Тема 2. Момент силы пара сил.

§ 1. Момент силы относительно точки и оси.

Рис.6.

Представим эксперимент: к телу, закреплённому шарнирно в точке О, приложим силу F, линия действия которой не проходит через точку О. Действие силы сведётся к повороту тела относительно точки закрепления. Интенсивность поворота зависит от величины силы F и расстояния линии действия от точки (плеча h).

В данном случае говорят, что тело поворачивается под действием момента силы, равного произведению силы на плечо:

Мо=F * h

В теоретических рассуждениях моменту силы относительно точки (полюса) придают векторное содержание.

Рис.7.

Моментом силы F относительно полюса О называют вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения на вектор силы: = *

Известно, что перпендикулярен и и составляет с ним правую тройку векторов.

Модуль момента силы определяется выражением: Мо=r*F*sin g

Из рис.7.следует, что r * sin g = h, так что Мо=F*h, где h-кратчайшее расстояние от полюса О до линии действия силы (плечо силы).

Таким образом, модуль момента силы относительно полюса определяется уже известным выражением: Мо = F * h

Теперь рассмотрим понятие момента силы относительно оси. Пусть некоторая ось Oz проходит через полюс О, относительно которого сила имеет момент (рис.8).

Пусть между вектором момента

и осью Z образовался угол a.

Рис.8.

Моментом силы относительно оси Oz, проходящей через точку О, называют проекцию полярного момента на эту ось: Mz = Mo * cos a

Укажем практический способ вычисления момента силы относительно оси. Проведём через точку А приложения силы плоскость, перпендикулярную оси Z и спроектируем на эту плоскость силу F (получим F¢ ). Используя точку пересечения плоскости и оси О¢, рассмотрим два треугольника ОАВ и О¢ A¢ B¢. Треугольник O¢ A¢ B¢ является проекцией треугольника ОАВ на построенную нами плоскость, следовательно S o¢ a¢ b¢ = S oab * cos a, где a-угол между перпендикулярами к плоскостям соответствующих треугольников. (Из геометрии: площадь проекции плоской фигуры равна произведению площади проецируемой фигуры на косинус угла между плоскостями).

Но S o¢ a¢ b¢ = 0, 5 * F¢ * h¢, a S oab = 0, 5 * F * h = 0, 5 * Мо.

Таким образом: F¢ * h¢ = F * h * cos a = Mo * cos a = Mz.

Отсюда вытекает правило для вычисления момента силы относительно оси:

Необходимо силу на плоскость, перпендикулярную оси и умножить проекцию силы на кратчайшее расстояние до оси: Mz = F¢ * h¢

Для осевого момента вводится правило знаков (рис.9)

Поворот против Поворот по часовой стрелке

часовой стрелки

Рис.9.

Используя представление момента силы относительно точки О как векторного произведения Mo=r xF, можно установить аналитическую связь между моментом силы относительно точки О как начала координат и моментами относительно координатных осей.

Пусть

= x * + y * + z *

=F_x* + F_y* + F_z* ,

тогда

Рис.10.

Следовательно:

M_x= y * F_z— z * F_y

M_y= z * F_x— x * F_z формулы Эйлера

M_z= x * F_y — y * F_z

Рассмотрим численный пример.

x = r_x= 2 м Fx = - 2 H

y = r_y= 2 м F_Y= 3 H

z = r_z= 0 F_Z= 0

Подставляем данные в

формулы Эйлера, получаем:

M_X= 2 * 0 – 0 * 3 = 0

M_Y= 0 * (-2) – 2 * 0 = 0

M_Z= 2 * 3 – 2 * (-2) = 10 Hм

Рис.11.

M_O== 10 Нм

М₀ = М_z.

§ 2. Пара сил и её свойства.

Парой сил называют систему двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, линии действия которых не совпадают.

Пара сил характеризуется:

-плоскостью пары

-модулем сил, составляющих пару сил

-расстоянием между линиями действия сил

(плечом пары).

Рис. 11

Естественно, что пара сил не находится в равновесии. Её механическое действие сводится к повороту тела в плоскости пары

М=F*h

Момент пары рассматривают как вектор и направляют его перпендикулярно плоскости пары.

Пара сил обладает рядом свойств. Рассмотрим важнейшие из них:

Основное свойство пары (теорема1):

Сумма моментов сил пары относительно любого полюса равна моменту пары.

Из рис.13 имеем:

По определению пары

F₂=-F₁

Представим

Рис.13 Теперь найдём искомую сумму моментов:

где М = F * h – момент пары.

Таким образом, если сумма моментов сил пары не изменяется при изменении центра приведения О и остаётся равной моменту пары, то эффективность пары не изменится:

а) при переносе пары сил в любое другое место её плоскости (рис.14, а);

б) при переносе пары сил в любую другую параллельную плоскость (рис.14, б);

в) при повороте пары сил в плоскости пары на любой угол (рис.14, в).

Рис.14.

Следует также отметить вполне очевидное свойство пары: две пары с одинаковыми моментами эквивалентны (оказывают на тело одинаковое действие)

M=F₁*h₁=F₂*h₂

Рассмотренные свойства пары сил позволяют сделать следующий вывод:

вектор момента пары сил М является свободным вектором.

Если на тело действует несколько пар сил, то пара сил момент которой равен сумме моментов пар сил, эквивалентна данной системе пар сил.

Приведём моменты пар к

общему плечу h и представим

М₁=F₁*h

M₂=F₂*h

M₃=-F₃*h

Таким образом

M₁+M₂+M₃=(F₁+F₂-F₃)*h=R*h=M_гл.

Рис.15

Примечание: сказанное справедливо и для случая, когда слагаемые векторы пар сил действуют в пересекающихся плоскостях (рис.16.).

Используя свойства пары, совместим векторы пар в точке О на линии пересечения плоскостей пар и найдём векторную сумму моментов пар сил:

Рис.16.

Итак, действие системы пар сил на тело эквивалентно одной паре, вектор момента которой равен сумме векторов моментов слагаемых пар. Если модуль этого суммарного вектора момента окажется равным нулю, то это эквивалентно отсутствию пары. Это обстоятельство позволяет сформулировать условия равновесия тела при действии на него системы пар сил: