Математический аппарат квантовой механики

Классическая механика и электродинамика при попытке применить их объяснению атомных явлений, как об этом говорилось ранее, приводили к результатам, находящихся в резком противоречии с экспериментом. Наиболее яркий тому пример - попытка применения классической электродинамики к модели атома, в которой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам. При таком движении, как и при всяком движении зарядов с ускорением, электроны должны были бы непрерывно излучать энергию в виде электромагнитных волн и в конце концов - неизбежно упасть на положительно заряженное ядро. Таким образом - с точки зрения классической электродинамики - атом неустойчив. Как мы видим - этот тезис не соответствует действитель-ности. Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свиде-тельствует о том, что описание микрообъектов требует фундамен-тального изменения в основных классических представлениях и законах.

Естественно, что столь радикальное изменение физических представлений о движении требует и столь же радикального изменения математического аппарата.

Законы квантовой механики могут быть рассмотрены с помощью операторов – математического аппарата квантовой механики.

Оператором Â принято называть правило или закон, согласно которому каждой функции f из некоторого класса функций соответствует функция j:

 f = j

Простейшие примеры операторов: извлечение квадратного корня, дифференцирование и т.д.

Например

Не на каждую функцию можно подействовать любым операто-ром, например на недифференцируемую функцию нельзя подействовать оператором дифференцирования. Поэтому любой оператор бывает определен лишь на некотором классе функций и считается заданным, если указано не только правило, по которому он одну функцию преобразует в другую, но и множество функций, на которые он действует. По аналогии с алгеброй чисел можно ввести и алгебру операторов:

1. Сумма или разность операторов (Â ± Ĉ )·f = · Â f ± Ĉ f

2. Произведение операторов Â Ĉ f = Â (Ĉ f)

т.е. сначала на функцию f действует оператор Ĉ, образуя некоторую новую функцию, на которую затем действует оператор Â . В общем случае действие оператора Â Ĉ не совпадает с действием оператора Ĉ Â.

Действительно, если Â =d/dx и Ĉ =x, то

 Ĉ f = d/dx(xf) = f + x df / dx, Ĉ  f = x f/ dx ¹  f + x df / dx

3. Если Â Ĉ = Ĉ Â, то операторы называютсякоммутирующими.

AB - BА º {A, B}. Выражение в скобках называется коммутатором.

4. В квантовой механике обычно используются линейные самосопряженные (или эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что

 (c₁f₁ + c₂f₂)f= c₁  f₁ + c₂  f₂, .....

где c₁ и c₂ - константы, а f₁ и f₂ - произвольные функции, на которых определен оператор Â

Самосопряженным эрмитовым оператором называется оператор, для которого выполняется равенство:

ò f₁*(x)( Â f₂(x)) dx = ò f₂(x)( Â *f₁*(x)) dx,

при этом предполагается, что Â определен на f₁*(x) и f₂(x) и все интегралы, входящие в это выражение, существуют.

 * получается из  изменением знака перед мнимой частью.

Требование эрмитовости очень важно для квантовой механики.

В квантовой механике используются векторные операторы:

1. (набла)

	® ® ®

= i д/ дх +j д/ ду + k д/ дz

	® ® ®

f = i дf/ дх +j дf/ ду + k дf/ дz

D (дельта или лапласиан)

	® ® ®

D = i д²/ дх² +j д²/ ду² + k д²/ дz²

	® ® ®

Df = i д²f/ дх² +j д²f/ ду² + k д²f/ дz²

 

Операторные уравнения

Как уже говорилось, действие оператора сводится к преобразованию одной функции в другую, однако возможны и такие случаи, когда в результате действия оператора исходная функция не изменяется, либо умножается на константу. Простейший пример:

(d/dx)exp(ax) = aexp(ax)

Можно утверждать, что каждому оператору можно сопоставить линейное уравнение (операторное уравнение) вида:

 f = af,

где a = const. a - собственное значение оператора, а f - собственная функция оператора. Это уравнение называется уравнением на собственное значение. Значения постоянных, при которых это уравнение принима-ет ненулевые решения, называют собственными значениями. Все вместе они образуют спектр (набор) собственных значений, который может быть дискретным, непрерывным или смешанным. Каждому значению соответствует одна или несколько собственных функций f_m, причем если одному собственному значению соответствует только одна функция, то оно является невырожденным, а если несколько - то вырожденным.

Например Â f₁ = a₁f₁.

Собственные функции и собственные значения эрмитовых (самосопряженных) операторов обладают рядом свойств, описанных в теоремах квантовой механики.

 

Теоремы квантовой механики

Теорема 1. Собственные значения самосопряженных операторов вещественны.

Теорема 2. Собственные функции f_n(x) и f_m(x) самосопряженного оператора Â, принадлежащих различным собственным значениям A_n¹ A_m, ортогональны между собой, т.е.:

ò f_m*(x)f_n(x)dx = 0

Собственные функции должны быть нормированы на единицу введением специального нормировочного множителя:

ò ½ j_n(x)½ ²dx =1

Происходит замена j_n(x)= f_n(x)/N, т.е. нормировка, где 1/N - номировочный множитель.

ò j_m*(x)j_n(x)dx = d_mn – символ Кронекера.

d_mn = 1, если m=n – свойство нормированности,

d_mn = 0, если m¹ n – свойство ортогональности.

Физический смысл нормированности состоит в вероятности обнаружить частицу в объеме пространства, и она равна 1.

Ортогональность означает, что система может находиться в состоянии либо E_m либо E_n, т.е. частицы не могут находиться на том и другом уровне, а такие орбитали не перекрываюся.

Теорема 3. Если несколько собственных функций принадлежат одинаковым собственным значениям, то любая линейная комбинация этих функций является решением операторного уравнения с тем же собственным значением.

 F(x)= AF(x)

 F(x)=  (С₁f₁+С₂f₂)=С₁ f₁+ С₂ f₂= С₁A₁f₁+ С₂A₂f₂=A(С₁f₁+С₂f₂)=AF(x)

Теорема 4. ( свойствополноты системы собственных функций ).

Собственные функции эрмитова оператора образуют полный ортонормированный набор, т.е. любую функцию, определенную в этой же области переменных можно представить в виде ряда по собственным функциям оператора Â:

F(x)= SС_nf_n(x).....(где С_n - некоторые константы), и это разложение будет точным.

Теорема 5. Если два оператора Â и Ĉ и имеют общую систему собственных функций, то они коммутируют.

 Ĉ – Ĉ  = 0

Теорема 6 (обратная). Если Â и Ĉ коммутируют, то они имеют общие собственные функции.

⇐ Предыдущая18192021222324252627Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Основные физические явления и процессы в электрических аппаратах
2. III Часть. Аппаратное обеспечение обработки информации
3. Анализатор – это сложная нейродинамическая система, которая представляет собой афферентную часть рефлекторного аппарата.
4. Аппарат Президента Республики Беларусь
5. Аппаратная архитектура и типы подключений
6. Аппаратура для исследования помехоподавляющих свойств фильтра
7. Аппаратура для физиотерапии.
8. Аппаратура, материалы и реактивы
9. Аппаратурно-технологическая схема приготовления слоёного п/ф (традиционного)
10. Аппараты для электрофизиологических исследований.
11. Б.2. Математический и естественнонаучный цикл
12. Вопрос- Аксиомы классической механики