Дистанционной формы обучения

Теоретическая механика

Учебное пособие для студентов

Дистанционной формы обучения

Барнаул 2009
Статика твердого тела

Основные понятия и аксиомы статики

Основные понятия статики

Статика - раздел теоретической механики, в котором рассматривается учение о силах и условия равновесия тел под действием этих сил.

В теоретической механике в качестве материальных объектов рассматриваются:

-- материальная точка - материальное тело, обладающее массой и способностью взаимодействовать с другими телами, но размерами которого в данной конкретной задаче можно пренебречь.

-- механическая система - система взаимосвязанных материальных точек.

Под механической системой в абстрактном смысле можно понимать любое механическое устройство.

Абсолютно твёрдое тело - неизменяемая система материальных точек.

Сила - мера механического взаимодействия материальных объектов.

По своей природе сила - векторная величина и в общем случае характеризуется:

-численной величиной (модулем)

-линией действия и направлением

-точкой приложения.

Рисунок 1

Линия действия силы - прямая, с которой совпадает вектор силы.

Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело или механическую систему, называется системой сил.

Системы сил, оказывающие одинаковое механическое воздействие на материальный объект называются эквивалентными системами сил.

Одна сила, эквивалентная некоторой системе сил, называется равнодействующей силой.

Система сил, приложенная к материальному объекту, не нарушающая характер его механического движения, называется системой взаимно уравновешивающихся сил.

Силы, действующие на механическую систему, делят на внешние и внутренние.

Внешними называют силы, действующие на материальные точки данной механической системы со стороны материальных объектов, не входящих в эту систему.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между материальными объектами данной механической системы.

Аксиомы статики

В основе любых естественных наук, какой является и механика, лежат объективные законы природы, установленные опытным путем.

Эти законы называются аксиомами. Аксиомы не доказываются, их справедливость подтверждается многовековой практикой.

В статике используются аксиомы:

1. Аксиома покоя: Система взаимно уравновешивающихся сил не может нарушить исходного покоя механического объекта.

2. Аксиома равновесия двух сил: Две силы взаимно уравновешиваются только в том случае, если они имеют общую линию действия, равны по величине и направлены в разные стороны.

3. Аксиома присоединения или исключения взаимно уравновешивающихся сил: Если к механическому объекту, находящемуся под действием некоторой системы сил присоединить(или исключить) систему взаимно уравновешивающихся сил, то получится система сил, эквивалентная заданной.

Из аксиомы (3) вытекает важное следствие:

-механическое состояние твердого тела не изменится вследствие переноса силы вдоль её линии действия.

Рисунок 2

Вывод: Вектор силы - скользящий вектор.

4. Аксиома параллелограмма сил: Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и представляется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

Рисунок 3.

Из аксиомы(4) вытекает следствие, получившее название

Теорема о трёх силах: Если три непараллельные силы взаимно уравновешены, то они лежат в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке.

Рисунок 4.

Доказательство: Пусть силы F1, F2, F3 взаимно уравновешены. Заменим силы F2 и F3 их равнодействующей R, приложенной в точке их пересечения В. Силы R и F1 эквивалентны исходной системе сил. Две же силы взаимно уравновешены, если они имеют общую линию действия. Следовательно линия действия силы F1 также пройдёт через точку В.

5. Аксиома равенства действия и противодействия:

Рисунок 5

Всякому действию существует равное и противоположно направленное противодействие.

На основе этой аксиомы вводится понятие сил реакции связей.

Раздел 2. Кинематика.

Кинематика - раздел механики, изучающий механическое движение с геометрической точки зрения, не интересуясь причинами, вызывающими это движение.

Основные задачи кинематики сводятся к определению местоположения движущегося объекта, выявлению формы траектории движения, вычислению скорости и ускорения.

Движение механических объектов (материальной точки, твёрдого тела) рассматривается в некоторой системе координат (прямоугольной, полярной, сферической и др.). Выбор той или иной системы координат определяется типом задачи.

Движение твёрдого тела может быть задано движением нескольких его точек. В некоторых задачах движение твёрдого тела удаётся свести к движению одной его точки. Таким образом, приступая к изучению кинематики, целесообразно начать с кинематики точки.

Тема 5. Кинематика точки.

Способы задания движения точки.

Задать движение точки - это значит указать метод определения положения точки в пространстве, способ вычисления её скорости и ускорения в любой момент времени. Существует несколько способов задания движения точки. Рассмотрим основные из них, установим взаимосвязь между ними. Путём изучения различных способов задания движения точки рассмотрим более подробно свойства скорости и ускорения, их взаимосвязь и ориентирование относительно траектории и систем отсчёта.

§ 1. Векторный способ задания движения точки.

При векторном способе движение точки

задаётся радиусом-вектором, проведённым

из некоторого неподвижного полюса О.

С течением времени радиус-вектор

полюс

за счёт движения точки М изменяется

по величине и направлению.

Векторное уравнение вида называется

уравнением движения точки. Рис.1.

Конец радиус-вектора, совпадая с точкой М, при её движении описывает кривую, которая представляет собой:

- с одной стороны, годограф радиуса-вектора ;

- с другой стороны, траекторию точки М.

Траекторией точки называется некоторая кривая, которую последовательно проходит движущаяся точка в рассматриваемой системе отсчёта.

Было сказано, что при движении точки её радиус-вектор изменяется.

Пусть за время точка М переместилась вдоль траектории из положения М₁ в положение

М₂. Из рис.2: , где - приращение радиуса-вектора за время D t.

Векторная величина, определяемая выражением:

называется вектором скорости точки М в момент времени t. Геометрически вектор характеризует скорость изменения радиуса-вектора и по направлению совпадает с его приращением . В пределе из секущей превращается к траектории в момент времени t превращается в касательную. Следовательно и вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке М в сторону её движения.

Рассмотрим некоторую траекторию точки и отметим на ней последовательно положение точки (М₁; M₂... М_n). Здесь же изобразим векторы корости . Для того, чтобы более наглядно рассмотреть характер изменения вектора корости, изобразим их исходящими из одной точки О₁. При таком способе изображения концы вектора корости опишут кривую-годограф вектора скорости. Вектор скорости , соединяющий концы

V_n

векторов скорости при последовательном перемещении точки, является приращением вектора скорости за время

. Векторная величина, определяемая выражением

называется вектором ускорения точки М в

момент времени t. Геометрически вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости во времени.

§ 2. Координатный способ задания движения точки.

Координатный способ легко может быть получен из векторного. Точку отсчёта

(полюс) О примем за начало координат, например, прямоугольных осей XYZ (рис.4).

Тогда положение точки М в пространстве

можно задать координатами X_M; Y_M; Z_M, а

введённые в векторном способе векторы

могут быть записаны:

Как видим, в координатном способе векторы

однозначно определяются их тремя

проекциями на оси координат.

Уравнения X_M=f(t); Y_M=f(t); Z_M=f(t)

называются уравнениями движения точки в координатной форме. Математически их можно рассматривать как уравнения траектории точки в параметрической форме. Исключив параметр t, получим уравнение траектории в координатной форме: Z=f(X, Y).

По определению:

Следовательно:

Аналогично:

Следовательно:

Пример: Движение точки в плоскости XY задано уравнениями:

Определить форму траектории и получить формулы для вычисления скорости и ускорения.

Решение:

Исключим параметр t из уравнений движения: сложим

Форма траектории - окружность радиуса А.

§ 3 Естественный метод задания движения точки.

Встречаются задачи, когда траектория точки задана её условиями. В этом случае положение точки в пространстве может определяться криволинейной (дуговой)координатой S, отмеряемой от некоторой начальной точки отсчёта О до исследуемой точки М вдоль траектории (рис.5). Уравнение вида S=f(t) называется уравнением движения точки при естественном способе задания её движения. Рассмотрим теперь методы определения скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения:

1)По определению

Представим: , где

единичный вектор,

касательный к траектории в точке М

и направленный в строну увеличения

дуговой координаты.

- алгебраическая величина (модуль)

скорости; может принимать как положительные так и отрицательные значения.

Таким образом:

По определению:

Замечаем, что при таком представлении вектор ускорения раскладывается на две составляющие.

Рассмотрим их геометрический смысл.

Видно, что первое слагаемое проектируется на касательную к траектории и называется касательным ускорением.

