Раздел 1. Математический анализ

Тема 1. Понятие множества. Операции над множествами.

Элементы теории множеств. Множество вещественных чисел. Пересечение и объединение множеств. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки. Свойства числовых множеств.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 2. Функциональная зависимость. Основные свойства функций. Графики основных элементарных функций.

Постоянные и переменные величины. Понятие функции. Область определения, область значений функции. Способы задания функций. Четность и нечетность. Монотонность. Ограниченность. Основные элементарные функции, их графики. Преобразование графиков.

Самостоятельное изучение (10 часа)

Тема 3. Предел числовой последовательности и его свойства.

Числовые последовательности: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Сходящиеся последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Признак сходимости монотонных последовательностей. Число е.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Понятие последовательности. Пример числовых последовательностей.

2. Предел числовой последовательности.

3. Геометрический смысл предела последовательности.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Предел последовательности. Вычисление пределов.

Доклад: Смысл определения предела числовой последовательности.

Вопросы для обсуждения:

1. Изображение членов последовательности точками числовой оси.

2. Доказательства предела последовательности. Свойства пределов.

3. Вычисление пределов.

Самостоятельное изучение (10 час)

1. Виды последовательностей.

Тема 4. Предел и непрерывность функции.

Функция: основные понятия: определение функции, область определения и область значения функции. Чётные и нечётные функции. Способы задания функций. Графическое изображение функций.

Определение предела функции в бесконечности и точке. Бесконечно малые величины, свойства бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины. Свойства бесконечно больших величин. Связь между бесконечно большими величинами и бесконечно малыми величинами. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 5. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная и дифференциал. Основные правила дифференцирования.

Задача о касательной. Задача о скорости движения. Задача о производительности труда. Определение производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Экономический смысл производной. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования.

Лекционные занятия (2 часа)

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Экономический смысл производной.

3. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функций.

4. Схема вычисления производной.

5. Основные правила дифференцирования.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Производная.

Доклад: Правила дифференцирования.

Вопросы для обсуждения:

1. Производная, геометрический и физический смысл производной.

2. Экономический смысл производной.

3. Схема вычисления производной.

4. Нахождение производных по схеме.

Самостоятельное изучение (10 час)

1. Правила дифференцирования.

2. Дифференциал функций.

Тема 6. Производная сложной и обратной функции.

Понятие сложной функции. Теорема о производной сложной функции. Понятие обратной функции. Теорема о производной обратной функции. Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков. Производная неявной функции. Производные в экономике.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 7. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Теорема о пределе отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций. Геометрический и механический смысл теоремы Лагранжа.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 8. Приложения производной.

Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков. Приложение производной в экономической теории. Дифференциал функции.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.

2. Выпуклость функции. Точки перегиба.

3. Асимптоты графика функции.

4. Общая схема исследования функций и построения графиков.

Семинарское занятие (2часа)

Тема семинара: Применение производной.

Доклад: Общая схема исследования функций и построения графиков.

Вопросы для обсуждения:

1. Применение производной при вычислении пределов.

2. Монотонность функции. Экстремум функции.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

4. Выпуклость и точки перегиба.

5. Виды асимптот и их нахождение.

6. Исследование функций.

Самостоятельное изучение (8 час)

1. Наибольшее и наименьшее значение функции.

2. Задачи на максимум (минимум).

Тема 9. Неопределённый интеграл.

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование с помощью таблицы интегралов, замена переменной, интегрирование по частям.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Первообразная.

2. Неопределённый интеграл и его свойства.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Неопределённый интеграл.

Доклад: Таблица интегралов.

Вопросы для обсуждения:

1. Метод непосредственного интегрирования.

2. Интегрирование подстановкой.

3. Метод интегрирования по частям.

4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Самостоятельное изучение (8 час)

1. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

2. Интегрирование тригонометрических функций.

Тема 10. Определённый интеграл. Методы интегрирования определённого интеграла.

Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям в определённом интеграле.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл.

