Тема 7. Плоскопараллельное (плоское) движение тела.

Плоским называется такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой заданной плоскости (рис.21).

Из определения следует, что

все точки тела, лежащие на одном

перпендикуляре к плоскости

движения движутся по одинаковым

траекториям, имеют одинаковые

скорости и ускорения.

На этом основании плоское

движение тела обычно сводят к

движению плоской фигуры в плоскости

движения.

Положение плоской фигуры на плоскости однозначно определяется положением двух его любых точек А и В или положением отрезка АВ (рис.22).

Плоское движение достаточно распространено в природе и технике. Так колесо, катящееся по некоторой направляющей, совершает плоское движение. Для плоского движения можно доказать несколько теорем, более детально раскрывающих его кинематическую сущность.

Теорема 1 : Плоское движение плоской фигуры в любой момент времени можно рассматривать как совокупность двух перемещений:

-- поступательного движения вместе с произвольной точкой, называемой полюсом;

-- вращательного движения относительно полюса.

Действительно, как это следует

из рис.23, новое положение фигуры

при плоском движении путём можно

получить путем поступательного

вместе с произвольным полюсом с

и последующим поворотом её

относительно полюса на

угол j. Заметим, что последова-

тельность перемещений не имеет

значения. Отметим ещё одно важное

обстоятельство: угол поворота в

новом положении не зависит от выбора

полюса.

Приведённые рассуждения позволяют составить кинематические уравнения плоского движения фигуры. Они представляют собой систему уравнений, описывающих движение полюса С, и вращательное движение относительно полюса:

Поскольку, как указывалось, угол поворота не зависит от выбора полюса, то и его производные и также не зависят от выбора полюса. Их называют:

w - угловая скорость плоского движения;

e - угловое ускорение плоского движения.

Теорема 2: Скорость любой точки фигуры при плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и скорости при вращении относительно полюса.

Утверждение этой теоремы базируется на выводах предыдущей теоремы. Действительно, если плоское движение есть совокупность поступательного и вращательного движений, то и скорость любой точки фигуры складывается из скоростей поступательного и вращательного движений. Доказательство можно провести и более строго:

Выберем за полюс точку А со

скоростью . Фигура, двигаясь плоско,

вращается с угловой скоростью w.

Движение точек А и В фигуры

определим радиусами-векторами и

относительно неподвижного центра О

(рис.24). Из рисунка:

В этом выражении векторы и

могут изменяться произвольно, вектор же

может только поворачиваться; модуль его неизменен, поскольку он соединяет две точки недеформируемого тела. Для перехода к скоростям продифференцируем записанное выражение:

или , где

- вращательная скорость точки В относительно точки А.

Таким образом:

На основании этой теоремы можно сформулировать простое правило вычисления скорости любой точки тела при плоском движении, если известна скорость какой - либо другой точки тела и угловая скорость:

1.Выберем за полюс точку тела, скорость которой известна (точка А на рис.25).

2.В искомой точке В отложим вектор скорости полюса А (при поступательном движении скорости всех точек одинаковы).

3.Вычислим вращательную скорость точки В относительно полюса А

V_BA=w*AB

и отложим её перпендикулярно АВ,

направив вектор по направлению

вращения.

4.Вычислим скорость точки В по

формуле: .

Доказанная теорема подтверждает справедливость

основной теоремы кинематики твёрдого

тела (см. выше) применительно к плоскому

движению.

Проекции скоростей двух точек на

линию, проходящую через эти точки,

равны между собой (рис.26). Так как

, то .

Теорема 3: Ускорение любой точки фигуры при плоском движении равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения при вращении относительно полюса.

Доказательство этой теоремы легко получается на основании соотношения, полученного в предыдущей теореме.

Имеем:

Дифференцируем по времени:

или

, где

- вращательное ускорение точки В относительно А.

- центростремительное ускорение точки В относительно А.

Таким образом, .

На основании этой теоремы можно

сформулировать простое правило

вычисления ускорения любой точки

тела при плоском движении, если известно

ускорение какой-либо другой точки,

угловая скорость и угловое ускорение.

1.Выберем за полюс точку тела, ускорение

которой известно (точка А на рис.27).

2.В искомой точке В отложим вектор

ускорения полюса А (при поступательном

движении ускорения всех точек одинаковы).

3.Вычислим вращательное ускорение точки

В относительно полюса А

и отложим его перпендикулярно АВ, направив вектор по направлению углового ускорения.

4.Вычислим центростремительное ускорение точки В относительно полюса А

( ) и отложим его по линии АВ от точки В к А.

5.Вычислим ускорение точки В по формуле:

При решении некоторых задач на плоское движение полезной оказывается теорема о существовании мгновенного центра скоростей.

Теорема 4: При плоском движении фигуры в каждый момент времени существует точка, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей(МЦС).

Возьмём две произвольные точки

фигуры со скоростями и . Проведём

перпендикуляры к скоростям, которые

пересекутся, например, в точке О (рис.28).

Эта точка О имеет нулевую скорость, т.е.

является МЦС. В противном случае не

будет выполняться основная теорема

кинематики твёрдого тела о равенстве

проекций скоростей точек тела на линию,

проходящую через эти точки.

При использовании МЦС в качестве

полюса заметно упрощается задача по определению

скоростей точек тела.

Например, при полюсе А со скоростью :

при полюсе О со скоростью V_o=0:

Замечаем, что плоское движение фигуры относительно МЦС сводится к мгновенному вращению. Необходимо отметить, что в мгновенном центре скоростей ускорение точки фигуры не равно нулю, поэтому приведённые выше рассуждения нельзя распространять на задачу по определению ускорений. Можно показать, что наряду с МЦС, в каждый момент времени существует и мгновенный центр ускорений (МЦУ). Координаты МЦС и МЦУ не совпадают.

Итак, задача по определению скоростей точек фигуры при плоском движении упрощается при использовании МЦС в качестве полюса.

Отыскание же местоположения самого МЦС на плоскости движения в ряде случаев особой трудности не представляет.

Рис.29.

Так на рис. 29 (а) положение МЦС определяется как точка пересечения перпендикуляров к скоростям в точках А и В стержня АВ, совершающего плоское движение.

На рис. 29 (б) положение МЦС определяется в точке контакта К неподвижного рельса и колеса, совершающего плоское движение.

В заключение рассмотрим пример определения скорости и ускорения точки А колеса, катящегося без скольжения по горизонтальному основанию.