ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по спецкурсу

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

для студентов специальности 1-51 01 01

«Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 « Геофизические методы поисков»

Гомель

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

УДК 550.83 (075.8)

ББК 26.324.34 я73

Ф 338

Рецензент:

кафедра геологии и разведки полезных ископаемых

учреждения образования «Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины»

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом

учреждения образования «Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины»

Федосенко, Л. Л.

Ф 338 Теоретические основы обработки геофизической информации: практическое пособие по спецкурсу для студентов специальности 1- 51 01 01 «Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 « Геофизические методы поисков» / Л. Л. Федосенко; М-во образования РБ, Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2009. – 63 с.

Целью практического пособия по спецкурсу является оказание помощи студентам в усвоении принципов и приемов статистической обработки геофизических данных. Практическое пособие включает основные понятия по теме, вопросы для самоконтроля, задания по выполнению лабораторных работ, список литературы и адресовано студентам специальности 1- 51 01 01 «Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 « Геофизические методы поисков».

УДК 550.83 (075.8)

ББК 26.324.34 я73

университет им. Ф. Скорины», 2009

Содержание

Введение 4

Тема 1 Элементы теории вероятностей 5

Тема 2 Статистическая оценка случайной величины 12

Тема 3 Статистическая проверка простых гипотез 18

Тема 4 Корреляционно-регрессионный анализ 28

Тема 5 Дисперсионный анализ 39

Тема 6 Спектральный анализ 49

Литература 61

Введение

Целью подготовки практического пособия по спецкурсу «Теоретические основы обработки геофизической информации» является оказание помощи студентам в усвоении принципов и приемов статистической обработки геофизических данных. В практическом пособии отражены основы принятия различных статистических гипотез, методы статистических оценок измеряемых физических величин, корреляционно-регрессионный и дисперсионный анализ геофизической информации, спектральный анализ временной и пространственной информации и условия обработки данных. Практическое пособие включает основные понятия по теме, вопросы для самоконтроля, задания по выполнению лабораторных работ, список литературы.

Выполнение лабораторных работ направлено на приобретение студентами навыков исследования определенных свойств заданных величин и включает следующие этапы:

1 Постановку задачи и основных целей лабораторной работы.

2 Выполнение расчетного задания в соответствии со своим вариантом и построение необходимых графических материалов.

3 Формулировка выводов, полученных в ходе выполнения работы.

4 Подготовка отчета о выполненной работе и его защиту.

Структура отчета:

1 Название темы лабораторной работы.

2 Цель лабораторной работы.

3 Материалы и оборудование.

4 Задание по лабораторной работе.

5 Ход выполнения лабораторной работы (поэтапный, с краткими теоретическими обоснованиями действий).

6 Графический материал.

7 Выводы.

Практическое пособие по спецкурсу адресовано студентам специальности 1- 51 01 01 «Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 «Геофизические методы поисков».

Тема 1 Элементы теории вероятностей

1 Понятие случайной величины и вероятности события

2 Функция распределения и плотность функции распределения случайной величины

3 Основные числовые характеристики распределения

4 Нормальный закон распределения

Основные понятия по теме

Случайной называют величину, принимающую в результате эксперимента одно, и только одно возможное значение, заранее неизвестно какое именно и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены. Случайная величина является обоснованной моделью для описания данных геофизических измерений в силу целого ряда случайных факторов, влияющих на показания геофизического поля. Как и для результата отдельного эксперимента, для случайной величины можно установить статистические закономерности, т. е. определить вероятности ее значений.

Случайные величины (СВ) бывают непрерывные и дискретные. Первые из них принимают любые значения на числовой оси. Дискретная СВ принимает вполне определенные значения х₁, х₂, ..., х_n с вероятностями р_i.

Универсальной характеристикой случайной величины является функция распределения F(x), определяющая для каждого значения х на числовой оси вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x)=P(X< x). Она обладает следующими свойствами:

Вероятность попадания значений СВ в интервал (х₁, х₂) определяется соотношением:

P(x₂< X< x₁)= F(x₂)–F(x₁). (1.1)

Значение СВ, для которого функция распределения принимает конкретно заданное значение, называется квантилью распределения, т.е. квантиль – есть аргумент распределения.

Другая важная характеристика СВ – плотность распределения f(x). Плотность распределения

(1.2)

обладает следующими свойствами:

Случайные величины, помимо законов распределения, могут так же описываться числовыми характеристиками, выражающими наиболее существенные особенности распределения. Среди них различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднее квадратическое отклонение, различные моменты распределения).

Математическое ожидание (среднее значение) для дискретной и непрерывной величины определяется соотношениями:

(1.3)

Мода Мо – такое значение СВ, при котором f(х) максимальна (наиболее вероятное значение СВ). Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Медиана Ме (квантиль порядка 0, 5) – это такое значение СВ, при котором функция распределения равна 0, 5, т. е. относительно него равновероятно получение как большего, так и меньшего значения СВ.

Дисперсия характеризует рассеяние СВ, т.е. показывает, насколько тесно сгруппированы возможные значения СВ около центра рассеяния (математического ожидания). Она определяется выражениями:

(1.4)

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации V=σ /Mx.

Начальный момент k-го порядка:

Центральный момент k-го порядка:

Математическое ожидание – начальный момент 1-го порядка, дисперсия - центральный момент 2-го порядка. Из центральных моментов следует отметить еще моменты 3-го и 4-го порядков.

Асимметрия распределения А=μ ₃/σ ³ служит характеристикой «скошенности» (асимметрии) распределения, у симметричного распределения А=0.

Эксцесс распределения Е= μ ₄/σ ⁴ -3 – служит для характеристики т.н. «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения (3 вычитается, чтобы эксцесс наиболее распространенного нормального распределения был равен нулю). Кривые более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным.

Для описания распределения геофизических свойств и полей наиболее широко применяется нормальный закон распределения (закон Гаусса). Он проявляется во всех тех случаях, когда СВ Х является результатом действия большого числа различных факторов (центральная предельная теорема). Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

(1.5)

где параметры распределения и σ имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Вопросы для самоконтроля

1 Что такое случайная величина?

2 Как понимается вероятность некоторого события?

3 Функция распределения случайной величины и ее свойства.

4 Функция плотности распределения и ее свойства.

5 Каким образом можно определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

6 Перечислить основные числовые характеристики распределения случайной величины. Какие свойства случайной величины они отражают?

7 В каких случаях проявляется нормальный закон распределения?

Лабораторная работа 1

Свойства случайной величины

Цель работы: исследование свойств случайной величины по заданному закону ее распределения.

Материалы и оборудование: персональный компьютер, таблицы интегралов и производных.

Задание: дана функция распределения некоторой случайной величины:

где функцию φ (x) выбирают из таблицы 1 согласно своему варианту.

Исследовать свойства случайной величины, распределенной по заданному закону.

Ход работы

1 Построить функцию распределения F(x), составив таблицу ее значений на интервале (0; 1) через 0, 2.

2 Определить по формуле (1.2) функцию плотности распределения, вычислив соответствующие производные.

3 Построить плотность функции распределения f(х), составив таблицу ее значений на интервале (0; 1) через 0, 2.

4 Рассчитать математическое ожидание Мх, вычислив по формуле (1.3) соответствующие интегралы.

5 Определить моду Мо и медиану Ме распределения.

6 Вычислить по формуле (1.4) дисперсию D, а так же среднее квадратическое отклонение σ.

7 Исходя из определения функции распределения, определить вероятность того, что значения случайной величины меньше чем -2; 0, 6; 2. По полученным результатам оценить диапазон возможных значений случайной величины.

8 Определить по формуле (1.1) вероятности попадания значений случайной величины в интервалы (0; 0, 2), (0, 2; 0, 4), (0, 4; 0, 6), (0, 6; 0, 8), (0, 8; 1), (Мх-0, 1; Мх+0, 1), (Ме-0, 1; Ме+0, 1).

9 Полученные для первых пяти интервалов вероятности представить в виде гистограммы (рисунок 1).

10 Сделать выводы о свойствах случайной величины, распределенной по заданному закону.

Таблица 1 – Варианты заданий к лабораторной работе 1

Вариант
φ (х)	sin(π x/2)	x	x²	x³	1-cos(π x/2)	x⁴

Лабораторная работа 2

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