ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ

Франциска Скорины»

 

 

 

Л. Л. ФЕДОСЕНКО

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ

ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по спецкурсу

для студентов специальности 1-51 01 01

«Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 « Геофизические методы поисков»

 

Гомель

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

УДК 550.83 (075.8)

ББК 26.324.34 я73

Ф 338

 

Рецензент:

кафедра геологии и разведки полезных ископаемых

учреждения образования «Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины»

 

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом

учреждения образования «Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины»

 

Федосенко, Л. Л.

Ф 338 Теоретические основы обработки геофизической информации: практическое пособие по спецкурсу для студентов специальности 1- 51 01 01 «Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 « Геофизические методы поисков» / Л. Л. Федосенко; М-во образования РБ, Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2009. – 63 с.

 

 

Целью практического пособия по спецкурсу является оказание помощи студентам в усвоении принципов и приемов статистической обработки геофизических данных. Практическое пособие включает основные понятия по теме, вопросы для самоконтроля, задания по выполнению лабораторных работ, список литературы и адресовано студентам специальности 1- 51 01 01 «Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 « Геофизические методы по­исков».

 

 

УДК 550.83 (075.8)

ББК 26.324.34 я73

 

 

© Федосенко Л.Л., 2009

© УО «Гомельский государственный

университет им. Ф. Скорины», 2009

Содержание

Введение 4

 

Тема 1 Элементы теории вероятностей 5

 

Тема 2 Статистическая оценка случайной величины 12

 

Тема 3 Статистическая проверка простых гипотез 18

 

Тема 4 Корреляционно-регрессионный анализ 28

 

Тема 5 Дисперсионный анализ 39

 

Тема 6 Спектральный анализ 49

 

Литература 61

Введение

Целью подготовки практического пособия по спецкурсу «Теоретические основы обработки геофизической информации» является оказание помощи студентам в усвоении принципов и приемов статистической обработки геофизических данных. В практическом пособии отражены основы принятия различных статистических гипотез, методы статистических оценок измеряемых физических величин, корреляционно-регрессионный и дисперсионный анализ геофизической информации, спектральный анализ временной и пространственной информации и условия обработки данных. Практическое пособие включает основные понятия по теме, вопросы для самоконтроля, задания по выполнению лабораторных работ, список литературы.

Выполнение лабораторных работ направлено на приобретение студентами навыков исследования определенных свойств заданных величин и включает следующие этапы:

1 Постановку задачи и основных целей лабораторной работы.

2 Выполнение расчетного задания в соответствии со своим вариантом и построение необходимых графических материалов.

3 Формулировка выводов, полученных в ходе выполнения работы.

4 Подготовка отчета о выполненной работе и его защиту.

Структура отчета:

1 Название темы лабораторной работы.

2 Цель лабораторной работы.

3 Материалы и оборудование.

4 Задание по лабораторной работе.

5 Ход выполнения лабораторной работы (поэтапный, с краткими теоретическими обоснованиями действий).

6 Графический материал.

7 Выводы.

 

 

Практическое пособие по спецкурсу адресовано студентам специальности 1- 51 01 01 «Геология и разведка месторождений полезных ископаемых» специализации 1- 51 01 01 02 «Геофизи­ческие методы поисков».

 

Тема 1 Элементы теории вероятностей

1 Понятие случайной величины и вероятности события

2 Функция распределения и плотность функции распределения случайной величины

3 Основные числовые характеристики распределения

4 Нормальный закон распределения

 

Основные понятия по теме

Случайной называют величину, принимающую в резуль­тате эксперимента одно, и только одно возможное значение, заранее неизвестно какое именно и зависящее от случайных причин, ко­торые не могут быть учтены. Случайная величина является обосно­ванной моделью для описания данных геофизических измерений в силу целого ряда случайных факторов, влияющих на показания геофизического поля. Как и для результата отдельного экспери­мента, для случайной величины можно установить статистические закономерности, т. е. определить вероятности ее значений.

Случайные величины (СВ) бывают непрерывные и дискретные. Первые из них принимают любые значения на числовой оси. Дискретная СВ принимает вполне определенные значения х₁, х₂, ..., х_n с вероятностями р_i.

Универсальной характеристикой случайной величины является функция распределения F(x), определяющая для каждого значения х на числовой оси вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x)=P(X< x). Она обладает следующими свойствами:

 

.

