Обработка результатов прямых многократных наблюдений

Метод однократного измерения используется обычно только для минимальной по точности оценки измеряемой величины и в случаях, когда невозможно обеспечить реализации серии повторных однотипных наблюдений.

Для повышения точности измерений используется метод, основанный на статической обработке результатов многократных наблюдений. Статистика указывает на возможность уменьшения случайной составляющей погрешности за счет: 1) усреднения результатов серии наблюдений; 2) увеличения количества этих наблюдений.

Обозначим значения ряда последовательных наблюдений как х₁, х₂, … х_n. Эти значения являются лишь частью множества значений, которые могут появиться при измерении данной физической величины, т.е. они являются выборочными. Поэтому рекомендуется порядок обработки результатов прямых многократных наблюдений, изложенный в следующих пунктах.

1. Результаты наблюдений подвергаются анализу с целью поиска грубых погрешностей (промахов).

Наблюдения с обнаруженными промахами отбрасываются. Методика отбрасывания базируется на сопоставлении: (а) отклонения значения наблюдения от среднего арифметического значения ряда наблюдений; (б) среднеквадратического отклонения результата наблюдения.

Среднее арифметическое значение ряда наблюдений рассчитывается по формуле:

, (1)

где: i- индекс значения наблюдения (i изменяется в пределах от 1 до n).

Среднеквадратическое отклонение наблюдения вычисляется по формуле:

. (2)

В случае ряда из n £ 6 наблюдений выявление промахов по отклонениям отдельных измерений от применять не следует.

Если n > 6, то результат наблюдения х_i является промахом, если:

В случае выявления промаха значения `х и S вычисляются без использования соответствущего значения наблюдения.

2. На основании формулы (2) следует вычислить оценку среднеквадратического отклонения результата по формуле:

. (3)

Эта величина характеризует отклонение среднего значения серии наблюдений` от действительного значения измеряемой величины х_о (при отсутствии систематической погрешности).

3. Вычисленное по формуле (3) среднее значение является случайной величиной и представляет собой точечную оценку истинного значения измеряемой величины х_о. Эту оценку необходимо дополнить доверительным интервалом D. Значение доверительного интервала показывает, что с заданной вероятностью этот интервал включает в себя истинное значение измеряемой величины х_о. Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х_о попадает в заданный доверительный интервал D, называется доверительной вероятностью a. В соответствии с ГОСТ 8.207-76 [1] при проведении технических и научных измерений следует использовать значение a, равное 0, 95. В особых случаях, например, когда результаты имеют значение для здоровья людей, допускается вместо a = 0, 95 принимать a = 0, 99 и более высокие значения.

Далее следует определить значение коэффициента Стьюдента t_{0, 95}для конкретного количества наблюдений n (таблица 1). Затем следует вычислить абсолютную случайную погрешность Dх_сл (доверительную границу погрешности) при доверительной вероятности a по формуле:

Δ х _сл= t_α_,_n . (4)

Примечание. При прямых измерениях может оказаться, что для результатов отдельных отсчетов все . В этом случае доверительная граница погрешности прямых измерений определяется приборной погрешностью, которая имеет и систематическую, и случайную составляющие.

4. Абсолютная приборная погрешность вычисляется по одной из трех формул.

4.1. Если класс точности прибора указан одним числом g_кл, то:

(5)

где Х_k – предел использованного диапазона измерений прибора;

4.2. Если класс точности прибора указан одним числом g_кл, заключенным в кружок, то:

, (6)

где х – значение измеряемой величины.

Таблица 1

Коэффициент Стьюдента в зависимости от количества наблюдений n

и от значения доверительной вероятности a

a n-1 0, 95 0, 99

3, 182 2, 776 2, 571 2, 447 2, 365 2, 306 2, 262 2, 228 2, 179 2, 145 2, 120 2, 101 2, 086 2, 074 2, 064 2, 056 2, 048 2, 043 1, 960 5, 841 4, 604 4, 032 3, 707 2, 998 3, 355 3, 250 3, 169 3, 055 2, 977 2, 921 2, 878 2, 845 2, 819 2, 797 2, 779 2, 763 2, 750 2, 576

4.3. Если класс точности прибора указан двумя цифрами в виде дроби g_к/g_н, то:

. (7)

В последних двух случаях в качестве значения х принимают среднее (наиболее вероятное) значение измеряемой величины.

Если класс точности прибора не указан, то в качестве значения приборной погрешности принимают половину цены наименьшего деления шкалы (для секундомера - цену одного деления шкалы).

5. Рассчитывают доверительную границу приборной погрешности.

При доверительной вероятности a = 0, 95 значение приборной погрешности определяется соотношением:

Dх_пр = D_пр/2.

6. Согласно [1] приборная погрешность – это одна из составляющих систематической погрешности. Результирующее значение систематической погрешности следует рассчитывать по формуле:

Δ _сист = k (Δ ₁² + Δ ₂²+ Δ _i² + … + Δ _m²)^1/2,

где Δ _i – составляющая погрешности;

k – коэффициент, определяемый доверительной вероятностью. При a = 0, 95 этот коэффициент равен 1, 1.

При доверительной вероятности a = 0, 99 значение коэффициента k определяется в соответствии с таблицей 1 – в зависимости от количества суммируемых составляющих погрешности m и от соотношения главных (по значению) составляющих этой погрешности: l = Δ ₁/ Δ ₂; (Δ ₁> Δ ₂).

Таблица 2

m l

1, 27 1, 22 1, 17 1, 12 1, 09 1, 07 1, 06 1, 05

1, 38 1, 31 1, 24 1, 18 1, 14 1, 11 1, 09 1, 05

1, 41 1, 36 1, 29 1, 22 1, 17 1, 14 1, 12 1, 10

> 4 1, 4 1, 4 1, 4 1, 4 1, 4 1, 4 1, 4 1, 4

7.Вычисляют результирующую доверительную погрешность прямого измерения Dх_å. Значение этой величины определяют две составляющие: случайная погрешность Dх_сл, и систематическая погрешность Dх_сист, включающая приборную погрешность D_пр и отличные от нее по происхождению погрешности, например, методическую погрешность. Вычисление производят путем геометрического сложения составляющих (результат получается меньшим, чем при арифметическом сложении абсолютных значений указанных составляющих; это обосновывается тем, что итоговый результат отражает вероятность частичного взаимного исключения погрешностей противоположного знака). При расчете возможны частные случаи:

(1). Если выполняется неравенство:

2Dх_сист< Dх_сл,

то систематической погрешностью по сравнению со случайной пренебрегают.

(2).Если

Dх_сист > 5Dх_сл,

то случайной погрешностью по сравнению с систематической пренебрегают.

В общем случае границу абсолютной погрешности результата измерений вычисляют по формуле:

Dх_S = (Dх_сл²+ Dх_сист ²)^1/2. (8)

7.Окончательный результат записывают в виде:

. (9)

Запись в виде (9) означает, что с вероятностью 0, 95 истинное значение измеряемой величины х₀ заключено в интервале от ( ) до ( ) и с вероятностью 0, 05 – находится вне его. При этом доверительный интервал равен .

Относительная погрешность результата серии наблюдений равна:

%.

Пример 2. Обработка результатов прямых многократных наблюдений

На вольтметре класса точности g_к/g_н =1, 0/0, 5 с отсчетом трех десятичных знаков (например, на цифровом вольтметре с пределами измерений 100, 10 и 1 В) получены следующие значения измеряемого напряжения:

х₁ =0, 342 В; х₂ = 0, 340 В; х₃ =0, 346 В; х₁ =0, 340 В. Порядок обработки должен быть следующим.

1. Вычисляют среднее арифметическое значение четырех наблюдений по формуле (1) и принимают его за результат измерения:

2. Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения результата серии наблюдений по формуле (3):

3. Вычисляют значение абсолютной случайной погрешности. Для этого задают значение доверительной вероятности, обычно, a = 0, 95.

Согласно таблице 3, значению a = 0, 95 при (n – 1) = 3 соответствует t_{0, 95} = 3, 18. Тогда, в соответствии с формулой (4):

4. Вычисляют приборную погрешность ( при a = 0, 95) по формуле (7):

5. Согласно формуле (8) вычисляют суммарную абсолютную погрешность результата измерений, исходя из того, что Δ х_пр = 3, 35·10^-3В, следовательно Δ х_сист= 3, 35·10^-3В.

6. Окончательный результат записывают в следующем виде:

при a = 0, 95 х=(342±5)´ 10^-3 В.

Относительное значение погрешности равно:

Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Следующая