Правила округления значений погрешности и результата измерений

Правила округления значений погрешности и результата измерений

Расчет значения погрешностей всегда производится как вероятностная оценка этого значения. Эти вычисления могут быть проведены только с невысокой точностью. Поэтому необходимо руководствоваться следующими правилами округления рассчитанного значения погрешности, а также итогового значения результата измерения:

1. Значение погрешности результата измерения указывается одной значащей цифрой. Если при таком округлении первая цифра - 1 или 2, то допускается сохранение двух значащих цифр. Округление следует проводить в сторону увеличения.

Значение результата измерения округляется до того же десятичного разряда, которым начинается округленное значение абсолютной погрешности.

3. Округления производится лишь в окончательном ответе, все предварительные вычисления проводятся с одним – двумя избыточными знаками.

Минимизация систематических составляющих погрешностей измерений

Прежде чем приступить к оценке погрешностей измерений, следует, по возможности, уменьшить систематические погрешности.

Некоторые виды систематических погрешностей измерительных средств можно исключить, используя специальные приемы. Например, устранить неравноплечность весов можно, взвесив исследуемое тело дважды – сначала на одной чашке весов, а затем на другой. Некоторые систематические погрешности можно уменьшить введением поправок. Например, если сбит «нуль» стрелочного прибора, следует отсчитывать показания от положения стрелки в ее исходном положении. Так же следует поступать при наличии некоторого постоянного «фонового» сигнала измерительного прибора. Используя известные температурные зависимости длины, удельного сопротивления и т.п., можно ввести поправку, учитывающую влияние на результат измерений температуры. Систематическая составляющая погрешности ИСможет быть также уменьшена введением поправок на основании сравнения показаний используемого прибора с аналогичными показаниями более точного контрольного прибора.

Расчет погрешности прямого однократного измерения

Погрешность результата прямого однократного измерения в первую очередь определяется погрешностью ИС. Поэтому - в первом приближении - погрешность результата измерения можно принять равной погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерения. Оцениваться должны как абсолютная, так и относительная составляющие общей погрешности результата измерения.

Рассмотрим вариант таких оценок, когда класс точности прибора указан одним числом g_кл(без кружка). Это число выражает в процентах предельную (максимально возможную) погрешность однократного измерения.

В этом случае абсолютная погрешность результата измерения - х, обозначаемая Δ (δ ) равна:

где X_k – предел измерения прибора, на котором получено значение х.

Относительная погрешность измерения, обозначаемая δ (х) вычисляется (в процентах) по формуле:

γ _кл Х_k / δ.

Пример 1. Обработка результата однократного измерения

На вольтметре класса точности 2, 5 с пределом измерений 300 В зарегистрировано значение измеряемого напряжения х = 267, 5 В.

При g_кл = 2, 5% и Х_k = 300 В абсолютная погрешность равна:

= 7, 5 (В) @ 8 (В).

Относительная погрешность в этом случае равна:

В соответствии с приведенными выше правилами, в окончательном ответе должно быть зафиксировано, что значение напряжения: ; измерение произведено с относительной погрешностью .

Пример 2. Обработка результатов прямых многократных наблюдений

На вольтметре класса точности g_к/g_н =1, 0/0, 5 с отсчетом трех десятичных знаков (например, на цифровом вольтметре с пределами измерений 100, 10 и 1 В) получены следующие значения измеряемого напряжения:

х₁ =0, 342 В; х₂ = 0, 340 В; х₃ =0, 346 В; х₁ =0, 340 В. Порядок обработки должен быть следующим.

1. Вычисляют среднее арифметическое значение четырех наблюдений по формуле (1) и принимают его за результат измерения:

2. Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения результата серии наблюдений по формуле (3):

3. Вычисляют значение абсолютной случайной погрешности. Для этого задают значение доверительной вероятности, обычно, a = 0, 95.

Согласно таблице 3, значению a = 0, 95 при (n – 1) = 3 соответствует t_{0, 95} = 3, 18. Тогда, в соответствии с формулой (4):

4. Вычисляют приборную погрешность ( при a = 0, 95) по формуле (7):

5. Согласно формуле (8) вычисляют суммарную абсолютную погрешность результата измерений, исходя из того, что Δ х_пр = 3, 35·10^-3В, следовательно Δ х_сист= 3, 35·10^-3В.

