Автокорреляция: методы обнаружения и устранения.

⇐ ПредыдущаяСтр 40 из 51Следующая ⇒

Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Математически это выражается в том, что случайные величины e_i в регрессионной модели не оказываются независимыми, в частности, условие не выполняется. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции. Автокорреляция – ситуация, связанная с невыполнением условия Г-М.

Если автокорреляция отсутствует, то оценки состоятельные и эффективные. Последствиями автокорреляции являются неэффективность оценок и заниженные стандартные отклонения.

Рассмотрим уравнение регрессии: ; модель регрессии .

Если последующие случайные члены во временном ряду прямопропорциональны, т.е. и положительно коррелируемы ( ), то автокорреляция положительна.

Графически положительная автокорреляция выражается в чередовании зон, где наблюдаемые значения оказываются выше предсказанных, и зон, где наблюдаемые значения ниже предсказанных (примером может служит спрос на мороженное: зимой спрос снижается, а летом увеличивается).

Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника» - завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в наблюдениях последующих. Коэффициент линейной корреляции в этом случае меньше 0 ( ).

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами.

· Иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

· В ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными.

· Неверный выбор функции.

· Структура модели не учитывает запаздывания.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Существует два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод - использование критерия Дарбина-Уотсона.

Автокорреляция первого порядка.

Рассмотрим уравнение регрессии: ; по выборке {x_t; y_t}, при t=1…T, получаем модель регрессии .

Допустим, что подтверждает наличие автокорреляции. Будем считать, что автокорреляция описывается следующей моделью: - это авторегрессионная схема автокорреляции первого порядка, где - случайный член регрессии, неподверженный автокорреляции.

Свойства параметра :

-если , то автокорреляция отсутствует;

если , то автокорреляция положительная;

если , то автокорреляция отрицательная.

если , т.к. иначе не выполнялось бы условие гомоскедастичности ( ).

Таким образом, чтобы определить наличие автокорреляции, нужно оценить . Для этого оценим следующее уравнение регрессии: , где - остатки в наблюдениях t и t-1, - оценка , причем (аналогично b, полученному по МНК).

Имеем

Теперь .

при достаточно большом Т.

Таким образом .

При отсутствии автокорреляции =0, при полной положительной автокорреляции =1, при полной отрицательной автокорреляции =-1.

Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот простой критерий определяет наличие автокорреляции между соседними членами. Он основан на простой идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии, получающихся в результате применения обычного МНК. В тесте Дарбина-Уотсона для оценки корреляции используется статистика вида:

Так как - остатки, полученные по уравнению регрессии, параметры которого определены обычным МНК, то в соответствии с предпосылками МНК их сумма и среднее значение равны нулю:

если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то d=0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то и d=2. Следовательно, .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н₀об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н₁и Н₁* состоят, соответственно, в наличии положительной и отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков:

· , то гипотеза об отсутствии автокорреляции
не отвергается (принимается), автокорреляция остатков отсутствует;

· или , то вопрос об отклонении
или принятии гипотезы остается открытым (область неопределенности критерия);

· , то с вероятностью принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной автокорреляции остатков;

· , то с вероятностью принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции остатков.

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н₀.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона:

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т.е. к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h-Дарбина.

Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявления автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.

В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

- поправка Прайса-Уинстена.

Т.о., оценки, избавленные от воздействия автокорреляции, рассчитываются по модели: (III), где , а при t=2, …Т.

Т.о., устранение автокорреляции представляет собой итерационный процесс (процесс Кокрана-Орката с поправкой Прайса-Уинстена):

1 этап: оценивается регрессия по непреобразованным данным {x_t, y_t}.

2 этап: вычисляются остатки и рассчитывается приближение .

3 этап: с использованием величины исходное уравнение (I) преобразуется к виду (III), находятся улучшенные оценки параметров α и β.

4 этап: если требуемая точность не достигнута в улучшении оценок, то переходим к этапу 2.

⇐ Предыдущая 35 36 37 38 394041 42 43 44 Следующая ⇒