2. Свойства определённого интеграла.

3. Формула Ньютона – Лейбница.

4. Методы интегрирования определённого интеграла.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Определённый интеграл и его свойства.

Доклад: Методы интегрирования определённого интеграла.

Вопросы для обсуждения:

1. Задача о площади криволинейной трапеции.

2. Свойства определённого интеграла.

3. Теорема о среднем.

4. Определённый интеграл как функция верхнего предела.

5. Формула Ньютона – Лейбница.

6. Замена переменной в определённом интеграле.

7. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.

Самостоятельное изучение (8 час)

1. Свойства определённого интеграла.

2. Интеграл с переменным верхним пределом.

3. Формула Ньютона – Лейбница.

Тема 11. Приложения определённого интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объёмов тел вращения. Несобственные интегралы. Приближённое вычисление определённых интегралов. Формула трапеций. Использование понятия определённого интеграла в экономике.

Самостоятельное изучение (4 часа)

Тема 12. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал и дифференцируемость функции. Дифференцируемость сложной функции. Производная по вправлению. Градиент. Предельная полезность и предельная форма замещения.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 13. Экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Исследование функции двух переменных на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов. Функции нескольких переменных в экономической теории.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Определение точек экстремума.

2. Необходимое условие экстремума.

3. Достаточное условие экстремума.

4. Исследование функции двух переменных на экстремум.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Исследование функции двух переменных на экстремум.

Доклад: Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Вопросы для обсуждения:

1. Критические (стационарные) точки.

2. Теорема о достаточном условии экстремума.

3. Нахождение экстремума функции двух переменных.

4. Метод множителей Лагранжа.

Самостоятельное изучение (10 час)

1. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

2. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

3. Понятие двойного интеграла.

Тема 14. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.

Функция полезности (предпочтений). Производственная функция. Функция выпуска. Функция издержек. Функции спроса, потребления и предложения. Мультипликативные функции. Сепарабельные функции. Аддитивные функции. Функции Торнквиста. Паутинообразная модель. Кривые безразличия. Интерполирование функций.

Самостоятельное изучение (8 час)

РАЗДЕЛ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 15. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнений прямой.

Уравнение линии (кривой) на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 16. Кривые второго порядка.

Нормальное уравнение окружности. Общее уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Каноническое уравнение эллипса. Гипербола и ее каноническое уравнение. Фокус, директриса, параметр параболы.

Самостоятельное изучение (10 часов)

Тема 17. Точечные множества в n – мерном пространстве.

Арифметическое точечное пространство Aⁿ. Арифметическая точка. Арифметический вектор. N – мерное арифметическое точечное пространство Aⁿ. Прямая в Aⁿ. Отрезок. Различные виды плоскостей в пространстве Aⁿ. Специальные формы уравнения плоскости в A³.

Самостоятельное изучение (8 час)

Тема 18. Операции над векторами и матрицами.

Векторы. Длина вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости векторов. Базис и ранг системы векторов. Представление вектора в координатной форме. Действия с векторами, заданными в координатной форме. Скалярное произведение. Угол между векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами. Транспонированная матрица. Единичная матрица. Обратная матрица. Способы её нахождения. Ранг матрицы. Экономическая интерпретация многомерных векторов и матриц.

Лекционные занятия (1 час)

1. Векторы и их свойства. Операции над векторами.

2. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов.

3. Матрицы, линейные операции над матрицами.

4. Произведение матриц. Транспонирование матриц.

Семинарские занятия (1 час)

Тема семинара: Операции над векторами и матрицами.

Доклад: Линейные операции над векторами и матрицами.

Вопросы для обсуждения:

1. Основные сведения о векторах и матрицах.

2. Операции над матрицами.

3. Виды матриц. Обратная матрица.

4. Ранг матрицы.

Самостоятельное изучение ( 8 час)

Тема 19. Определители и их свойства.

Понятие определителя n – го порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей. Способы вычисления определителей.