6. Окончательный результат записывают в следующем виде:

при a = 0, 95 х=(342±5)´ 10^-3 В.

Относительное значение погрешности равно:

Литература

1. ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений: Основные положения.

Лабораторная работа № I - 1

ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: освоение основных правил обработки результатов измерений и вычисления погрешностей измерений; эти навыки студенты получают при измерениях плотности двух объектов – цилиндра и шестигранной призмы.

Приборы и принадлежности: штангенциркуль, микрометр, весы прямой круговой цилиндр, шестигранная призма.

Введение

Количественную информацию о физических законах и о физических свойствах веществ можно получить в результате измерений - прямых или косвенных.

Прямое измерение – это сопоставление изучаемой физической величины (длины, массы, плотности и т.д.) с однотипной с ней величиной, принятой за единицу. Косвенное измерение – совокупный результат нескольких прямых измерений, полученный с использованием физически обоснованной расчетной формулы.

Результатом измерений является численное значение физической величины.

Это значение всегда обладает некоторой неопределенностью. Так, в результате повторных единичных измерений (они называются наблюдениями) одним и тем же измерительным средством некоторой физической величины А может быть получен ряд несколько отличных значений А₁, А₂, …А_n. Их среднее значение , в общем случае, не будет совпадать с истинным значением величины А_о. В результате другой серии наблюдений, особенно, с заменой измерительного средства, будет получено среднее значение , отличное от .

Для количественной оценки указанной неопределенности (оценки неточности) результата измерения вводится понятие погрешность.

Так называют разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Поскольку истинное значение измеряемой величины не известно, задача экспериментатора состоит в оценке значения погрешности. Эта оценка может быть произведена приближенно и, кроме того, она неизбежно носит вероятностный характер.

Определение: оценка погрешности (далее погрешность) – это численный интервал, который с заданной вероятностью включает в себя отклонение результата измерения физической величины от ее истинного (не известного) значения.

Погрешность может быть выражена или в единицах измеренной величины – это абсолютная погрешность или в относительных единицах ( в долях или процентах измеренного значения) – это относительная погрешность.

В общем случае погрешность результата измерения имеет две составляющие систематическую и случайную.

Систематическаясоставляющая погрешность определяется:

а) погрешностями средств измерений; б) погрешностями метода измерений. Её характерным свойством является неизменность значения при повторяющихся однотипных условиях.

Случайная составляющая погрешности базируется на оценке рассеяния значений многократных наблюдений около среднего значения. Значения результатов наблюдения отличаются от среднего значения как по знаку, так и по абсолютному значению. Обычно полагают, что это рассеяние подчинено нормальному закону распределения – распределению Гаусса.

Поскольку сами значения оценок погрешности вычисляется приближенно, эти значения следует указывать одной значащей цифрой, проводя округление в сторону увеличения; в случае если это значение равно 1 или 2, допускается оставлять две значащие цифры. Соответственно, результат измерения следует округлить так, чтобы его последняя цифра совпадала по десятичному разряду с разрядом погрешности (если погрешность выражена двузначным числом, то с разрядом первой цифры этого числа).

Порядок выполнения работы

а) Подготовительная часть

1. Получить шестиугольную призму, прямой круговой цилиндр и измерительные инструменты.

2. Ознакомиться с конструкциями и принципами действия штангенциркуля, микрометра, весов.

3. Проверить положение нуля на измерительных инструментах.

4. Зафиксировать приборные погрешности штангенциркуля, микрометра, весов.

б) Измерение плотности материала призмы

5. Измерить 6 раз высоту призмы вдоль различных ребер и занести результаты измерений таблицу 1.

Таблица 1

№	h_i, мм

Проверить, не содержится ли в результатах измерений грубых погрешностей (промахов); при наличии промахов исключить их из дальнейшей обработки.

6. Рассчитать результат измерения высоты призмы как среднее значение отдельных наблюдений:

, (6)

где n - число наблюдений.

7. Рассчитать оценку среднеквадратического отклонения наблюдений высоты призмы по формуле:

. (7)

8. Рассчитать случайную погрешность результата измерений по формуле:

, (8)

где - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности a для n наблюдений.

9. Определить систематическую погрешность измерений высоты. Считать её равной приборной погрешности и рассчитать по формуле:

, (9)

где D_дел – цена деления измерительного инструмента.

10. Найти результирующую погрешность измерений высоты по формуле:

. (10)

11. Измерить 6 раз диаметр окружности, описанной вокруг основания прямой правильной шестиугольной призмы, и занести результаты измерений в таблицу 2.

Таблица 2

№	d_i, мм

Для измеренных значений провести вычисления, аналогично предыдущему - по пунктам 6 - 10.

12. Измерить 6 раз массу призмы и занести результаты измерений в таблицу 3. Провести вычисления в соответствии с пунктами 6 - 10.

Таблица 3

№	m_i, мм

13. Используя найденные средние значения высоты, диаметра и массы п, рассчитать среднее значение плотности материала призмы по формуле (4).

14. Рассчитать абсолютную результирующую погрешность измерения плотности призмы как погрешность косвенного измерения. Для этого использовать формулу:

, (11)

где - результирующие погрешности измерений высоты, диаметра описанной окружности и массы призмы, соответственно.

Формула (11) получена на основании расчетного соотношения (4). А, именно: если прологарифмировать (4), а затем продифференцировать полученное соотношение и заменить дифференциалы на конечные разности, то, в итоге:

Dr/r = Dm/m - 2Dd/d - Dh/h. (12)

Соотношение (12) выражает относительную погрешность значения плотности через относительные погрешности значения массы, диаметра и высоты. Так как знак слагаемых в правой части равенства (12) может быть и положительным и отрицательным, то в наименее благоприятном случае все значения относительных погрешностей в правой части равенства должны суммироваться:

Dr/r = Dm/m + 2Dd/d + Dh/h. (13)

Однако, наиболее вероятен случай, когда знаки некоторых слагаемых противоположны и они частично компенсируют друг друга. Поэтому, в теории погрешностей установлена рекомендация: вместо суммирования модулей погрешностей находить корень квадратный из суммы их квадратов.

Таким образом, вместо формулы (13), для вычисления результирующей погрешности измерения плотности призмы следует использовать формулу (11).

Подобный подход к получению расчетной формулы для результирующей погрешности измерения плотности цилиндра базируется на формуле (5), но он приводит к формуле, математически идентичной формуле (11).

15. Представить окончательный результат измерений в виде:

, кг/м³. (13)

в) Измерение плотности материала прямого цилиндра

16. Измерить по 6 раз высоту, диаметр основания прямого цилиндра и его массу. Результаты измерений занести в таблицы 4, 5, 6, аналогичные таблицам 1, 2, 3.

17. Провести вычисления, аналогичные указанным в п.п. 6 - 10.

18. Используя найденные средние значения высоты, диаметра и массы цилиндра, рассчитать среднее значение плотности материала цилиндра, по формуле (5).

19. В соответствии с п.14 рассчитать результирующую погрешность измерения плотности прямого цилиндра.

20. Представить окончательный результат измерения плотности цилиндра в соответствии с п. 15.

Контрольные вопросы

1.Что значит «измерить значение величины»?

2. Какие измерения называются прямыми, какие - косвенными? Приведите примеры.

3. В чем различие случайной и систематической составляющих общей погрешности измерений?

4.Что такое коэффициент Стьюдента? Что он характеризует?

5, Что характеризует среднеквадратическое отклонение наблюдений?

6. Как определяют среднее значение результатов при прямых измерениях?

7. Как определяют результирующую погрешность при прямых измерениях? При косвенных измерениях?

8. В какой форме следует записывать окончательный результат измерения?

9. Что такое " класс точности" прибора?

10. Что такое приборная погрешность? Приведите пример для конкретного измерительного прибора или инструмента.

11. Сколькими значащими цифрами следует записывать значение погрешности?

12. Сколькими значащими цифрами следует ограничиться при окончательной записи значения измеряемой величины?

Литература

2. Математическая обработка результатов физического эксперимента: методическое пособие. – Кафедра технической физики и физики горных пород РГГРУ (В этом сборнике).

Лабораторная работа № I - 2

Введение

По закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном в 1678 г., на материальную точку массой m₁ со стороны другой материальной точки массой m₂ действует сила притяжения , равная:

= G , (1)

где G -гравитационная постоянная, равная 6, 67 · 10 Н · м²/кг²;

r - расстояние между материальными точками;

- единичный вектор, направленный от первой точки ко второй ( рис.1).

Тела можно считать материальными точками, если расстояние между ними много больше их размеров. Если размеры одного из тел сопоставимы с r, это тело можно разбить на малые элементы, которые можно считать материальными точками. Их массы:

dm₂ = r(х¢, у¢, z¢ )dv¢,

где r ( х¢, у¢, z¢ ) -плотность элемента с координатами х¢, у¢, z¢;

dv¢ - объем этого элемента.

В этом случае гравитационная сила, действующая на первое тело, равна сумме (а в пределе - интегралу) сил, действующих на него со стороны всех элементов второго тела.

. (2)

Здесь:

x, y, z - координаты первого тела;

- квадрат расстояния от первого тела до элемента второго с координатами x’, y', z';

e(x’, y', z') - единичный вектор, направленный к этому элементу от первого тела (рис.2).

Выражением (2) описывается сила притяжения Земли, действующая на все тела в ее окрестности. Эта сила может быть представлена в виде:

, (3)

где - ускорение свободного падения.

В электростатике имеет место формула, аналогичная (3):

где е - электрический заряд тела; - напряженность электрического поля.

В этой аналогии масса тела - это его гравитационный заряд, а - напряженность гравитационного поля. Как и в электростатике, потенциальная энергия тела в гравитационном поле определяется выражением:

, (4)

где j - потенциал гравитационного поля.

Соотношение между потенциалом и напряженностью:

. (5)

Из (2), (3) и (5) следует, что потенциал гравитационного поля Земли описывается выражением:

. (6)

Согласно формуле (6) значение потенциала зависит от распределения плотности . Следовательно, изучая функцию можно получить информацию о распределении плотности вещества Земли и, что особенно важно, вещества земной коры. Эта закономерность используется при гравиметрической разведке, являющейся одним из важнейших геофизических методов поиска месторождений полезных ископаемых.

Обычно при описании гравитационного поля Земли в ограниченной области выбирают декартову систему координат. Подразумевается, что сила тяжести действует вертикально и связана с массой тела соотношением:

F= mg. (7)

Ось 0Z системы координат совмещают с направлением силы тяжести (рис.3). При этом в начале координат вектор напряженности гравитационного поля имеет ненулевой компонент , горизонтальные компоненты при этом равны нулю: .

Из-за неоднородности плотности недр Земли компоненты и в общем случае могут быть отличны от нуля.

При гравитационной разведке величину g - первую производную гравитационного потенциала - измеряют в специальных единицах - миллигалах (мгл): 1 мгл = м/с²_.Среднее значение g на поверхности Земли составляет 979700 мгл, а полное изменение g от полюса к экватору - 5200 мгл. Величина g зависит не только от распределения плотности; на ее значение влияет и центробежная сила, обусловленная суточным вращением Земли, а она зависит от географической широты точки наблюдения (рис.4). Значение g зависит также от притяжения Луны и Солнца и от других факторов. При изменении высоты точки наблюдения на 1 м g изменяется на 0, 3 мгл – на 0, 00003 %.

Для детального описания гравитационного поля Земли используют градиенты его напряженности, то есть вторые производные потенциала. Производные и - горизонтальные градиенты напряженности - характеризуют интенсивность ее изменения по осям ОХ и OY. Аналогично, вертикальный градиент напряженности характеризует интенсивность ее изменения по оси OZ.

Поверхность (X, Y, Z) = const - это эквипотенциальная поверхность. Плоскость XOY (Z=0) в начале координат является касательной к эквипотенциальной поверхности. Эта поверхность отклоняется от плоскости XOY тем “быстрее”, чем больше производные , , (рис.5). В гравитационной разведке вторые производные гравитационного потенциала имеют специальную единицу измерений - Этвеш (Е): 1 Е = 10^-9 с^-2.

Методы измерений производных гравитационного потенциала разделяются на статические (изучается изменение положения равновесия в поле тяготения) и динамические (изучается движение тела в поле тяготения). Статический метод реализован в специальных приборах - гравиметрах, получивших наибольшее распространение. Они измеряют напряженность гравитационного поля - величину g.

Маятниковые методы позволяют определить g через измерения периодов колебаний маятников.

Рассмотрим физический маятник - массивное тело, которое может колебаться вокруг горизонтальной оси. На маятник, отклоненный от положения равновесия на угол , действует сила тяжести . Она приложена к центру масс маятника. В нашей лабораторной реализации физический маятник представляет собой массивный стержень, на котором укреплен диск (рис.6). Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

, (8)

где:

J - момент инерции маятника относительно оси вращения;

- угловое ускорение маятника;

М- момент сил, действующих на маятник - относительно его оси вращения.

Момент действующих сил в данном случае определяется силой тяжести:

М= - mgd sin , (9)

где d - расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Знак «минус» обусловлен тем, что проекция силы тяжести на горизонтальную плоскость (mg sin ) направлена против отклонения маятника. Итоговое уравнение движения маятника имеет вид:

I . (10)

Это нелинейное дифференциальное уравнение точно решается в специальных функциях - эллиптических интегралах. Но в случае, когда углы отклонения малы, можно использовать приближенное равенство sin . Тогда уравнение становится линейным:

I . (11)

Его решение может быть найдено при следующих начальных условиях: (начальный угол отклонения известен);

da(0) / dt = 0 (начальная угловая скорость маятника равна нулю).

Решение имеет вид:

. (12)

Таким образом, маятник совершает гармонические колебания с амплитудой и частотой . Следовательно, период колебаний маятника Т равен:

Т = (13)

Момент инерции маятника относительно оси вращения, проходящей через конец стержня, равен сумме моментов инерции стержня - и диска :

. (14)

Момент инерции стержня относительно центра масс равен , где l -длина стержня, m -его масса. Расстояние от центра масс стержня до оси вращения равно l/ 2. С использованием теоремы Штейнера:

. (15)

Момент инерции диска относительно центра масс равен ,

где - масса диска, - его радиус. Расстояние от центра диска до оси вращения равно , поэтому по теореме Штейнера

. (16)

Как показано на рис.6, центр тяжести физического маятника находится от оси вращения на расстоянии d, равном:

d = . (17)

Использование соотношений (13) – (17) позволяет получить для периода Т колебаний маятника следующее выражение:

Т = 2 . (18)

Из (18) следует формула для определения значения g c использованием физического маятника:

g = . (19)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Он представляет собой тело малых размеров массой m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной (рис.7). В этом случае тело можно считать материальной точкой. Его момент инерции относительно оси вращения (точки закрепления нити), равен:

. (20)

Из (13) с учетом (20) для периода колебаний математического маятника следует:

T= , (21)

откуда

. (22)

Еще одним частным случаем физическогомаятника является оборотный маятник. Он представляет собой физический маятник, который может вращаться вокруг двух горизонтальных осей и (рис.8). Для физического маятника сложной формы, например, показанного на рис.6 трудно определить момент инерции I и положение центра тяжести, а, значит, и величины d. Оборотный маятник позволяет не проводить измерение указанных величин. При вращениях вокруг первой оси момент инерции маятника относительно этой оси равен:

где - момент инерции относительно центра масс,

- расстояние от первой оси вращения до центра масс С,

m - масса маятника.

Аналогично, для второй оси:

Периоды колебаний маятника вокруг первой и второй осей согласно (13) равны:

; . (23)

Из системы (23) можно получить:

. (24)

Если потребовать выполнения условия равенства периодов колебаний в двух случаях: , то вместо (24) получим:

, (25)

где - расстояние между осями вращения. Из (25) следует формула для определения g посредством оборотного маятника:

. (26)

Математического маятника

1. Включить секундомер и счетчик в сеть 36 В. Тумблер счетчика установить в положение “Включено”. Кнопку “Пуск” секундомера установить в отжатое положение.

2. Зафиксировать шарик модели математического маятника в крайнем положении посредством электромагнита. Нажать и отпустить кнопки “Сброс” секундомера и счетчика.

3. Нажать кнопку “Пуск” секундомера. С этого момента действие электромагнита на шарик прекращается и маятник начинает колебательный процесс; одновременно включаются секундомер и счетчик периодов колебаний.

4. После совершения маятником 10 колебаний привести кнопку “Пуск” секундомера в отжатое положение. Это является командой на прекращение регистрации времени и числа колебаний. Показания счетчика (n) и секундомера (t) занести в таблицу 1.

5. Повторить операции по п.п. 2 - 4 еще девять раз.

6. Отключить секундомер и счетчик от сети.

7. Вычислить значения периода колебаний Т = 2 t / n, рассчитать среднее значение периода – Т и абсолютную погрешность ∆ Т. Результаты вычислений занести в таблицу 2. По формуле (22) рассчитать среднее значение , вычислить абсолютную погрешность по методике обработки результатов косвенных измерений.

Таблица 1

№

∆ Т

t, с

Т, с

Физического маятника

1. Включить секундомер счетчик в сеть 36 В. Тумблер счетчика установить в положение “Включено”. Кнопку “Пуск” секундомера установить в отжатое положение.

2. Отклонить маятник в крайнее положение зафиксировать это положение электромагнитом. Нажать и отпустить кнопки “Сброс” секундомера и счетчика.

3. Нажать кнопку “Пуск” секундомера, при этом прекратится действие электромагнита на маятник и он начнет движение в сторону положения его равновесия; одновременно включатся секундомер и счетчик колебаний.

4. После совершения маятником 10 колебаний (это соответствует вдвое большему числу на табло счетчика) привести кнопку “Пуск” секундомера в отжатое положение. Показания счетчика (n) и секундомера (t) занести в таблицу 2.

5. Повторить п. п. 2 - 4 еще девять раз.

6. Отключить секундомер и счетчик от сети.

7. Вычислить значения периода колебаний Т= 2 t / n. Рассчитать и занести в таблицу 2 среднее значение периода Т и абсолютную погрешность полученного результата ∆ Т. По формуле (19) рассчитать среднее значение . Вычислить абсолютную погрешность по методике обработки результатов косвенных измерений.

Таблица 2

№

Тср

∆ Т

t, с

Т, с

Маятника

1. Проконтролировать по отвесу правильность установки маятника, при необходимости провести регулировку.

2. Включить секундомер в сеть 36 В. Тумблер счетчика установить в положение “Включено”. Нажать и отпустить кнопку “Сброс” секундомера. Кнопку “Пуск” установить в отжатое положение.

3. Подвесить маятник, установив его трехгранную призму - опору в ответном гнезде стойки маятника. Это будет " прямое" положение маятника.

4. Отклонить стержень на угол 5 - 7 ^о от положения равновесия и отпустить его. В момент, когда в процессе колебаний стержень займет одно из крайних положений, нажать кнопку “Пуск” секундомера. Отсчитав 10 полных колебаний, кнопку “Пуск” секундомера установить в отжатое положение. Показания секундомера занести в таблицу 3 – в строку П ( “прямое” положение маятника). Нажать и отпустить кнопку “Сброс” секундомера.

5. Повторить операции по п. 4 еще пять раз. Вычислить среднее значение

времени десяти колебаний и соответствующее значение периода Т _пр.

6. Перевернуть стержень маятника на 180⁰и подвесить, используя для этого вторую трехгранную призму - опору. Выполнить п. п. 3 – 5. Занести показания в таблицу 3 - строку О₁ ( первое состояние “оборотного” маятника). Вычислить значение периода Т_об1. Измерить и занести в таблицу расстояние между центральными гранями опор маятника l₁.

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Следующая