Аналитически метод выравнивания

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 25Следующая ⇒

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени:

Модели для аналитического выравнивания рядов динамики имеют вид:

- линейная функция;

- парабола второго порядка;

- показательная функция.

Выбор формы тренда (вида кривой ) практически редко сделать на основе одного только содержательного анализа. Обычно на 1-м этапе выбора отбирают функции, пригодные с позиций содержательного анализа, а на 2-м этапе вид функции конкретизируется с помощью иных подходов и приёмов, имеющих эмпирический характер.

Наиболее простой эмпирический приём - визуальный: выбор форм тренда на основе графического изображения ряда - ломаной линии. В случае очень сильных и резких колебаний уровня целесообразно использовать график скользящей средней. Нередко, однако, ни график уровней, ни график скользящей средней не могут дать ответ об оптимальной форме тренда. В таких случаях целесообразен анализ цепных абсолютных приростов и темпов прироста (включая их сглаживание с помощью скользящей средней).

Если цепные абсолютные приросты относительно стабильны , не имеют отчётливой тенденции к росту или снижению, т.е. если уровень явления изменяется с достаточно постоянной абсолютной скоростью (D»const), то в качестве формы тренда нужно принять прямую линию (линейную функцию):

. (33)

Если же относительно стабильными являются цепные темпы прироста, т.е. если уровень явления растёт с более или менее постоянной относительной скоростью (Тi » const), то в качестве формы тренда следует принять показательную кривую:

. (34)

В тех же случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее равномерно увеличиваются (или уменьшаются), т.е. если уровень ряда динамики изменяется с равномерно возрастающей (или убывающей) абсолютной скоростью, в качестве формы тренда (аппроксимирующей функции) можно принять параболу второй степени:

. (35)

После выбора вида кривой вычисляются её параметры. Расчёт параметров обычно производится методом наименьших квадратов. Это означает, что ставится и решается задача: из множества кривых данного вида найти ту, которая обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от соответствующих им во времени выровненных (расчётных) уровней, лежащих на искомой кривой:

(36)

где фактические уровни, выровненные (модельные) уровни.

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой(33). Параметры и искомой прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путём решения такой системы нормальных уравнений:

(37)

где t – время (порядковый номер интервала или момента времени).

Решают эту систему и получают числовые значения параметров линейного тренда и .

Чтобы найти неизвестные параметры параболы второго порядка переходят к системе уравнений, которая имеет вид:

(38)

На основании решении этой системы можно рассчитать числовые значения параметров.

Аналогичным образом определяют неизвестные параметры и для других трендовых моделей.

Аналитическое выравнивание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых отсутствует информация.

Нахождение по имеющимися данными за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого периода называется интерполяцией. Нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией.

Применение экстраполяции для прогнозирования должно базироваться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохранятся и вне этого ряда. Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменения уровней ряда во времени, сохранятся и в будущем.

При составлении прогноза уровней социально – экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. При этом границы интервалов определяются по формуле:

, (39)

где точечный прогноз, рассчитанный по отобранной модели;

коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости ;

среднее квадратическое отклонение тренда.

При этом среднее квадратическое отклонение тренда рассчитывается по формуле:

, (40)

где и соответственно фактические и выравненные значения уровней динамического ряда;

число уровней ряда;

число определяемых параметров трендовой модели.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе динамических рядов с использованием трендовых моделей выбираются несколько конкурирующих моделей. После выполнения необходимых вычислении производится выбор наилучшей модели тренда.

В качестве грубого критерия отбора иногда применяют среднее квадратическое отклонение, вычисленное по формуле (40). Выбирается тот тренд, для которого меньше среднее квадратическое отклонение.

Проиллюстрируем выравнивание ряда динамики по прямой и по параболе второго порядка.

Пример 5. В табл.5 представлена динамика производства мяса в регионе.

Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,	Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,
		-	-

Необходимо рассчитать прогноз производства мяса в регионе на 2012год с вероятностью 0, 99, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана: а) линейной моделью (33); б) параболической моделью (35).

Решение. Расчета коэффициентов нормальных уравнений линейного тренда (37) и параболического тренда (38) сведем в таблицу 6.

Таблица 6. Расчет параметров систем нормальных уравнений трендовых моделей

Годы

Итого

На основании таблицы (6) составим нормальные уравнения линейного тренда (37), которые имеют вид:

После решения этой системы были получены числовые значения неизвестных параметров: =160, 73; =3. Следовательно, модель линейного тренда примет вид:

. (40)

Теперь необходимо составить систему нормальных уравнений параболического тренда (38):

Решение этой системы дает результат: =149, 05; =7, 12; =-0, 26.

Далее для уравнений параболы (35) составим модель параболического тренда:

. (41)

Аналитическое выравнивание ряда динамики не только делает более чётким направление основной тенденции, но одновременно даёт также числовую её характеристику. В частности, при выравнивании по прямой параметр это абсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени , или средний абсолютный прирост с учётом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии). Так, в нашем примере, =3 означает, что выровненный валовой сбор ежегодно увеличивался на 3 млн. т.

В дальнейшем необходимо рассчитать выравненные значения уровней для трендовых моделей (40) и (41). С этой целью в подобранные модели последовательно необходимо подставить текущие номера уровней t. Результаты подсчетов сведем в табл. 6.

Таблица 7 - Расчётная таблица при выравнивании по прямой и по параболе ряда динамики производства мяса в регионе.

Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,	Обозначение времени t	Выравненные уровни по линейному тренду,	Выравненные уровни по параболическому тренду,
			163, 73 166, 73 169, 73 172, 73 175, 73 178, 73 181, 73 184, 73 187, 73 190, 73 193, 73 196, 73 199, 73 202, 73 205, 73	155, 91 162, 25 168, 07 173, 37 178, 15 182, 41 186, 15 189, 37 192, 07 194, 25 195, 91 197, 05 197, 67 197, 77 197, 35

После выравнивания уровней динамического ряда посредством двух моделей стало очевидным тенденция к росту производства мясо в регионе.

Для выполнения прогноза производства мясо в регионе необходимо рассчитать средние квадратические отклонения каждой модели. Необходимые вычисления сведем в табл. 8.

Таблица 8 - Расчёт сумм квадратов остаточных отклонений

Годы	Линейный тренд	Параболический тренд

	7, 27 -18, 73 0, 27 -10, 73 11, 27 2, 27 -13, 73 38, 27 8, 27 -50, 73 30, 27 -0, 73 37, 27 -23, 73 -16, 73	52, 85 350, 81 0, 07 115, 13 127, 01 5, 15 188, 51 1464, 59 68, 39 2573, 53 916, 27 0, 53 1389, 05 563, 11 279, 89	15, 09 -14, 25 1, 93 -11, 37 8, 85 -1, 41 -18, 15 33, 63 3, 93 -54, 25 28, 09 -1, 05 39, 33 -18, 77 -8, 35	227, 71 203, 06 3, 72 129, 27 78, 32 1, 99 329, 42 1130, 98 15, 44 2943, 06 789, 05 1, 10 1546, 85 352, 31 69, 72
Итого	-	8094, 89	-	7822, 01

На основании этой таблицы рассчитаем средние квадратические отклонения моделей:

линейный тренд:

24, 95;

тренд параболы:

25, 53.

Так как модель линейной функций имеет меньшую среднеквадратическую ошибку то она и будет использоваться для прогнозирования.

Для этого в подобранный модель (40) вместо параметра t подставляется время упреждения . В результате получим точечный прогноз показателя:

208, 73 тыс. т.

Далее по числу степеней свободы и заданной вероятности 0, 99 из специальных таблиц найдем коэффициент доверия к прогнозу. И он равен . На основании выражения (39) запишем границы прогнозируемого показателя: