Теоретико-игровой анализ двухуровневой иерархической системы управления (ИСУ)

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 13Следующая ⇒

Итак мы провели анализ элементарной ячейки иерархической системы управления (ИСУ). Сначала был рассмотрен вариант взаимодействия элементов, находящихся на одном уровне иерархии, затем – на разных уровнях.

В достаточно общей постановке анализ двухуровневой статической модели ИСУ сводится к решению игры n+1 лица, определяемой следующими параметрами:

1⁰. Задано множество игроков .

Подмножества определяют верхний и нижний уровни иерархии. Центр (Игрок ) обладаем правом первого хода, т.е. первым выбирает и сообщает свою стратегию элементу нижнего уровня .

2⁰. Вектора определяют управляющие параметры .

- набор управлений всех элементов нижнего уровня, .

3⁰. На множестве заданы целевые функции:

Интересы описываются стремлением к максимизации этих функций.

4⁰. Взаимная информированность соответствует порядку ходов и определяет их стратегии .

5⁰..Для , определены правила поведения (принципы оптимальности), которые позволяют центру оценить множество возможных ответов элементов нижнего уровня: .

Сформулированная игра многих лиц является обобщением игр двух лиц, рассмотренных ранее. Исследование значительно упрощается, если модель ИСУ имеет веерную структуру.

ИСУ называется веерной, если . Функции выигрыша элементов нижнего уровня таких ИСУ зависят от управления центра и своего управления и не зависят от управлений своих соседей.

Задача рассматривается в интересах центра. Рассмотрим данный тип игр на примере игр, аналогичных .

1. Аналог игры

Правило 1.1 В этом случае , т.е. центр не имеет информации о действиях подчиненного до своего выбора.

Правило 1.2 Для любого выбирает

Правило 1.3 выбирает из условия 2 максимального гарантированного результата (МГР).

Правила 1.1-1.3 получены путем конкретизации параметров 1⁰-5⁰ игры общего вида.

Теорема 1.

Решение сформулированной игры (типа ) эквивалентно для центра решению игры для двух лиц, где один игрок , а второй игрок – игрок с функцией

выигрыша

Доказательство.

Определим множество Тогда МГР игрока в игре равен: .

С другой стороны для исходной игры с n подчиненными имеем

Утверждение Теоремы 1 (равенство ) следует из соотношения

справедливого в силу очевидного равенства

Теорема доказана.

В разделе … была исследована задача стимулирования центром выполнение элементами ИСУ такого объема производства, который выгоден центру. В качестве управлений центр использует цены на поставляемую продукцию и рентные (налоговые) платежи.

Фактически реализуется игра , центр выбирает и сообщает элементам нижнего уровня свои управления, а элементы нижнего уровня при этих управлениях максимизируют свои функции выигрыша. В данной модели центру удается выбором своих управлений достичь глобального максимума целевой функции.

2.Аналог игры

Правило 2.1 В этом случае , т.е. центр имеет информацию о выборе подчиненных и использует в качестве стратегии функции . Здесь , т.е. управление центра разбивается на n управлений , а функция выигрыша имеет вид .

Правило 2.2 Игрок ходит первым, т.е. выбирает и сообщает каждому стратегию .

Правило 2.3 Игроки выбирают в силу своего правила поведения

Правило 2.4 Оптимальную стратегию выбирает из обобщенного принципа максимального гарантированного результата (ОПМГР).

Определим некоторые вспомогательные конструкции.

Введем параметры )

Аналогично играм двух лиц определим взаимовыгодные множества исходов:

Обозначим через - стратегии наказания:

Определим исход :

Теорема 2.

Пусть элементы нижнего уровня доброжелательны к центру, тогда МГР равен , и достигается на стратегии:

Доказательство (аналогично доказательству теоремы для игры в случае игры двух лиц).

1. Докажем, что результат гарантирован.

Пусть использует стратегию . Если , то рациональный ответ - выбрать , так как в противном случае игрок будет наказан и не получит больше . Если , то в силу доброжелательности игрок опять же выберет .

2. Покажем, что больше центр получить не сможет.

По определению , поэтому больше центр сможет получить только вне D. Но вне D хотя бы один подчиненный получит меньше , что он не допустит. Следовательно, центр получить больше не сможет.

Итак, для построения оптимальной стратегии центра аналогично рассматриваемым ранее иерархическим играм двух лиц нет необходимости решать сложнейшие вариационные задачи. Фактически задача сводится к оптимизационной задаче планирования при дополнительных (по числу подчиненных) ограничениях, связанных с учетом их интересов.

Если центру удается сконструировать гибкие механизмы стимулирования, то он может получить максимально эффективный результат.

Определение: ИСУ идеально согласованна, если

В идеально согласованной ИСУ центр на оптимальной стратегии получает глобальный максимум.

Пример ИСУ

Пусть функции выигрышей игроков и управления имеют следующую зависимость:

, ), где . Будем считать, что -выплаты центра элементу за произведенную продукцию .

Пусть выполнены условия монотонности и .

Функция строго монотонно растет по , а по - строго монотонно убывает. Аналогично от любого поощрения строго монотонно растет, а от затрат убывает.

Очевидно – стратегия наказания центра.

Максимальные гарантированные результаты подчиненных равны

Заметим, что ситуация (0, 0) является ситуацией равновесия по Нэшу на классе управлений. Пусть точка , где взаимовыгодное множество D определяется ограничением . Тогда оптимальная стратегия будет выглядеть следующим образом:

Замечание 1

Если , то гарантия получения очевидна.

Если же существует i такое, что ,

то всегда можно найти , такое что ,

(Либо как и ранее можно предположить доброжелательность Пi ).

Замечание 2

На практике используется стратегия неполного наказания.

То есть степень наказания непрерывно зависит от величины отклонения от « плана».

Замечание 3

Центр использует класс стратегий , которые сообщает нижнему уровню, а используют стратегии вида .

Именно на этом классе стратегий реализуем ситуацию равновесия, которая приводит к хорошему исходу . Отметим, что классическая ситуация равновесия по Нэшу существует и единственна: Её экономический смысл- полное закрытие производства.

Замечание 4

Весь математический аппарат обобщается на иерархические системы управления с m уровнями.

Каким же образом они обобщаются? Рассмотрим ИСУ вида: (

П0

П1

П2

Вычислим гарантированный результат нижнего уровня.

Единственная тонкость- это как вычисляется гарантированный результат в промежуточных звеньях.

Здесь отслеживаются интересы нижнего уровня.

Тогда оптимальный результат верхнего уровня вычисляется с учетом интересов элементов нижнего уровня.

Замечание 5

Если мы имеем дело с ИСУ не веерного типа то есть.

Либо, если ИСУ изначально веерного типа, но стратегии П₀, сообщаемые П_i, зависят еще и от выборов других подчиненных,

что приводит к зависимости выигрыша подчиненных от действий друг друга:

Для таких задач помимо правила 2.5⁰ добавляется (2.5”), которое формулируется следующим образом.

Правило 2.5” Центр в соответствии со своими интересами может устанавливать порядок ходов и процедуры обмена информацией в том числе, передавать необходимую информацию каждому о действиях его партнеров.

То есть, в случае двух подчиненных вместо сообщит П₁ стратегию , и он должен обеспечить информацией П₁ о выборе П₂

Пример. Пусть

Управления П₀: , где -1-штраф, +1-поощрения

Управления П_i: , i=1, 2

МГР для первого игрока П₁ равен:

Аналогично для П₂имеем:

Следовательно, в этой задаче получает глобальный максимум в точке

При этом

Для гарантии выбора , должен заблаговременно сообщить информацию о игроку .

Замечание 6

Вместо того, чтобы использовать сложный класс стратегий и соответствующий обмен информацией, в некоторых моделях центр сообщает стратегии и рассчитывает, что элементы нижнего уровня придерживаются ситуации равновесия по Нэшу (классической ситуации равновесия по Нэшу).

Лекция 9

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 91011 12 13 Следующая ⇒