Физический и математический маятники

1. Физический маятник – абсолютно твердое тело (рис.20), совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

Движение маятника можно рассматривать как вращательное движение тела вокруг заданной неподвижной оси. Легко заметить, что на маятник действует момент сил, стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Величина этого момента сил (рис.20):

Рис.20

где l – расстояние от оси вращения до центра тяжести; – угол отклонения от положения равновесия.

На основании основного закона динамики вращательного движения имеем:

или ,

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения.

Если амплитуда колебаний мала, то мал и угол отклонения от положения равновесия и, поэтому, синус можно заменить радианной мерой угла, т.е. . Поэтому

Последнее уравнение приводится к следующему виду:

Сравнивая последнее уравнение с выражением (31) получим выражение для циклической частоты колебаний физического маятника:

Для периода малых по амплитуде колебаний физического маятника имеем:

. (32)

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Поэтому период малых по амплитуде колебаний можно представить и следующим выражением:

2. Малое по размерам тело массы m, укрепленное на невесомом подвесе длины l, называется математическим маятником.

Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Момент инерции для математического маятника

Поэтому в соответствии с формулой (32) для периода колебаний математического маятника получим:

Как можно заметить из последней формулы, период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Однако период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды колебания (но только в том случае, если амплитуда мала). Поэтому измерения периода малых колебаний маятника могут быть использованы для определения ускорения свободного падения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения формы Земли и гравиметрическая разведка полезных ископаемых.

Скорость, ускорение и энергия

При гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях смещение колеблющейся точки от положения равновесия имеет вид (см.формулу 31):

где А – амплитуда колебаний.

Скорость колеблющейся точки

Так как материальная точка, совершая колебания, обладает скоростью, то в каждый момент времени она обладает и кинетической энергией:

Ускорение материальной точки в каждый момент времени равно:

Потенциальная энергия измеряется работой внешних сил, которая совершена для того, чтобы вызвать определенное смещение x, и равна

Полная энергия будет равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

Необходимо обратить внимание на то, что полная энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды.

Сложение колебаний одинакового направления

И равных частот

Прежде всего, рассмотрим геометрический способ представления колебаний с помощью вектора амплитуды.

Из точки О под углом a отложим вектор, численно равный амплитуде колебания. Будем вращать этот вектор с угловой скоростью wпротив часовой стрелки. В некоторый момент t угол станет равным (wt + a), а проекция вектора А на ось x (рис.21)

x = Аcos(wt + a). (33)

Следовательно, проекция вектора амплитуды на ось x является геометрическим аналогом гармонических колебаний, которые описываются уравнением (33).

Рис.21

Часто приходится иметь дело с таким движением, при котором тело участвует одновременно в двух или нескольких колебательных движениях, частоты которых одинаковы.

Допустим, что имеется два колебания одинакового направления и одинаковой частоты, происходящих с некоторой начальной разностью фаз и имеющих разные амплитуды. Графики векторов амплитуды этих колебаний представлены на рис.22 (для момента времени t = 0)

Результирующий вектор будет иметь постоянную величину и, очевидно, будет вращаться с той же угловой скоростью. Таким образом, результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой w, амплитудой А и начальной фазой a.

Амплитуду А и начальную фазу a можно найти из чертежа рис.22:

Рис.22

;

Графический метод сложения колебаний одного направления и одинаковых частот удобен для решения практических задач и часто используется особенно в электротехнике.

Биения

Биения : – колебания, возникающие при сложении двух одинаково направленных колебаний одинаковых амплитуд и с мало отличающимися частотами.

Получим уравнение для биений, считая для простоты амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний одинаковыми:

;

Величину можно рассматривать как амплитуду колебаний, медленно (с частотой ) меняющуюся со временем.

На рис.23 приведен график биений. Но, строго говоря, это не гармоническое колебание, а амплитудно-модулированное колебание.

Биения используются при приеме радиосигналов.

Рис.23

Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 15 16 17 18 19 Следующая