, а так как квадрат любого фактора равен единице, то в левой части ОС будет единица. В правой части ОС будет находиться произведение основных факторов на дополнительный. Для рассматриваемого примера

ОС: 1= x₁x₂x₃. (5.18)

Умножив ОС последовательно на все базисные функции модели, при которых необходимо определить коэффициенты регрессии, получим вспомогательные соотношения (5.18). На основе вспомогательных соотношений можно построить систему совместных оценок ДФЭ (5.17). Таким образом, систему совместных оценок можно получить, минуя операцию построения матрицы базисных функций.

Необходимо отметить, что разрешающая способность главных дробных полуреплик возрастает с увеличением числа факторов. Разрешающая способность любой неглавной полуреплики меньше, чем разрешающая способность главной полуреплики. Следовательно, разрешающая способность реплик зависит от выбора ГС.

Рассмотрим дробные реплики более высокой степени дробности. Пусть требуется решить 6-факторную задачу регрессии в линейном приближении, т. е. при числе факторов п=6 требуется определить оценки семи теоретических коэффициентов: β ₀, β ₁, β ₂, β ₃, β ₄, β ₅, β ₆.Остальные теоретические коэффициенты равны нулю.

Определим число дополнительных факторов. Согласно выражению (5.13) имеем

2^6-^p≥ 7,

отсюда р=3.

Таким образом, число дополнительных факторов должно быть равно 3. Выберем в качестве основных факторов x₁, x₂, x₃, а в качестве дополнительных — x₄, x₅, x₆. Запишем ГС для дополнительных факторов

и на основе ГС — определяющие

Из исходных ОС можно получить еще четыре производных ОС, перемножая исходные

Исходные и производные ОС дают определяющий контраст (ОК)

ОК: 1=x1x2x4=x1x3x5=x1x2x3x6=x2x3x4x5=x3x4x6=x2x5x6=x1x4x5x6. (5.19)

С ОК можно работать так же, как с обычным ОС. Умножая ОК на соответствующие базисные функции модели, можно получить систему совместных оценок. Например, умножая ОК (5.19) на базисную функцию x3, получаем вспомогательное соотношение

x₃=x₁x₂x₃x₄=x₁x₅=x₁x₂x₆=x₂x₄x₅=x₄x₆=x₂x₃x₅x₆=x₁x₃x₄x₅x₆.

Следовательно, в оценке будут смешаны следующие теоретические коэффициенты

b→ β ₃+β ₁₂₃₄+β ₁₅+β ₁₂₆+β ₂₄₅+β ₄₆+β ₂₃₅₆+β ₁₃₄₅₆.

Таким же образом можно определить, какие коэффициенты будут смешаны в каждой оценке. Так как по условию задачи все взаимодействия факторов отсутствуют, то все линейные коэффициенты будут оцениваться раздельно. Однако не всегда с помощью ДФЭ 2ⁿ^-^p можно получить 2n-p раздельных оценок.

Можно, не перебирая вариантов ГС, сделать вывод о том, имеет или не имеет решение задача планирования ДФЭ для получения раздельных оценок коэффициентов регрессионного уравнения.

Пусть необходимо с помощью ДФЭ найти раздельные оценки для коэффициентов при взаимодействиях различного порядка и для n+1 линейного коэффициента. Тогда число опытов должно быть равно

2ⁿ^-^p≥ 1+n+k.

В число базисных функций модели, при которых необходимо оценить коэффициенты, входят:

линейные члены модели — x₀, x₁, x₂, …, x_n,

а также взаимодействия факторов —

(5.20)

Введем новые переменные

(5.21)

Для того чтобы существовало решение задачи ДФЭ, необходимо, чтобы ни в одном из произведений переменных z_j (5.21), представляющих собой все возможные комбинации этих сомножителей, не содержалось число факторов, равное 2ⁿ^-^p —2 или 2^п-р —3.

Это условие необходимо, но недостаточно. Рассмотрим следующий пример.

Пример. Можно ли построить план ДФЭ для раздельной оценки коэффициентов при следующих базисных функциях: x₀, x₁, x₂, x₃, x₄, x₁x₂, x₂x₃, x₂x₄?

Так как задача 4-факторная, то взаимодействия, при которых необходимо оценить коэффициенты, обозначим следующим образом (5.20):

x₅=x₁x₂;

x₆=x₂x₃;

x₇=x₂x₄.

Введем новые переменные z_j, [см. уравнения (5.21)]:

z₅=x₅x₁x₂;

z₆=x₆x₂x₃;

z₇=x₇x₂x₄.

Рассмотрим все возможные произведения переменных z_j:

z₅z₆=x₅x₆x₁x₃;

z₅z₇=x₅x₇x₁x₄;

z₆z₇=x₃x₄x₆x₇;

z₅z₆z₇=x₁x₂x₃x₅x₆x₇x₄.

Поскольку ни в одном из произведений переменных z_j, нет числа членов 2ⁿ^-^p-2=6 или 2ⁿ^-^p- 3=5, то задача построения плана ДФЭ для раздельной оценки коэффициентов регрессии (указанных в условии) разрешима.

Если задача планирования ДФЭ разрешима, то ГС следует выбрать таким образом, чтобы план ДФЭ был ортогональным, а для этого необходимо, чтобы информационная матрица Фишера была диагональной. Следовательно, ГС выбирается таким образом, чтобы соответствующее ему ОС не совпадало с внедиагональными элементами информационной матрицы Фишера.

Проведение ДФЭ и обработка результатов наблюдений осуществляются так же, как и при ПФЭ.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