Ситуация равновесия по Нэшу в информационном расширении игры

Пусть задана игра:

Г = < , , , >

и ее информационное расширение:

Определение.

( ⁰, ⁰)- ситуация равновесия в информационном расширении игры, если M₁⁰ =M₁(π ( ⁰, ⁰))= M₁(π ( , ⁰))

M₂⁰= M₂(π ( ⁰, ⁰))= M₂(π ( ⁰, )

Заметим, что

( ⁰, ⁰) π (х₁⁰, х₂⁰) – равновесный исход, но не ситуация равновесия!

Таким образом, ситуация равновесия может реализоваться на стратегиях

( º, º ) є

но ее проекция

( хº ₁, хº ₂) є

не обязательно равновесная по Нэшу.

Напомним, что стратегия ^а = х₁^а(х₂) называется абсолютно оптимальной стратегией, если справедливо равенство:

M₁(x₁^а(x₂), x₂)= M₁(x₁, x₂)

Определим x₂= х₂^а - оптимальный ответ второго игрока из условия:

M₂(x₁^а(x₂), x₂) = M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а )

 

Положительные свойства стратегий:

Свойство 1.

Ситуация равновесия всегда существует на классе стратегий

( , )=(x₁(x₂), x₂)

Доказательство: Достаточно выбрать абсолютно оптимальную стратегию ^а = хª ₁(x₂), и оптимальный ответ на нее ^а = х₂^а

По определению:

M₁(x₁^а(x₂), x₂) = M₁(x₁, x₂),

M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а ) = M₂(x₁^а(x₂), x₂).

Тогда, если = х₂^а, то

M₁(π ( , x^2^а))= M₁(x₁(xª ₂), xª ₂) = M₁(x₁^а(x₂^а), x₂^а ).

Если = ^а ( ), то M₂(x₁^а(x₂), x₂ )= M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а), что соответствует определению ситуации равновесия в информационном расширении игры.

 

Свойство 2.

Если , то и – увеличение информации приводит к возможности увеличения выигрыша.т

Доказательство:

Первый игрок может не использовать дополнительную информацию и получить . А если повезёт (дополнительная информация оказалась полезной), то получит строго больше.

 

Свойство 3.

Пусть игрок 1 знает х_2.

Определим взаимовыгодное множество для этого случая:

₁₂={(х₁, х₂) M₁( х₁, х₂) ≥ M₁(х₁, х₂);

M₂( х₁, х₂) ≥ M₂(х₁, х₂)}.

Любая точка из этого множества может быть сделана ситуацией равновесия на классе стратегий

{х₁(х₂), х₂[х₁(х₂)]}

Аналогичное утверждение верно и в симметричном случае, когда игрок 2 знает х_1.

Здесь взаимовыгодное множество определяется следующим образом:

₂₁={(х₁, х₂) M₁( х₁, х₂) ≥ M₁(х₁, х₂);

M₂( х₁, х₂) ≥ M₂(х₁, х₂)}.

А класс использованных стратегий имеет вид:

{ х₁ [х₂(х₁)], х₂ (х₁)}.

Для иллюстрации сделанных выводов рассмотрим следующий

Пример. [1]

Исследуем биматричную игру:

М₁= M₂=

 

Сначала найдем равновесные ситуации в исходной игре.

Для этого определим:

x₁^a(x₂) –абсолютно оптимальную стратегию первого игрока и

х₂ = x₂^a – оптимальный ответ второго.

Напомним, что:

x₁^a(x₂): M₁(x₁^a(x₂), x₂) = M₁(x₁, x₂)x₂^a:

M₂(x₁^a(x₂^а), x₂^a) = M₂(x₁^a(x₂^а), x₂).

Итак:

3, если x₂ = 1

x₁^a(x₂) = 2, если x₂ = 2

2, если x₂ = 3

Аналогично: 3, если x₁ = 1

x₂^a(x₁) = 2, если x₁ = 2

2, если x₁ = 3

 

Единственная ситуация равновесия в исходной игре определяется из условия пересечения оптимальных стратегий в точке (x₁^a(x₂^а), x₂^a(x₁^a)) (2, 2).

В этой ситуации выигрыши игроков равны (4, 4).

Построим П-множество Парето на классе исходных управлений.

Напомним, что

(x₁^п, x₂^п) П

если не существует (x₁^', x₂^')єХ₁*Х₂, такой что:

M_i(x₁^', x₂^') ≥ M_i(x₁^п, x₂^п), i=1, 2 (дизъюнкция)

M_i(x₁^', x₂^') > M_i(x₁^п, x₂^п), i=1 либо i=2 (конъюнкция)

В пространстве выигрышей множество возможных решений имеет вид:

 

M₂

 

П

7

6 П

 

4 (4, 4) с.р.

