Равновесие при наличии трения.

В статических задачах в ряде случаев равновесие тел осуществляется при участии сил трения. Различают трение скольжения и трение качения.

а) Трение скольжения.

Силой трения скольжения называется сила сопротивления, возникающая при стремлении двигать одно тело по поверхности другого.

Установлено, что сила трения скольжения направлена в сторону, обратную предполагаемому перемещению. Сила трения пропорциональна силе нормального давления N и при отсутствии взаимной деформации не зависит от площади соприкосновения. Сила трения скольжения зависит от физической природы соприкасающихся поверхностей, качества их обработки, наличия смазки и пр.

Эти факторы учитываются коэффициентом трения скольжения f, величина которого определяется опытным путём и приводится в справочной литературе.

Например, при отсутствии смазки:

дерево по дереву f=0, 4¸ 0, 7

металл по металлу f=0, 15¸ 0, 25

металл по льду f=0, 02¸ 0, 03

Силу трения скольжения принято вычислять по формуле Кулона

F_тр=f*N

б) Трение качения.

Трением качения называется сила сопротивления, возникающая при стремлении перекатывать одно тело по поверхности другого.

Рассмотрим способ вычисления силы трения качения

при стремлении катить упругое колесо по твёрдой

поверхности. Вследствие упругой деформации колеса,

образуется линия контакта АВ протяжённостью 2*d (рис.35).

Попытка перекатить колесо относительно,

например, точки в силой F_{тр.кач.,}, которая воспринимается

как сила сопротивления, связана с преодолением момента,

Рис.35.

создаваемого силой тяжести. Приближённо можно записать для момента начала перекатывания

F_тр.кач.* r»mg*d или

F_тр.кач.»mg*

Величину d, равную половине длины линии контакта колеса и поверхности качения называют коэффициентом трения качения.

Пример: К валу приложена пара сил с моментом М=100Нм.С какой силой Q надо прижимать тормозные колодки, чтобы вал

оставался в покое, если коэффициент трения

между валом и колодками f=0, 25; r=0, 25 м.

Рис.36.

Решение:

Силы сжатия Q, действуя через колодки на вал,

порождают силы нормального давления,

так что N=- Q. Между колодками и валом

образуются силы трения F_тр=f*N=f*Q.

Пара сил, создаваемая силами трения, должна

уравновесить момент заданной пары сил. Так что F_тр* 2 * r = M или f * Q * 2 * r = M

Следовательно Q=

Раздел 2. Кинематика.

Кинематика - раздел механики, изучающий механическое движение с геометрической точки зрения, не интересуясь причинами, вызывающими это движение.

Основные задачи кинематики сводятся к определению местоположения движущегося объекта, выявлению формы траектории движения, вычислению скорости и ускорения.

Движение механических объектов (материальной точки, твёрдого тела) рассматривается в некоторой системе координат (прямоугольной, полярной, сферической и др.). Выбор той или иной системы координат определяется типом задачи.

Движение твёрдого тела может быть задано движением нескольких его точек. В некоторых задачах движение твёрдого тела удаётся свести к движению одной его точки. Таким образом, приступая к изучению кинематики, целесообразно начать с кинематики точки.

Тема 5. Кинематика точки.

Способы задания движения точки.

Задать движение точки - это значит указать метод определения положения точки в пространстве, способ вычисления её скорости и ускорения в любой момент времени. Существует несколько способов задания движения точки. Рассмотрим основные из них, установим взаимосвязь между ними. Путём изучения различных способов задания движения точки рассмотрим более подробно свойства скорости и ускорения, их взаимосвязь и ориентирование относительно траектории и систем отсчёта.

§ 1. Векторный способ задания движения точки.

При векторном способе движение точки

задаётся радиусом-вектором, проведённым

из некоторого неподвижного полюса О.

С течением времени радиус-вектор

полюс

за счёт движения точки М изменяется

по величине и направлению.

Векторное уравнение вида называется

уравнением движения точки. Рис.1.

Конец радиус-вектора, совпадая с точкой М, при её движении описывает кривую, которая представляет собой:

- с одной стороны, годограф радиуса-вектора ;

- с другой стороны, траекторию точки М.

Траекторией точки называется некоторая кривая, которую последовательно проходит движущаяся точка в рассматриваемой системе отсчёта.

Было сказано, что при движении точки её радиус-вектор изменяется.

Пусть за время точка М переместилась вдоль траектории из положения М₁ в положение

М₂. Из рис.2: , где - приращение радиуса-вектора за время D t.

Векторная величина, определяемая выражением:

называется вектором скорости точки М в момент времени t. Геометрически вектор характеризует скорость изменения радиуса-вектора и по направлению совпадает с его приращением . В пределе из секущей превращается к траектории в момент времени t превращается в касательную. Следовательно и вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке М в сторону её движения.

Рассмотрим некоторую траекторию точки и отметим на ней последовательно положение точки (М₁; M₂... М_n). Здесь же изобразим векторы корости . Для того, чтобы более наглядно рассмотреть характер изменения вектора корости, изобразим их исходящими из одной точки О₁. При таком способе изображения концы вектора корости опишут кривую-годограф вектора скорости. Вектор скорости , соединяющий концы

V_n

векторов скорости при последовательном перемещении точки, является приращением вектора скорости за время

. Векторная величина, определяемая выражением

называется вектором ускорения точки М в

момент времени t. Геометрически вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости во времени.

§ 2. Координатный способ задания движения точки.

Координатный способ легко может быть получен из векторного. Точку отсчёта

(полюс) О примем за начало координат, например, прямоугольных осей XYZ (рис.4).

Тогда положение точки М в пространстве

можно задать координатами X_M; Y_M; Z_M, а

введённые в векторном способе векторы

могут быть записаны:

Как видим, в координатном способе векторы

однозначно определяются их тремя

проекциями на оси координат.

Уравнения X_M=f(t); Y_M=f(t); Z_M=f(t)

называются уравнениями движения точки в координатной форме. Математически их можно рассматривать как уравнения траектории точки в параметрической форме. Исключив параметр t, получим уравнение траектории в координатной форме: Z=f(X, Y).

По определению:

Следовательно:

Аналогично:

Следовательно:

Пример: Движение точки в плоскости XY задано уравнениями:

Определить форму траектории и получить формулы для вычисления скорости и ускорения.

Решение:

Исключим параметр t из уравнений движения: сложим

Форма траектории - окружность радиуса А.

§ 3 Естественный метод задания движения точки.

Встречаются задачи, когда траектория точки задана её условиями. В этом случае положение точки в пространстве может определяться криволинейной (дуговой)координатой S, отмеряемой от некоторой начальной точки отсчёта О до исследуемой точки М вдоль траектории (рис.5). Уравнение вида S=f(t) называется уравнением движения точки при естественном способе задания её движения. Рассмотрим теперь методы определения скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения:

1)По определению

Представим: , где

единичный вектор,

касательный к траектории в точке М

и направленный в строну увеличения

дуговой координаты.

- алгебраическая величина (модуль)

скорости; может принимать как положительные так и отрицательные значения.

Таким образом:

По определению:

Замечаем, что при таком представлении вектор ускорения раскладывается на две составляющие.

Рассмотрим их геометрический смысл.

Видно, что первое слагаемое проектируется на касательную к траектории и называется касательным ускорением.

Покажем, что второе слагаемое проектируется на нормаль к траектории и поэтому называется нормальным ускорением.

Представим:

Геометрический смысл производной

можно уяснить из рис.6.

Определим модуль вектора :

dS=R*dЄ

d Є=dЄ ( )

Таким образом:

Определим направление вектора .

В заштрихованном равнобедренном треугольнике сумма углов

dЄ+2* , откуда

При ds Є

Следовательно, в пределе , таким образом вектор нормален к касательной и направлен к центру кривизны траектории. Окончательно:

Возвратимся теперь к полному выражению для ускорения точки при естественном способе задания её движения

Касательная составляющая полного ускорения

характеризует изменение скорости по величине

(при V=const ).

Нормальная составляющая полного ускорения

характеризует изменение вектора скорости по

направлению (при движении по прямой R= и )

В общем случае ;

При рассмотрении естественного способа задания движения точки введены понятия касательной и нормальной осей к траектории в точке М. Эти оси называются естественными осями координат. Их особенностью является движение вместе с точкой М по траектории, они поворачиваются вместе с изгибами траектории (рис.8).

Рассмотрим теперь один из

способов установления аналитической

связи между проекциями ускорения точки

в естественных и прямоугольных осях

координат.

Имеем выражение для модуля

скорости точки

Продифференцируем это выражение

по времени:

Таким образом и

Пример: Точка движется по окружности радиуса R=1м согласно уравнению S=¶ * t, м. Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки при t=1с.

Решение:

[м/c]

[м/с²]

[м/c²]

Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая