Тема 3 Статистическая проверка простых гипотез

1 Гипотеза о соответствии статистической функции распреде­ления теоретической

2 Критерии Колмогорова и Пирсона

3 Гипотеза о принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности

4 Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик

 

Основные понятия по теме

Для проверки гипотезы соответствия статистической функции распределения теоретической функции F(x) (например, нормаль­ному закону) в практике обработки геофизических данных получили распро­странение критерии Колмогорова и Пир­сона (c²).

 

 

Согласно крите­рию Колмогорова вычисляется вели­чина

, (3.1)

где – максимум модуля отклоне­ния статистической и теоретической функ­ций распределения. По величине l в со­ответствии с ее распределением находится вероятность P(l) совпадения распределений. Если P(l) мало (обычно < 0, 5), гипотеза о соответствии статистической и теоре­тической функции распределения отвергается.

Согласно критерию Пирсона вычисляется значение

(3.2)

где m_i – число значений случайной величины в i-ом разряде гистограммы; p_i – вероятности сравниваемого с экспериментальным теоретического распределения; r – число разрядов гистограммы.

По значению c² и числу степеней свободы k=r-s (s – число наложенных связей) с помощью таблицы вероятностей P(c²) определяют вероятность того, что величина, имеющая c² с k степенями свободы, превысит данное значение c². Если эта вероятность мала, гипотеза о соответствии экспериментального распределения теоретическому отвергается.

При сопоставлении статистической функции с нормальным законом распределения s=3, т.к. у распределения 2 параметра и одна связь забирается на задание конкретного вида распределения.

Теоретические частоты определяются следующим образом: находят оценки среднего и дисперсии и . Полученные экспериментальные данные центрируют и нормируют, переходя к значениям , вычисляют концы разрядов гистограммы:

. (3.3)

Далее вычисляют теоретические вероятности p_i попадания значений x в интервалы по формуле

(пример 2).

Другая важная гипотеза – о принадлежности двух выборок к одной и той же генеральной совокупности (т.е. две выборки распределены по одному и тому же закону с одинаковыми параметрами).

Согласно критерию Смирнова-Колмогорова определяется величина

–

максимальная разность двух функций распределения.

Далее вычисляется параметр

(3.4)

и по таблице для распределения Колмогорова находится вероятность Р(l). Если Р(l) мало, гипотеза об одинаковом распределении двух выборок X и Y отвергается.

Используется также критерий c² в виде

 

, (3.5)

где и - соответственно частоты сравниваемых выборок X и Y.

Этот критерий при больших n₁ и n₂ распределен по закону c² с (r-1) степенями свободы.

Часто вместо сравнения самих распределений, когда выборочное распределение построить трудно, ограничиваются проверкой гипотезы о равенстве числовых характеристик: среднего, дисперсии и других моментов распределения.

Для сравнения средних двух выборок X и Y можно использовать расчет доверительных интервалов:

(3.6)

Если эти интервалы пересекаются, то с вероятностью g можно утверждать равенство средних и .

Более точный метод сравнения средних двух выборок базируется на критерии Стьюдента. Если распределения выборок принимаются нормальными, то равенство с вероятностью g удовлетворяется при выполнении условия

t< t_g,

где

, (3.7)

а t_g - g- квантиль распределения Стьюдента с k= (n₁ + n₂ -2) степенями свободы.

Метод сравнения дисперсий в предположении о нормальности распределения обеих выборок основан на критерии Фишера. Вычисляется величина

, (3.8)

где s₁² и s₂² – выборочные дисперсии, причем s₁²> s₂².

Величина F подчиняется распределению Фишера с (n₁-1) и (n₂-1) степенями свободы.

Гипотеза о равенстве дисперсий принимается с вероятностью g при F< F_g, где F_g - g-квантиль распределения Фишера с (n₁-1) и (n₂-1) степенями свободы.

 

Пример 2 По данным примера 1 проверить нормальность распределения данных измерения плотности образца по критериям Пирсона (c²) и Колмогорова.

Для проверки гипотезы о нормальности распределения по критерию c² необходимо вычислить теоретические частоты. С этой целью определяют границы полученных интервалов (см. пример 1) для центрированной и нормированной случайной величины по формуле (3.3). Результат представлен в таблице 5 (графы 4 и 5).

Далее определяем вероятности попадания случайной величины в эти нормированные интервалы. Для этого, пользуясь таблицами нормального распределения, определяем значения центрированной и нормированной случайной величины на границах интервалов (столбцы 6, 7 таблицы 5). Теоретические частоты np_i определяем по формуле

(3.9)

(графа 8 таблицы 5).

Суммируя значения в столбце 9, определяем значение критерия c²=5, 92. Оно меньше табличного значения c², полученного при 50%-ном уровне значимости с k=7 степенями свободы. Таким образом, гипотеза о нормальности полученного распределения не противоречит по критерию Пирсона результатам измерений.

 

Таблица 5 – Результаты статистической обработки данных

 

Разряд	Частота в интервале	Накопл. частоты	Нормиров. и центриров. интервалы			npi
			- ∞	-1, 77	0, 0384		3, 84	0, 35
			-1, 77	-1, 36	0, 0869	0, 0384	4, 85	2, 06
			-1, 36	-0, 94	0, 1736	0, 0869	8, 67	0, 32
			-0, 94	-0, 52	0, 3015	0, 1736	12, 79	1, 32
			-0, 52	-0, 1	0, 4602	0, 3015	15, 87	0, 94
			-0, 1	0, 31	0, 6217	0, 4602	16, 15	0, 29
			0, 31	0, 73	0, 7673	0, 6217	14, 56	0, 17
			0, 73	1, 15	0, 8749	0, 7673	10, 76	0, 01
			1, 15	1, 56	0, 9406	0, 8749	6, 57	0, 31
			1, 56	∞		0, 9406	5, 94	0, 15

 

Согласно критерию Колмогорова, вычисляем величину

,

где .

Сравнивая значения столбцов 3 и 6 таблицы 5, получаем максимальное расхождение между экспериментальной и теоретической функциями распределения D= 0, 0685.

Таким образом, l=0, 685, и по таблице распределения Колмогорова определяем Р(l)=0, 84. Окончательно, согласно критериям Пирсона и Колмогорова гипотеза о нормальности распределения результатов измерения плотности горной породы принимается.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Как проверяется гипотеза о соответствии статистической функции теоретической по критерию Колмогорова?

2 Как проверяется гипотеза о соответствии статистической функции теоретической по критерию Пирсона?

3 Как проверяется гипотеза о равенстве статистических распределений?

4 Как проверяется гипотеза о равенстве средних?

5 Как проверяется гипотеза о равенстве дисперсий? С какой целью проверяется эта гипотеза?

 

Лабораторная работа 3

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ПО РАЗДЕЛАМ, ТЕМАМ
2. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
3. III. КУЛЬТУРА КАК СИСТЕМА ЦЕННОСТЕЙ
4. III. Тема: Последний император
5. IV. КУЛЬТУРА КАК ЗНАКОВО–СИМВОЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
6. V. Понятия моделирующая система и вторичная моделирующая система
7. V2: Тема 7.1 Обзор строения головного мозга. Основание головного мозга. Выход черепных нервов (ЧН). Стадии развития. Продолговатый мозг, мост.
8. V2: Тема 7.2 Ромбовидная ямка. Мозжечок.
9. V2: Тема 7.3 Средний мозг. Промежуточный мозг.
10. V2: Тема 7.5 Плащ. Центры первой и второй сигнальных систем. Функциональные системы головного мозга.
11. XI. Учебно-теоретическая конференция. Тема 11. Расследование деяний, совершаемых лицами с дефектами психики и организованными преступными группами
12. XVIII. Семинар. Тема 23 и 24. Судебные прения. Последнее слово подсудимого. Приговор.