Вероятность попадания значений СВ в интервал (х₁, х₂) определяется соотношением:

P(x₂< X< x₁)= F(x₂)–F(x₁). (1.1)

Значение СВ, для которого функция распределения принима­ет конкретно заданное значение, называется кван­тилью распределения, т.е. квантиль – есть аргумент распределе­ния.

Другая важная характеристика СВ – плотность распре­деления f(x). Плотность распределения

(1.2)

обладает следующими свойствами:

Случайные величины, помимо законов распределения, могут так же описываться числовыми характеристиками, выражающими наиболее существенные особенности распределения. Среди них различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднее квадратическое отклонение, различные моменты распределения).

Математическое ожидание (среднее значение) для дискретной и непрерывной величины определяется соотношениями:

(1.3)

Мода Мо – такое значение СВ, при котором f(х) максимальна (наиболее вероятное значение СВ). Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Медиана Ме (квантиль порядка 0, 5) – это такое значение СВ, при котором функция распределения равна 0, 5, т. е. относительно него равновероятно получение как большего, так и меньшего значения СВ.

Дисперсия характеризует рассеяние СВ, т.е. показывает, насколько тесно сгруппированы возможные значения СВ около центра рассеяния (математического ожидания). Она определяется выражениями:

(1.4)

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации V=σ /Mx.

Начальный момент k-го порядка:

Центральный момент k-го порядка:

Математическое ожидание – начальный момент 1-го порядка, дисперсия - центральный момент 2-го порядка. Из центральных моментов следует отметить еще моменты 3-го и 4-го порядков.

Асимметрия распределения А=μ ₃/σ ³ служит характеристикой «скошенности» (асимметрии) распределения, у симметричного распределения А=0.

Эксцесс распределения Е= μ ₄/σ ⁴ -3 – служит для характеристики т.н. «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения (3 вычитается, чтобы эксцесс наиболее распространенного нормального распределения был равен нулю). Кривые более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным.

Для описания распределения геофизических свойств и полей наиболее широко применяется нормальный закон распределения (закон Гаусса). Он проявляется во всех тех случаях, когда СВ Х является результатом действия большого числа различных факторов (центральная предельная теорема). Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

(1.5)

где параметры распределения и σ имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Вопросы для самоконтроля

1 Что такое случайная величина?

2 Как понимается вероятность некоторого события?

3 Функция распределения случайной величины и ее свойства.

4 Функция плотности распределения и ее свойства.

5 Каким образом можно определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

6 Перечислить основные числовые характеристики распределения случайной величины. Какие свойства случайной величины они отражают?

7 В каких случаях проявляется нормальный закон распределения?

 

Лабораторная работа 1

Свойства случайной величины

Цель работы: исследование свойств случайной величины по заданному закону ее распределения.

Материалы и оборудование: персональный компьютер, таблицы интегралов и производных.

 

Задание: дана функция распределения некоторой случайной величины:

,

где функцию φ (x) выбирают из таблицы 1 согласно своему варианту.

Исследовать свойства случайной величины, распределенной по заданному закону.

 

 

Ход работы

 

1 Построить функцию распределения F(x), составив таблицу ее значений на интервале (0; 1) через 0, 2.

 

2 Определить по формуле (1.2) функцию плотности распределения, вычислив соответствующие производные.

 

3 Построить плотность функции распределения f(х), составив таблицу ее значений на интервале (0; 1) через 0, 2.

 

4 Рассчитать математическое ожидание Мх, вычислив по формуле (1.3) соответствующие интегралы.

 

5 Определить моду Мо и медиану Ме распределения.

 

6 Вычислить по формуле (1.4) дисперсию D, а так же среднее квадратическое отклонение σ.

 

7 Исходя из определения функции распределения, определить вероятность того, что значения случайной величины меньше чем -2; 0, 6; 2. По полученным результатам оценить диапазон возможных значений случайной величины.

 

8 Определить по формуле (1.1) вероятности попадания значений случайной величины в интервалы (0; 0, 2), (0, 2; 0, 4), (0, 4; 0, 6), (0, 6; 0, 8), (0, 8; 1), (Мх-0, 1; Мх+0, 1), (Ме-0, 1; Ме+0, 1).

 

9 Полученные для первых пяти интервалов вероятности представить в виде гистограммы (рисунок 1).

 

10 Сделать выводы о свойствах случайной величины, распреде­ленной по заданному закону.

 

Таблица 1 – Варианты заданий к лабораторной работе 1

 

Вариант
φ (х)	sin(π x/2)	x	x2	x3	1-cos(π x/2)	x4

 

Лабораторная работа 2

Ход работы

 

1 Определить среднее значение и дисперсию распределения СВ. Для этого сравнить значения a и b выражения (1.6) с параметрами нормального распределения из выражения (1.5).

 

2 Построить график плотности функции распределения f(х). Для построения таблицы значений плотности рекомендуется использовать среду Excel. При этом интервал значений аргумента х подбирается экспериментально таким образом, чтобы график ненулевых значений функции занимал большую часть поля рисунка.

 

3 Построить функцию распределения случайной величины F(х). Для определения значений F(х) удобно использовать функцию НОРМРАСП мастера функций среды Excel.

 

4 Определить вероятности попадания значений СВ в интервалы: , , , , , ( , ), ( , ), , , , . Эти вероятности определяются по формуле (1.1). Значения F(x_i) находят с помощью функции НОРМРАСП.

 

5 Полученные для последних шести интервалов вероятности представить в виде гистограммы (рисунок 1).

 

6 Сделать выводы о свойствах случайной величины, распреде­ленной по заданному нормальному закону.

 

Таблица 2 – Варианты заданий к лабораторной работе 2

 

Вар-т
b
а								0, 5	0, 25	0, 75

Основные понятия по теме

 

При количественном анализе результатов измерений используют выборки случайных величин. При этом важно организовать экспе­римент таким образом, чтобы вероятность быть выбранным была бы одинакова для любого элемента выборки — так называемая репрезентативная выборка.

При таком подходе точная информация о распределении изучаемых величин отсутствует, поэтому одной из основных задач математи­ческой статистики является оценка числовых характеристик (па­раметров), плотности и функции распределения по отдельным вы­боркам наблюдений.

Оценкой неизвестного параметра θ назы­вают случайную величину , являющуюся функцией наблюденных значений . Часто используется так же термин «статистика».

Под статистикой понимают любую функцию от наблю­денных данных. Оценка — это построенная по определенному пра­вилу статистика.

Представление о точности и надежности оценки связано с понятиями доверительного ин­тервала и доверительной вероятности.

Доверительным интервалом ( -ε, +ε ) для параметра называется такой интервал, в пределах которого не­известное значение параметра θ находится с вероятностью γ, не меньшей заданной. Величина γ называется доверительной вероятностью (уровнем доверия) и обычно полагается рав­ной 0, 9; 0, 95; 0, 99. Величину a=1-g называют уровнем значимости.

Среди различных методов нахождения оценок параметров рас­пределений, построенных по выборочным данным, наибольшее применение получил метод моментов.

Суть метода моментов состоит в том, что в силу за­кона больших чисел все выборочные моменты при n→ ∞ сходятся по вероятности к соответствующим моментам исходного распределения. Для вычисления оценок основных числовых характеристик распределения исполь­зуют следующие формулы:

математическое ожидание (среднее)

; (2.1)

среднеквадратическое отклонение

; (2.2)

асимметрия

; (2.3)

эксцесс

. (2.4)

Характеристики, определяемые по выборкам, являются случайными величинами. Следовательно, не­обходимо указать их оценки и соответствующие этим оценкам до­верительные интервалы. Для математического ожидания доверительный интервал имеет вид:

, (2.5)

где - g-квантиль центрированного нормированного нормального распределения.

Статистическими оценками фун­кции F(х) и плотности f(х) рас­пределения являются соответствен­но статистическая функция рас­пределения (называемая также выборочной функцией распределения, функцией накопленных частот, кумулятивной кривой) и гистограмма.

Под статистической функцией распреде­ления случайной величины понимается частота события, что Х< x, т. е.

.

Для нахождения этой функции при фиксированном х следует найти число значений СВ, меньших х, а затем по­лученный результат разделить на общее число значений случайной величины n. Функция F_n(x) представляет дискретную ступенча­тую функцию, скачки которой соответствуют значениям X и равны частотам этих значений (рисунок 2).

Гистограмма описывает распределение частот p_i=m_i/n определяемых для каждого значения х_i случайной величины Х..

Для построения гистограммы весь диапазон значений Х разби­вается на некоторое число градаций (разрядов) и подсчитывается число значений случайной величины m_i приходящееся на каждую i-ю градацию, которое затем нормируется по общему числу значе­ний n. По оси абсцисс откладываются градации (разряды), а по оси ординат — соответствующие этим разрядам частоты р_i, называемые иногда частостями (рисунок 1).

При построении гистограмм не существует строго обоснованных методов определения числа разрядов r. Обычно пользуются одним из трех эмпирических правил: 1) определяют ; 2) г нахо­дят по интервалу группирования исходных данных Δ x, равного погрешности (двойной или тройной ее величине) измерения пара­метра; 3) r определяют по величине Δ x, вычисляемой по формуле Стерджеса

.

При этом в каждом разряде гистограммы не должно быть менее пяти значений, в противном случае проводится объединение не­скольких разрядов. Общее число разрядов также должно быть не менее пяти.

 

Пример 1 В результате n = 100 измерений плотности горной по­роды на денситометре с погрешностью δ = ±0, 01 г/см³ получены данные, приведенные в таблице 3.

 

 

Таблица 3 – Данные измерений

 

Плотность, г/см3	Частость mi	Плотность, г/см3	Частость mi	Плотность, г/см3	Частость mi
2.00		2.06		2.12
2.01		2.07		2.13
2.02		2.08		2.14
2.03		2.09		2.15
2.04		2.10		2.16
2.05		2.11		2.17
-	-	-	-	2.18

Определить оценки среднего значения плотности, среднеквадратического отклонения, асимметрии и эксцесса. Построить статистическую функцию распределения и гистограмму. Для среднего значения определить доверительный интервал с уровнем доверия 95 %.

 

По данным таблицы 3 находим оценки среднего значения и среднеквадратического отклонения (в г/см⁸):

Оценки асимметрии и эксцесса:

Доверительный интервал определяем из выражения ,

где t_γ - γ -квантиль (0, 1) нормального распределения. По таблице функции Лапласа для γ =0, 95 получаем t_γ =1, 65. Тогда доверительный интервал будет: 2, 085±0, 0079.

Для построения оценки плотности распределения — гистограммы не­обходимо провести группирование данных по разрядам. По формуле Стерджеса имеем

.

Такой, же интервал группирования получаем, исходя из равенства ин­тервала двойной погрешности измерений: Δ x=2δ = 0, 02 г/см³. Проведем группирование данных, учитывая, что в каждом разряде гистограммы не должно быть менее пяти значений. В результате объединения значений плотности по разрядам получим гистограмму, значения которой даны в табл. 4 (столбец 4), а ее график — на рисунке 1.

 

Таблица 4 – Результаты статистической обработки данных

 

Разряд	Граница интервала, г/см3	Частота в интервале	Накопленные частоты
xi	xi+1
	-∞	2, 00
	2, 00	2, 02
	2, 02	2, 04
	2, 04	2, 06
	2, 06	2, 08
	2, 08	2, 10
	2, 10	2, 12
	2, 12	2, 14
	2, 14	2, 16
	1, 16	∞

 

По накопленным частотам (столбец 5 таблицы 4) строится статистическая функция распределения (рисунок 2).

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Что понимается под статистической оценкой случайной величины?

2 Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность?

3 Привести формулы расчета статистических оценок основных числовых характеристик случайной величины.

4 Как построить статистическую функцию распределения?

5 Как строится гистограмма?

 

Основные понятия по теме

Для проверки гипотезы соответствия статистической функции распределения теоретической функции F(x) (например, нормаль­ному закону) в практике обработки геофизических данных получили распро­странение критерии Колмогорова и Пир­сона (c²).

 

 

Согласно крите­рию Колмогорова вычисляется вели­чина

, (3.1)

где – максимум модуля отклоне­ния статистической и теоретической функ­ций распределения. По величине l в со­ответствии с ее распределением находится вероятность P(l) совпадения распределений. Если P(l) мало (обычно < 0, 5), гипотеза о соответствии статистической и теоре­тической функции распределения отвергается.

Согласно критерию Пирсона вычисляется значение

(3.2)

где m_i – число значений случайной величины в i-ом разряде гистограммы; p_i – вероятности сравниваемого с экспериментальным теоретического распределения; r – число разрядов гистограммы.

По значению c² и числу степеней свободы k=r-s (s – число наложенных связей) с помощью таблицы вероятностей P(c²) определяют вероятность того, что величина, имеющая c² с k степенями свободы, превысит данное значение c². Если эта вероятность мала, гипотеза о соответствии экспериментального распределения теоретическому отвергается.

При сопоставлении статистической функции с нормальным законом распределения s=3, т.к. у распределения 2 параметра и одна связь забирается на задание конкретного вида распределения.

Теоретические частоты определяются следующим образом: находят оценки среднего и дисперсии и . Полученные экспериментальные данные центрируют и нормируют, переходя к значениям , вычисляют концы разрядов гистограммы:

. (3.3)

Далее вычисляют теоретические вероятности p_i попадания значений x в интервалы по формуле

(пример 2).

Другая важная гипотеза – о принадлежности двух выборок к одной и той же генеральной совокупности (т.е. две выборки распределены по одному и тому же закону с одинаковыми параметрами).

Согласно критерию Смирнова-Колмогорова определяется величина

–

максимальная разность двух функций распределения.

Далее вычисляется параметр

(3.4)

и по таблице для распределения Колмогорова находится вероятность Р(l). Если Р(l) мало, гипотеза об одинаковом распределении двух выборок X и Y отвергается.

Используется также критерий c² в виде

 

, (3.5)

где и - соответственно частоты сравниваемых выборок X и Y.

Этот критерий при больших n₁ и n₂ распределен по закону c² с (r-1) степенями свободы.

Часто вместо сравнения самих распределений, когда выборочное распределение построить трудно, ограничиваются проверкой гипотезы о равенстве числовых характеристик: среднего, дисперсии и других моментов распределения.

Для сравнения средних двух выборок X и Y можно использовать расчет доверительных интервалов:

(3.6)

Если эти интервалы пересекаются, то с вероятностью g можно утверждать равенство средних и .

Более точный метод сравнения средних двух выборок базируется на критерии Стьюдента. Если распределения выборок принимаются нормальными, то равенство с вероятностью g удовлетворяется при выполнении условия

t< t_g,

где

, (3.7)

а t_g - g- квантиль распределения Стьюдента с k= (n₁ + n₂ -2) степенями свободы.

Метод сравнения дисперсий в предположении о нормальности распределения обеих выборок основан на критерии Фишера. Вычисляется величина

, (3.8)

где s₁² и s₂² – выборочные дисперсии, причем s₁²> s₂².

Величина F подчиняется распределению Фишера с (n₁-1) и (n₂-1) степенями свободы.

Гипотеза о равенстве дисперсий принимается с вероятностью g при F< F_g, где F_g - g-квантиль распределения Фишера с (n₁-1) и (n₂-1) степенями свободы.

 

Пример 2 По данным примера 1 проверить нормальность распределения данных измерения плотности образца по критериям Пирсона (c²) и Колмогорова.

Для проверки гипотезы о нормальности распределения по критерию c² необходимо вычислить теоретические частоты. С этой целью определяют границы полученных интервалов (см. пример 1) для центрированной и нормированной случайной величины по формуле (3.3). Результат представлен в таблице 5 (графы 4 и 5).

Далее определяем вероятности попадания случайной величины в эти нормированные интервалы. Для этого, пользуясь таблицами нормального распределения, определяем значения центрированной и нормированной случайной величины на границах интервалов (столбцы 6, 7 таблицы 5). Теоретические частоты np_i определяем по формуле

(3.9)

(графа 8 таблицы 5).

Суммируя значения в столбце 9, определяем значение критерия c²=5, 92. Оно меньше табличного значения c², полученного при 50%-ном уровне значимости с k=7 степенями свободы. Таким образом, гипотеза о нормальности полученного распределения не противоречит по критерию Пирсона результатам измерений.

 

Таблица 5 – Результаты статистической обработки данных

 

Разряд	Частота в интервале	Накопл. частоты	Нормиров. и центриров. интервалы			npi
			- ∞	-1, 77	0, 0384		3, 84	0, 35
			-1, 77	-1, 36	0, 0869	0, 0384	4, 85	2, 06
			-1, 36	-0, 94	0, 1736	0, 0869	8, 67	0, 32
			-0, 94	-0, 52	0, 3015	0, 1736	12, 79	1, 32
			-0, 52	-0, 1	0, 4602	0, 3015	15, 87	0, 94
			-0, 1	0, 31	0, 6217	0, 4602	16, 15	0, 29
			0, 31	0, 73	0, 7673	0, 6217	14, 56	0, 17
			0, 73	1, 15	0, 8749	0, 7673	10, 76	0, 01
			1, 15	1, 56	0, 9406	0, 8749	6, 57	0, 31
			1, 56	∞		0, 9406	5, 94	0, 15

 

Согласно критерию Колмогорова, вычисляем величину

,

где .

Сравнивая значения столбцов 3 и 6 таблицы 5, получаем максимальное расхождение между экспериментальной и теоретической функциями распределения D= 0, 0685.

Таким образом, l=0, 685, и по таблице распределения Колмогорова определяем Р(l)=0, 84. Окончательно, согласно критериям Пирсона и Колмогорова гипотеза о нормальности распределения результатов измерения плотности горной породы принимается.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Как проверяется гипотеза о соответствии статистической функции теоретической по критерию Колмогорова?

2 Как проверяется гипотеза о соответствии статистической функции теоретической по критерию Пирсона?

3 Как проверяется гипотеза о равенстве статистических распределений?

4 Как проверяется гипотеза о равенстве средних?

5 Как проверяется гипотеза о равенстве дисперсий? С какой целью проверяется эта гипотеза?

 

Лабораторная работа 3

Ход работы

 

1 Используя методику примера 1 построить статистическую оценку функции плотности распределения вероятности – гистограмму (рисунок 1) и статистическую функцию распределения результатов измерения (рисунок 2).

 

2 Найти оценку математического ожидания распределения результатов измерений , применяя формулу (2.1).

 

3 Используя формулу (2.2) определить среднее квадратическое отклонение σ распределения.

 

4 Применяя выражение (2.3) вычислить асимметрию, сравнить ее значение со значением нормального распределения, сделать вывод о скошенности распределения результатов измерения.

 

5 Определить по формуле (2.4) эксцесс распределения. Срав­нить это значение с эксцессом нормального распределения. Сделать вывод о плосковершинности или островершинности распределения результатов измерений.

 

6 Построить теоретическую функцию нормального распределе­ния, параметрами которого являются и σ. Для этого можно посту­пить двумя способами:

1) используя методику примера 2, перейти к центрированной и нормированной случайной величине и найти значение теоретической функции распределения на концах центрированных и нормированных интервалов по таблице функции Лапласа (или используя функцию НОРМСТРАСП в среде Excel);

2) непосредственно вычислить значения теоретической функ­ции распределения на концах интервалов, используя функцию НОРМРАСП в среде Excel.

График функции строится по значениям функции распределения Ф(х_i) на границах интервалов.

 

7 Определить теоретические частоты np_i попадания результа­тов измерения в заданные интервалы по формуле (3.9).

 

8 По формуле (3.2) определить значение критерия Пирсона c², а по его величине проверить гипотезу о нормальности распределения результатов измерений. При этом использовать таблицу распределения Пирсона (c²) или функцию ХИ2РАСП в среде Excel.

 

9 По методике примера 2 определить максимальное расхожде­ние между экспериментальной и теоретической функциями распре­деления D и по формуле (3.1) значение критерия Колмогорова λ. По его величине проверить гипотезу о нормальности распределения результатов измерений, используя таблицу распределения Колмого­рова - Смирнова.

 

10 По формуле (2.5) найти доверительный интервал оценки математического ожидания с уровнем доверия 0, 95.

 

Все результаты вычислений рекомендуется представлять в виде таблиц, как в примерах 1 и 2 (таблицы 4 и 5).

По результатам вычислений сделать вывод о значении измеряемой величины.

 

 

Таблица 6 – Варианты заданий к лабораторной работы 3

 

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
интервалы	mi	интервалы	mi	интервалы	mi	интервалы	mi
21-25		4.0-4.2		5.4-6.0		40.1-40.2
25-29		4.2-4.4		6.0-6.6		40.2-40.3
29-33		4.4-4.6		6.6-7.2		40.3-40.4
33-37		4.6-4.8		7.2-7.8		40.4-40.5
37-41		4.8-5.0		7.8-8.4		40.5-40.6
Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
интервалы	mi	интервалы	mi	интервалы	mi	интервалы	mi
3.45-3.65		20-30		1-2		3.0-3.2
3.65-3.85		30-40		2-3		3.2-3.4
3.85-4.05		40-50		3-4		3.4-3.6
4.05-4.25		50-60		4-5		3.6-3.8
4.25-4.45		60-70		5-6		3.8-4.0

 

 

Лабораторная работа 4

Ход работы

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Cодержательные и организационные особенности построения курса «Основы технологии интеллектуальной адаптации коренных народов северных регионов»
2. I. Краткие теоретические сведения.
3. I. Теоретические источники модернизма.
4. I. ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ТЕРМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ
5. I. Экономическая сущность налогов, основы налогообложения
6. II. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
7. III Часть. Аппаратное обеспечение обработки информации
8. III.Основы теории спроса и предложения
9. III/27. Организационно-правовые формы с/х предприятий и их организационно-экономические основы.
10. V1: Теоретические основы формирования и управления ассортиментом товаров
11. V1: Теоретические основы формирования качества товаров
12. Алгоритм обработки и анализа данных