2 П

 

0 2 3 4 6 7 M₁

рис.1

Как видно из рис.1:

П = {( 1, 1); (1, 3); (3, 1)},

С выигрышами игроков соответственно

МП = {(6, 6); (2, 7); (7, 2)}.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ни одна из этих точек не является ситуацией равновесия в исходной игре.

Покажем, что эти ситуации могут быть результатом проекции равновесных стратегий вида:

{ х₁(х₂), х₂[х₁(х₂)]}, {х₁[х₂(х₁)], х₂(х₁)}.

Имеем для игрока 1:

M₁(x₁, x₂) = 0

M₁(x₁, x₂) = 3

Определим: х₂ = х₂^H - стратегия наказания первого игрока вторым, из условия

M₁(х₁, х₂) = M₁(х₁, х₂^H)

В данном случае имеем х₂^H= .

Далее для игрока 2 имеем: M₂(x₁, x₂) = 0

M₂(x₁, x₂) = 3

Определим х₁^H (х₂) - стратегию наказания второго игрока первым.

2, если х₁ = 1

х₁^H (х₂)= 1, если х₂ = 2

3 (2), если х₃ =3

 

Покажем, что равновесные стратегии можно выбрать на классе стратегий {x₁(x₂), x₂ [x₁(x₂)]}.Действительно, пусть

 

 

x₁⁰ (x₂) = 1, х₂=1 ⁰ = х₂⁰ [х₁(х₂)] = 1, =

х₁^н (х₂), х₂ 1, х₂^н = 3,

 

 

Очевидно, эти стратегии проектируются в точку (х₁ = 1, х₂=1). В этой точке M₁ = 6, M₂ = 6.

Если от этих стратегий отклонится игрок 1, то есть , то он получит не больше, чем

M₁(π ( , ⁰))= M₁(π ( , 3) = M₁(2, 3) = 3 < 6.

Таким образом, игроку 1 не выгодно отклоняться от точки ( , ⁰).

Если же при = , игрок 2 выберет , то его выигрыш оценивается величиной

M₂[π ( ⁰, )].

Если т.ч. х₂ 1, при = , то

M₂[π ( ⁰, )] = M₂(х₁^H(х₂), х₂) = 0 < 6

Итак, игроку 2 также не выгодно отклоняться от точки ( , ⁰), то есть ( , ⁰) – ситуация равновесия в игре .

 

 

Замечание. Точку из множества Парето можно сделать равновесной, если выигрыши игроков в ней оцениваются величиной не меньшей, чем их максимально гарантированные результаты, соответствующие их информированности. Этому условию удовлетворяют также точка (7, 2) на классе стратегий {x₁(x₂), x₂ [x₁(x₂)]} и точка (2, 7) на классе стратегий {x₂(x₁), x₁ [x₂(x₁)]}.

Упражнение.

Точку (7, 2) можно сделать ситуацией равновесия на классе

{x₁(x₂), x₂ [x₁(x₂)]}

Точку (2, 7) можно сделать ситуацией равновесия на классе

{x₂(x₁), x₁ [x₂(x₁)]}.

 

 

Итак, для построения ситуаций равновесия в игре двух лиц на сложных стратегиях необходимо проделать следующее:

1. Вычислить гарантированные (минимальные или максимальные, в зависимости от информированности ) результаты игроков.

2. Определить стратегии наказания, применение которых не позволит партнеру получить выигрыш, превышающий его гарантированный результат.

3. Определяется множество взаимовыгодных исходов, на котором игроки получают выигрыш, не меньший гарантированного результата.

4. Путем переговоров выбирается точка из этого множества, устраивающая обоих партнеров.

5. С помощью простой процедуры конструируются равновесные стратегии, включающие в себя обязательства выбора договорного исхода и штрафы на основе стратегий наказания за нарушение договоренностей.

 

Таким образом, решение сложнейшей по постановке задачи оказывается не сложнее, а. как правило, значительно проще решения традиционной задачи поиска ситуации равновесия. При этом построение взаимовыгодного множества дает полное решение задачи - построить все ситуации равновесия!

 

Проведем анализ рассмотренных ранее иллюстративных игр, но уже на классе стратегий.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. СОВРЕМЕННАЯ РЕЧЕВАЯ СИТУАЦИЯ
2. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты)
3. Алматова Г. - Экосистема (по мотивам настольной игры «Эволюция»)
4. АРХЕТИПЫ В ДРАМАТИЧЕСКИХ СИТУАЦИЯХ
5. В основе их единый язык игры, но цель, функции и способы использования его в каждом случае иные.
6. Виды конкуренции в зависимости от выполнения предпосылок конкурентного равновесия рынка
7. Главный выигрыш: ваша жизнь под вашим контролем
8. Данные игры собраны с интернет сайтов.
9. Диаграммы равновесия жидкость - пар в бинарных системах. Первый закон Коновалова. Фракционная перегонка
10. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Основное уравнение гидростатики.
11. Досточтимому магистру Игры в Вальдцеле
12. ДРАМАТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ КАК БОЛЬ ХАРАКТЕРА