Лекционные занятия (1час)

1. Определители квадратных матриц. Вычисление определителей.

2. Основные свойства определителей.

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Семинарское занятие (1 час)

Тема семинара: Вычисление определителей.

Доклад: Практический способ вычисления определителей.

Вопросы для обсуждения:

1. Определители II порядка.

2. Определители III порядка.

3. Применение свойств определителей для их вычисления.

4. Теорема Лапласа.

Самостоятельное изучение (8час)

Тема 20. Системы линейных уравнений.

Основные понятия и определения. Условия совместимости и определённости систем. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Общее решение неоднородной системы. Однородные системы линейных уравнений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Теорема Кронекера – Капели. Геометрический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными.

Лекционное занятие (2 часа).

1. Общий вид и свойства системы уравнений.

2. Метод обратной матрицы.

3. Метод Крамера.

4. Метод Гаусса.

5. Однородные системы линейных уравнений.

Семинарское занятие (2 часа).

Тема семинара: Способы решения систем линейных уравнений.

Доклад: Системы линейных алгебраических уравнений.

Вопросы для обсуждения:

1. Матричная форма системы уравнений.

2. Решение систем методом обратной матрицы.

3. Нахождение решения систем по формулам Крамера.

4. Прямой и обратный ход по методу Гаусса.

Самостоятельное изучение (10 час)

1. Фундаментальная система решений.

2. Модель Леонтьева (балансовый анализ).

Тема 21. Пространство в Rⁿ. Линейные операции над векторами.

Определение n – мерного вектора. Линейные операции над векторами. Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Переход к новому базису. Линейно зависимые и линейно независимые векторы.

Самостоятельное изучение (3 часа)

Тема 22. Евклидово пространство. Линейные операторы.

Скалярное произведение двух векторов, его свойства. Определение Евклидова пространства. Неравенство Коши – Буняковского. Линейные операторы. Матрица оператора. Действия над линейными операторами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Самостоятельное изучение (8 час)

Тема 23. Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм.

Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Линейная модель обмена. Модель международной торговли.

Самостоятельное изучение (8 час)

Тема 24. Комплексные числа и многочлены.

Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра. Формула Эйлера.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Определение комплексных чисел.

2. Арифметические операции над комплексными числами.

3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Семинарское занятие (2часа)

Тема семинара: Действия над комплексными числами.

Доклад: Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Вопросы для обсуждения:

1. По данным комплексным числам найти их сумму, разность, произведение, частное.

2. Представление комплексных чисел в тригонометрической форме.

3. Формулы Муавра и Эйлера.

Самостоятельное изучение (8 час)

Тема 25. Классификация задач математического программирования. нелинейное программирование.

Математическое программирование. Задача об использовании ресурсов. Задача о пищевом рационе. Специальные классы задач математического программирования. Линейное программирование. Целевая функция, ограничения. Задачи линейного программирования. Математическая модель ЗЛП.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Предмет математического программирования.

2. Классификация методов математического программирования.

3. Понятие линейного программирования.

4. Задачи линейного программирования (ЗЛП).

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Линейное программирование.

Доклад: Модель задачи математического программирования.

Вопросы для обсуждения:

1. Определение математического программирования.

2. Модель задачи математического программирования.

3. Допустимый и оптимальный план.

4. Определение линейного программирования. Математическая модель ЗЛП.

5. Задачи линейного программирования: задача о пищевом рационе, задача о наилучшем использовании ресурсов.

6. Запись общей задачи ЛП; различные формы задач ЛП и их эквивалентность.

Самостоятельное изучение (8 час)

1. Различные формы задач ЛП.

2. Примеры простейших задач ЛП.

3. Виды математического программирования.

Тема 26. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования.

Графический метод. Наглядность графического метода. ЗЛП с двумя переменными. Выпуклое множество. Область допустимых решений ЗЛП, возможные ситуации. Геометрическая интерпретация целевой функции. Градиент функции. Порядок графического решения ЗЛП.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Сущность графического метода.

2. Область допустимых решений ЗЛП.

3. Градиент функции и его значение.

4. Алгоритм решения ЗЛП графическим методом.

5. Возможные случаи при решении ЗЛП графическим методом.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Графическое решение ЗЛП.

Доклад: Алгоритм решения ЗЛП графическим методом.

Вопросы для обсуждения:

1. Общий вид ЗЛП с двумя переменными.

2. Геометрическая интерпретация элементов ЗЛП.

3. Нахождение градиента функции.

4. Порядок графического решения ЗЛП.

5. Возможные случаи.

6. Определение оптимального плана выпуска изделий.

Самостоятельное изучение (10 часов)

1. Возможные случаи при решении задачи ЛП.

2. Экономический анализ задач ЛП, решаемых графическим способом.

Тема 27. Симплексный метод.

Общая идея симплекс – метода. Построение начального опорного плана. Система ограничений в предпочтительном виде. Дополнительные переменные. Искусственный базис. М – задача. Критерии оптимального опорного плана. Симплексные таблицы. Контроль вычислений. Понятие о вырожденности. Правило прямоугольника.

Лекционное занятие (2часа)

1. Общая идея симплексного метода.

2. Построение начального опорного плана.

3. Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы.

4. Переход к нехудшему опорному плану.

5. Симплексные преобразования. Контроль вычислений.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Симплексный метод.

Доклад: Симплексные преобразования.

Вопросы для обсуждения:

1. Система ограничений в предпочтительном виде.

2. Признак оптимальности опорного плана (на максимум, минимум).

3. Симплекс – таблица. Индексная строка.

4. Переход к нехудшему опорному плану. Разрешающий столбец (строка), наименьшее симплексное отношение.

5. Симплексное преобразование. Правило прямоугольника.

6. Итерация. Контроль вычислений.

7. Понятие о вырожденности.

Самостоятельное изучение (8 часов)

1. Признак бесконечности множества оптимальных планов.

2. Понятие о вырожденности. Монотонность и конечность симплекс – метода. Зацикливание.

Тема 28. Транспортная задача.

Закрытая ТЗ. Открытая ТЗ. Математическая модель ТЗ. Оптимальное решение. Нахождение исходного опорного решения невырожденной ТЗ. Проверка решения на оптимальность. Метод северо – западного угла. Метод минимального тарифа. Метод потенциалов. Метод Фогеля. Вырожденность в ТЗ. Применение транспортных моделей в экономических задачах.

Лекционное занятие (2 часа)

1. Сущность ТЗ. Виды ТЗ. Математическая модель ТЗ.

2. Решение закрытой ТЗ.

3. Проверка решения на оптимальность.

4. Пример ТЗ.

Семинарское занятие (2 часа)

Тема семинара: Решение закрытой ТЗ.

Доклад: Методы решения ТЗ.

Вопросы для обсуждения:

1. Метод северо – западного угла.

2. Метод минимального тарифа.

3. Метод потенциалов.

4. Метод Фогеля.

5. Открытая ТЗ.

Самостоятельное изучение (10 часов)

1. Метод Фогеля.

2. Открытая ТЗ.

3. Вырожденность в ТЗ.

4. Применение транспортных моделей в экономических задачах.

Тема 29. Двойственность в линейном программировании.

Постановка взаимно двойственных задач. Основное неравенство для двойственных задач. Основная теорема двойственности и её следствие. Критерий оптимальности. Применение двойственности. Метод одновременного решения пары двойственных задач.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 30. Дискретное программирование.

Целочисленные задачи ЛП. Задача о контейнерных перевозках. Задача о назначении. Сущность методов дискретной оптимизации. Метод ветвей и границ, метод отсечения. Метод Беллмана.

Самостоятельное изучение (10 час)

Тема 31. Элементы динамического программирования.

Сущность динамического программирования. Метод динамического программирования: условие отсутствия последствия и условие аддитивности целевой функции. Идеи метода ДП.

Самостоятельное изучение (10 час)

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