Покажем, что второе слагаемое проектируется на нормаль к траектории и поэтому называется нормальным ускорением.

Представим:

Геометрический смысл производной

можно уяснить из рис.6.

Определим модуль вектора :

dS=R*dЄ

d Є=dЄ ( )

Таким образом:

Определим направление вектора .

В заштрихованном равнобедренном треугольнике сумма углов

dЄ+2* , откуда

При ds Є

Следовательно, в пределе , таким образом вектор нормален к касательной и направлен к центру кривизны траектории. Окончательно:

Возвратимся теперь к полному выражению для ускорения точки при естественном способе задания её движения

Касательная составляющая полного ускорения

характеризует изменение скорости по величине

(при V=const ).

Нормальная составляющая полного ускорения

характеризует изменение вектора скорости по

направлению (при движении по прямой R= и )

В общем случае ;

При рассмотрении естественного способа задания движения точки введены понятия касательной и нормальной осей к траектории в точке М. Эти оси называются естественными осями координат. Их особенностью является движение вместе с точкой М по траектории, они поворачиваются вместе с изгибами траектории (рис.8).

Рассмотрим теперь один из

способов установления аналитической

связи между проекциями ускорения точки

в естественных и прямоугольных осях

координат.

Имеем выражение для модуля

скорости точки

Продифференцируем это выражение

по времени:

Таким образом и

Пример: Точка движется по окружности радиуса R=1м согласно уравнению S=¶ * t, м. Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки при t=1с.

Решение:

[м/c]

[м/с²]

[м/c²]

Раздел 3. Динамика.

Динамика - раздел механики, изучающий механическое движение в связи с силами, вызывающими это движение.

В теоретической механике абстрагируются от конкретных физических свойств движущихся материальных объектов и изучают движение некоторых материальных точек и твёрдых тел. Изучение динамики начнём с динамики материальной точки.

Тема 10. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Введение

Под колебаниями понимают движение относительно некоторого среднего положения, обладающее повторяемостью.

Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях науки ( в механике, в акустике, в электронике и т.д.) имеют различную физическую сущность, они подчиняются одинаковым закономерностям и описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Механические колебания происходят под действием восстанавливающей силы, пытающейся вернуть колеблющийся материальный объект к равновесному положению. В качестве восстанавливающей силы может служить неуравновешенная составляющая силы тяжести, сила деформированной пружины и др.

Кроме восстанавливающей силы в процессе механических колебаний могут действовать и другие силы, например:

- сила вязкости среды;

- дополнительная внешняя сила; наибольший технический интерес представляет случай, когда эта сила носит периодический характер и называется вынуждающей силой.

В зависимости от набора этих сил различают:

1. Свободные колебания, происходящие под действием только восстанавливающей силы.

2. Свободные затухающие колебания, когда свободные колебания происходят в вязкой среде.

3. Вынужденные колебания, происходящие под действием восстанавливающей и вынуждающей сил без учёта или с учётом сил вязкости.

Общие теоремы теории удара.

а) Теорема об изменении количества движения.

Эту теорему для случая удара легко получить из основного уравнения (1):

Для материальной точки:

Для механической системы:

( )

Таким образом:

(2) или

(2а)

Получили: Изменение количества движения механической системы за время удара равно сумме внешних ударных импульсов.

Внутренние ударные импульсы взаимно уничтожаются и не могут изменить количество движения всей системы (например, при внутреннем взрыве).

б) Теорема об изменении момента количества движения.

Эту теорему для случая удара также получим из основного уравнения (1).

Для материальной точки:

Умножим это уравнение векторно на радиус-вектор точки, проведённый из заданного полюса О

или

Для механической системы:

( )

Таким образом: (3)

Получили: Изменение момента количества движения механической системы за время удара равно сумме моментов ударных импульсов относительно заданного полюса О.

Как и в предыдущем случае, моменты внутренних ударных импульсов взаимно уничтожаются и не могут изменить момент количества движения всей системы.

в) Теорема об изменении кинетической энергии.

Эту теорему для случая удара записывают не в обычном виде , поскольку о допущении о неподвижности точек в момент удара невозможно вычислить работу ударных импульсов как произведение как произведение силы на перемещение. Однако в большинстве случаев при ударе происходит потеря кинетической энергии DТ_уд и теорему об изменении кинетической энергии при ударе записывают в виде:

(4)

Рассмотрим примеры использования общих теорем теории удара.

Общее уравнение динамики.

Принцип возможных перемещений можно применять и в случаях, когда механическая система не находится в равновесии. Однако в этом случае к материальным точкам системы, наряду с задаваемыми силами и силами реакции связей, для получения динамического равновесия по Даламберу, следует прикладывать силы инерции.

Запишем уравнения динамического равновесия точек системы:

Зададим системе мысленное малое возможное перемещение, при этом силы, приложенные к её точкам, выполнят элементарные работы, сумма которых равна нулю.

или

Если механическая система имеет только идеальные связи, то по определению.

Таким образом: Для всякой механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех задаваемых сил и сил инерции, условно приложенных к точкам системы, равна нулю.

Уравнение вида называется общим уравнением динамики.

Общее уравнение динамики обычно используется для вычисления ускорений точек механической системы.

Примечание: Если механическая система имеет z степеней свободы, то для описания её полного движения требуется составить z общих уравнений динамики.

Уравнение Лагранжа II рода.

Ускорение точек механической системы можно определять и с помощью уравнения Лагранжа II рода, являющегося дифференциальным уравнением механической системы.

Получим это уравнение для механической системы с одной степенью свободы.

Пусть механическая система задана обобщённой координатой q(t). Радиус - вектор произвольной i-той точки системы можно соответствующим образом вычислить через обобщённую координату

Тогда скорость этой точки определим:

Следовательно, вектор скорости произвольной i - той точки в общем случае зависит как от обобщённой координаты q, так и от обобщённой скорости

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий её материальных точек.

Учитывая эту функциональную зависимость, найдём частные производные от кинетической энергии по обобщённой координате q и обобщённой скорости

по правилу Лопиталя

Таким образом:

Продифференцируем последнее уравнение по времени:

Таким образом:

Рассмотрим физический смысл выражения, стоящего в правой части полученного уравнения.

= - есть сумма элементарных работ задаваемых сил, приложенных к точкам системы. Эту сумму работ можно представить как некоторую обобщённую силу Q механической системы, умноженную на элементарное перемещение обобщённой координаты, т.е.

=Q_i

Следовательно, / - обобщённая сила системы.

Окончательно получим уравнение Лагранжа II рода:

= Q

Примечание: Если механическая система имеет z степеней свободы, то для описания её полного движения требуется составить z уравнений Лагранжа II рода:

............

При использовании уравнений Лагранжа II рода рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

1. Изобразить на рисунке механической системы активные силы( и моменты от пар сил).

2. Выбрать обобщённую координату.

3. Выразить кинетическую энергию системы через обобщённую скорость и обобщённую координату.

4. Вычислить обобщённую силу системы, для чего определить сумму элементарных работ всех активных сил и разделить её на приращение обобщённой координаты.

5. Решить уравнение Лагранжа II рода.

Теоретическая механика

Учебное пособие для студентов

дистанционной формы обучения

Барнаул 2009
Статика твердого тела

Основные понятия и аксиомы статики

Основные понятия статики

В теоретической механике в качестве материальных объектов рассматриваются:

-- механическая система - система взаимосвязанных материальных точек.

Под механической системой в абстрактном смысле можно понимать любое механическое устройство.

Абсолютно твёрдое тело - неизменяемая система материальных точек.

Сила - мера механического взаимодействия материальных объектов.

По своей природе сила - векторная величина и в общем случае характеризуется:

-численной величиной (модулем)

-линией действия и направлением

-точкой приложения.

Рисунок 1

Линия действия силы - прямая, с которой совпадает вектор силы.

Из аксиомы (3) вытекает важное следствие:

-механическое состояние твердого тела не изменится вследствие переноса силы вдоль её линии действия.

Рисунок 2

Вывод: Вектор силы - скользящий вектор.

Рисунок 3.

Из аксиомы(4) вытекает следствие, получившее название

Рисунок 4.

5. Аксиома равенства действия и противодействия:

Рисунок 5

Всякому действию существует равное и противоположно направленное противодействие.

На основе этой аксиомы вводится понятие сил реакции связей.

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая