ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ МАЯТНИКОВ

____________________________________________________________________

Цель работы: ознакомление с различными методами определения ускорения силы тяжести.

Приборы и принадлежности: математический маятник, физический маятник, оборотный маятник, счетчик импульсов, секундомер.

Введение

По закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном в 1678 г., на материальную точку массой m₁ со стороны другой материальной точки массой m₂ действует сила притяжения , равная:

= G , (1)

где G -гравитационная постоянная, равная 6, 67 · 10 Н · м²/кг²;

r - расстояние между материальными точками;

- единичный вектор, направленный от первой точки ко второй ( рис.1).

Тела можно считать материальными точками, если расстояние между ними много больше их размеров. Если размеры одного из тел сопоставимы с r, это тело можно разбить на малые элементы, которые можно считать материальными точками. Их массы:

dm₂ = r(х¢, у¢, z¢ )dv¢,

где r ( х¢, у¢, z¢ ) -плотность элемента с координатами х¢, у¢, z¢;

dv¢ - объем этого элемента.

В этом случае гравитационная сила, действующая на первое тело, равна сумме (а в пределе - интегралу) сил, действующих на него со стороны всех элементов второго тела.

. (2)

Здесь:

x, y, z - координаты первого тела;

- квадрат расстояния от первого тела до элемента второго с координатами x’, y', z';

e(x’, y', z') - единичный вектор, направленный к этому элементу от первого тела (рис.2).

Выражением (2) описывается сила притяжения Земли, действующая на все тела в ее окрестности. Эта сила может быть представлена в виде:

, (3)

где - ускорение свободного падения.

В электростатике имеет место формула, аналогичная (3):

где е - электрический заряд тела; - напряженность электрического поля.

В этой аналогии масса тела - это его гравитационный заряд, а - напряженность гравитационного поля. Как и в электростатике, потенциальная энергия тела в гравитационном поле определяется выражением:

, (4)

где j - потенциал гравитационного поля.

Соотношение между потенциалом и напряженностью:

. (5)

Из (2), (3) и (5) следует, что потенциал гравитационного поля Земли описывается выражением:

. (6)

Согласно формуле (6) значение потенциала зависит от распределения плотности . Следовательно, изучая функцию можно получить информацию о распределении плотности вещества Земли и, что особенно важно, вещества земной коры. Эта закономерность используется при гравиметрической разведке, являющейся одним из важнейших геофизических методов поиска месторождений полезных ископаемых.

Обычно при описании гравитационного поля Земли в ограниченной области выбирают декартову систему координат. Подразумевается, что сила тяжести действует вертикально и связана с массой тела соотношением:

F= mg. (7)

Ось 0Z системы координат совмещают с направлением силы тяжести (рис.3). При этом в начале координат вектор напряженности гравитационного поля имеет ненулевой компонент , горизонтальные компоненты при этом равны нулю: .

Из-за неоднородности плотности недр Земли компоненты и в общем случае могут быть отличны от нуля.

При гравитационной разведке величину g - первую производную гравитационного потенциала - измеряют в специальных единицах - миллигалах (мгл): 1 мгл = м/с²_.Среднее значение g на поверхности Земли составляет 979700 мгл, а полное изменение g от полюса к экватору - 5200 мгл. Величина g зависит не только от распределения плотности; на ее значение влияет и центробежная сила, обусловленная суточным вращением Земли, а она зависит от географической широты точки наблюдения (рис.4). Значение g зависит также от притяжения Луны и Солнца и от других факторов. При изменении высоты точки наблюдения на 1 м g изменяется на 0, 3 мгл – на 0, 00003 %.

Для детального описания гравитационного поля Земли используют градиенты его напряженности, то есть вторые производные потенциала. Производные и - горизонтальные градиенты напряженности - характеризуют интенсивность ее изменения по осям ОХ и OY. Аналогично, вертикальный градиент напряженности характеризует интенсивность ее изменения по оси OZ.

Поверхность (X, Y, Z) = const - это эквипотенциальная поверхность. Плоскость XOY (Z=0) в начале координат является касательной к эквипотенциальной поверхности. Эта поверхность отклоняется от плоскости XOY тем “быстрее”, чем больше производные , , (рис.5). В гравитационной разведке вторые производные гравитационного потенциала имеют специальную единицу измерений - Этвеш (Е): 1 Е = 10^-9 с^-2.

Методы измерений производных гравитационного потенциала разделяются на статические (изучается изменение положения равновесия в поле тяготения) и динамические (изучается движение тела в поле тяготения). Статический метод реализован в специальных приборах - гравиметрах, получивших наибольшее распространение. Они измеряют напряженность гравитационного поля - величину g.

Маятниковые методы позволяют определить g через измерения периодов колебаний маятников.

Рассмотрим физический маятник - массивное тело, которое может колебаться вокруг горизонтальной оси. На маятник, отклоненный от положения равновесия на угол , действует сила тяжести . Она приложена к центру масс маятника. В нашей лабораторной реализации физический маятник представляет собой массивный стержень, на котором укреплен диск (рис.6). Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

, (8)

где:

J - момент инерции маятника относительно оси вращения;

- угловое ускорение маятника;

М- момент сил, действующих на маятник - относительно его оси вращения.

Момент действующих сил в данном случае определяется силой тяжести:

М= - mgd sin , (9)

где d - расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Знак «минус» обусловлен тем, что проекция силы тяжести на горизонтальную плоскость (mg sin ) направлена против отклонения маятника. Итоговое уравнение движения маятника имеет вид:

I . (10)

Это нелинейное дифференциальное уравнение точно решается в специальных функциях - эллиптических интегралах. Но в случае, когда углы отклонения малы, можно использовать приближенное равенство sin . Тогда уравнение становится линейным:

I . (11)

Его решение может быть найдено при следующих начальных условиях: (начальный угол отклонения известен);

da(0) / dt = 0 (начальная угловая скорость маятника равна нулю).

Решение имеет вид:

. (12)

Таким образом, маятник совершает гармонические колебания с амплитудой и частотой . Следовательно, период колебаний маятника Т равен:

Т = (13)

Момент инерции маятника относительно оси вращения, проходящей через конец стержня, равен сумме моментов инерции стержня - и диска :

. (14)

Момент инерции стержня относительно центра масс равен , где l -длина стержня, m -его масса. Расстояние от центра масс стержня до оси вращения равно l/ 2. С использованием теоремы Штейнера:

. (15)

Момент инерции диска относительно центра масс равен ,

где - масса диска, - его радиус. Расстояние от центра диска до оси вращения равно , поэтому по теореме Штейнера

. (16)

Как показано на рис.6, центр тяжести физического маятника находится от оси вращения на расстоянии d, равном:

d = . (17)

Использование соотношений (13) – (17) позволяет получить для периода Т колебаний маятника следующее выражение:

Т = 2 . (18)

Из (18) следует формула для определения значения g c использованием физического маятника:

g = . (19)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Он представляет собой тело малых размеров массой m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной (рис.7). В этом случае тело можно считать материальной точкой. Его момент инерции относительно оси вращения (точки закрепления нити), равен:

. (20)

Из (13) с учетом (20) для периода колебаний математического маятника следует:

T= , (21)

откуда

. (22)

Еще одним частным случаем физическогомаятника является оборотный маятник. Он представляет собой физический маятник, который может вращаться вокруг двух горизонтальных осей и (рис.8). Для физического маятника сложной формы, например, показанного на рис.6 трудно определить момент инерции I и положение центра тяжести, а, значит, и величины d. Оборотный маятник позволяет не проводить измерение указанных величин. При вращениях вокруг первой оси момент инерции маятника относительно этой оси равен: